由一類抽象函數定義域的求解問題反思函數概念的教學

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摘 要： 本文從研究一類抽象函數定義域的求解問題出發，反思在函數概念教學過程中學生對函數概念的理解和掌握程度，思考函數概念的教學方法，在教學中應當設計有實際意義的圖形或問題幫助學生理解抽象函數.

關鍵詞： 抽象函數 定義域 函數概念

函數概念是中學數學知識體系中的核心概念，它貫穿整個中學數學教學過程，高中的函數定義又是基于集合論知識的，由于其定義文字敘述方式的強邏輯性、概念的抽象性和形式化的符號表示，一直以來是數學教學的一個難點.

1.問題的產生

在一次練習中，學生碰到了如下問題：

已知函數f（x）的定義域為（-1，0），則函數f（2x-1）的定義域為？搖？搖 ？搖？搖.

這是一道典型的復合函數定義域的求解問題，也是學生最頭疼，理解上最易混淆的題型.常見的錯誤解法為：

f（x）的定義域為（-1，0），所以x∈（-1，0），于是2x-1∈（-3，-1），即f（2x-1）的定義域為（-3，-1）.

經過老師的耐心講解，學生認識到，函數f（2x-1）的定義域應該是求x的取值范圍，而2x-1應該滿足f（x）的定義域為（-1，0）.所以正確的解法是2x-1∈（-1，0），解出x∈（0，■），即f（2x-1）的定義域為（0，■）.

盡管學生聽懂了老師的解法，但是似乎理解上依然存在困惑.隨后，為了了解學生是否真正掌握了該類問題，筆者又給出了該題的變形：

已知函數f（2x-1）的定義域為（-1，0），則函數f（x）的定義域為？搖 ？搖？搖？搖.

兩道類型相似的題放在一起，學生的思維一下子就混亂了，實在搞不清哪種解法對應哪種題.經過反復練習后，還是有很多學生會出錯，停留在似懂非懂的階段，而即便能給出正確解答的同學，也說不個所以然來，只是機械地記憶解題套路罷了.

通過對學生的調研，了解學生對該問題的思考發現，學生在以下方面不理解：

1.f（x）的定義域指的是的取值范圍，f（2x-1）的定義域也是指x的取值范圍，那這兩個函數的定義域到底哪個是x的取值范圍？

2.一會兒是x∈（-1，0），一會兒又是2x-1∈（-1，0），變形題中只是將f（x）換成了f（2x-1），條件的數值都沒有變，怎么整個解答過程就不一樣了？

3.在這類題中，函數沒有具體的表達式，只是抽象的表示，這些抽象函數的實際意義到底是什么？

2.對問題的研究

學生的這些困惑中，我們不難發現一些問題，一是不少學生解題都是靠記憶解題方法而不是理解其實質，解題時重形式而忽略理解.二是不少學生不理解函數的定義域是什么，函數的定義域就是求x的取值范圍這種觀念根深蒂固.

因此，造成學生困惑的根本原因就是對函數概念本身的理解不到位，對函數片面不深入的理解導致了學生認識上的偏差，在解題時就只能憑借形式化的解題過程，對于其中出現的各種變量不能理解其意義.

學生在初中所學習的函數定義為：設在某變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x在某一范圍內的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么，y叫x的函數，x叫自變量.

這一定義很直觀，學生容易理解，因為它適合初中生的生理和心理特點，但是它對函數的本質——對應關系缺乏充分刻畫，未能強調函數是x，y雙方變化的總體，而把變量y定義為x的函數，以至形成一個學生中具有普遍性的錯誤，認為y就是函數.

高中函數定義是在集合概念基礎上給出的，即當A、B為非空數集時，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都存在唯一確定的數y與之對應，那么就把對應關系f叫做定義在集合A上的函數.記作f：A→B，或y=f（x），x∈A.在學習了映射后，函數概念可以敘述為：設A、B為非空數集，f是A到B的一個映射，那么映射f：A→B叫做A到B的函數.這種定義強調了函數是A、B、f三者的整體，是一類特殊的映射.顯然此定義接近以集合論為基礎的現代函數定義.此定義與初中定義相比，舍去了“變化”這一非本質的特征，突出了“對應”的思想，這有助于學生對函數本質的理解，促使學生的思維方式由直觀向抽象轉變，對學生的思維提出了更高的要求.

這種定義方式采取由傳統定義逐步過渡到現代定義的編排方式，符合人類認識由低級到高級的規律.然而學生并不能夠很好地適應這樣的定義方式，在理解上常常是片面的.比如，學生對函數的認識往往固化為f（x），先入為主地認為函數就應該是一個表達式，x代表定義域，f（x）代表值域.

