引入數學史重構初中負數教學的嘗試

韋震南

【內容摘要】數學課程標準中指出：通過對數學史的學習，讓學生學習數學文化，初步了解人類社會發展和數學這門學科的相互作用。在課程標準的指引下，數學史逐漸走進課堂。

【關鍵詞】引入 數學史 負數 重構

數學史具有強大的教學功能，如何有效地將數學史融入課堂教學并發揮其作用，這是數學教師所面臨的一大難題。將數學史運用到課堂教學中的方式有四種，分別是附加式、復制式、順應式和重構式。具體來說，怎樣有效運用數學史來給學生講解“負數”呢？筆者將運用文獻研究法，通過搜集、篩選和整理相關研究成果和優秀教學設計后，將運用數學史進行負數的重構式教學做了如下兩點總結。所謂重構式教學就是借鑒數學史料所記載的負數產生和發展的真實過程，將教科書中所展現的負數產生和發展的過程進行適當地改編、重構，從而將負數產生和發展的真實過程展示給學生，幫助學生更好的理解和接受“負數”，有效地將新知識歸納到原有的知識結構網絡中。

一、學習負數概念之前

在引入負數的概念之前，教師可以帶著同學一起回顧小學時接觸的第一次數的擴充，即分數的引入。從生產生活方面和數學內部（特別是解方程）這兩方面舉例說明分數引入的背景、原因以及解決了哪些原來無法解決的問題，為思維的類比做好鋪墊。從生產生活中舉例，讓同學們發現在非負數范圍內，當減數大于被減數時，原有數系內出現了不夠減的情況，可以將這一情況類比分數引入中有些數不能被整除的情況。從數學內部來說，引入負數后，解決類似x+15=10的方程時，由無解變為有解，數學所研究的范圍擴大了，減法運算暢通無阻。可以將這一情況類比引入分數后解決如3x=4這類方程時，由無解變為有解，除法運算暢通無阻。

若教學時間充裕，還可以向同學們展現不同時空的數學家對同一問題的認識。在解方程方面古代中國有輝煌的成就，在解方程組等數學活動過程中，數學家會運用一種叫“算籌”的計算工具，將解方程組的過程可見化、具體化。當兩列數同時相減時，在算籌操作中就會出現“兩算得失相反”的情況，即同時出現以多減少和以少減多的情況，而正是這一情況的出現讓中國古代數學家發現了負數。

二、從數學史中預見學生認識和接受負數存在的困難

中國很早就認識到正負數，并且由于算法的高度發達和算籌將計算過程具體化和機械化，中國數學家自然而然地接受了負數的存在。但當阿拉伯人將負數傳播到歐洲后，西方數學家對負數的認識和接受卻歷經了漫長而曲折的過程。如：法國數學家帕斯卡就認為從0中減去4是天方夜譚；另一位叫阿爾諾的數學家還提出了論據來駁斥負數，即-1：1=1：-1，他提出如下質疑，既然-1比1小，那么較小的數與較大的數的比和較大的數與較小的數的比怎么可能相等；德國數學家斯蒂菲爾在《整數算術》中稱負數是荒謬的數，因為他認為從零中減去一個大于零的數所得到的結果是一個“小于一無所有”的數；笛卡爾還將負數看作是不合理的數。可見西方數學家們在剛開始認識負數的時候，存在著一定的困難，這些困難阻礙了他們對負數的接受。如美國數學家和數學史家M·克萊因所說，課堂上學生所遇到的困難，在歷