因此我們不得不反思：學生在初中所學習的是片面的不完整的定義，在教學時教師應當如何設計教學才能讓學生轉變以往根深蒂固的對函數概念的認識，更接近其本質？

3.函數概念教學的反思

在數學歷史上，函數概念的定義也是不斷發展的，函數概念來源于實際，應用于實際，并在應用中不斷發現自身的缺陷，使其進一步完善，從而促進了數學的發展，同時，數學的發展又為函數概念的形式化與嚴密化提供了良好的條件.將函數看成是一類映射，更接近函數的本質.

在函數的概念教學過程中，我們應當加強“映射”這一概念，讓學生認識到函數不是一個或幾個表達式，而是一種“映射”，是從一個數集到另一個數集的對應關系.在訓練學生對函數的理解上時，不應該只有表達式，而是要強化學生對符號、圖形的解讀能力.

在函數的概念教學中，我們經常會借助下面的圖形幫助學生理解函數概念：

這張圖非常直觀地表現了函數的形成過程，各個符號的意義：f是建立在兩個集合之間的函數，集合A中的每個元素都在函數f（x）的定義域中.而對于f（x）這個函數符號，我們更應該把它理解為函數f作用在元素上x.在真正理解了這張圖的基礎上，我們可以進一步加深函數的概念：

對于這張圖的解讀，將檢驗學生對函數概念真正的理解程度，我們可以設置以下幾個問題：

1.這里一共有幾個函數？

2.每個函數所對應的定義域是哪個集合？

3.這幾個集合中的元素是怎樣形成的？

在這張圖中，一共建立了從f：A→B，g：B→C，以及g。f：A→C三個映射，所以一共可以看成有三個函數，而A→C這個映射由兩個映射f和g共同組成，這就是復合函數g[f（x）].而對于這三個映射，箭頭“起始”集合便是所代表函數的定義域.

如果我們從映射的角度理解文章開頭時提出的問題，或許更易于理解：

函數f（2x-1）應該看成兩個函數的復合：g（x）=2x-1與f（x），在這里g（x）與f（x）僅僅是代表兩個函數的符號，我們不能認為寫成f（x）就意味著映射f是作用在x上的.在這整個的變化中，x先由映射g作用變成2x-1，然后2x-1再由f作用變成f（2x-1），函數f（2x-1）的定義域對應著集合A，而函數f（x）的定義域則對應著集合B，而集合B中的元素是集合A中的元素x先由映射g作用變成了2x-1.

通過這張圖表，我們就可以理順各個概念間的關系，在實際解題中可以幫助學生快速找到解決問題的方向.以文章開頭的兩道問題為例：

先畫出整個問題中出現的對應關系圖：

1.若已知條件是f（x）的定義域為（-1，0），則映射f的起始集合B為其定義域，所以B中的元素2x-1∈（-1，0），此時可以反解出集合A中的元素x的范圍是（0，■），即為函數f（2x-1）的定義域.

2.若f（2x-1）的定義域為（-1，0），函數f（2x-1）的起始集合為A，所以A中的元素x∈（-1，0），此時可以解出集合B中的元素2x-1的范圍是（-3，-1），即為函數f（x）的定義域.

4.對教學的啟示

筆者采用改進后的講解方法對該類問題向學生進行了解釋，學生在函數概念的理解上有了明顯的改進，對于該類抽象函數定義域的求解問題基本上能夠從容應對了，該問題似乎暫告一段落，但是通過對這類問題的研究，對于教師教學應當有更多的啟示：學生在接受新知識時，都要經歷一個從陌生到熟悉的過程，由于接觸時間的不足，并不能像老師那樣做到融會貫通，理解一個新知識是需要花時間的，教師應當從學生思維的疑惑點出發，分析學生在理解上出現的障礙，有針對性地設計教學方法.學生在解題時，往往采用形式化的記憶，即只是單純地記憶解題步驟，而對于其來龍去脈缺少理解，當題型出現變化時，解題就會出現混淆，對于抽象程度較高的知識點，教師可以設計一些有實際意義的圖像幫助學生理解問題的本質.

參考文獻：

[1]蔣美麗.初高中函數概念教學銜接淺談[J].華夏教師，2010（03）.

[2]張先葉.高中函數概念教學的困難成因現狀分析[J].科技信息，2011（13）.

[3]王君月.關于“抽象函數定義域”的討論[J].數學學習與研究，2012（01）.

[4]馬芹.函數的概念教學實錄與反思[J].上海中學數學，2011（12）.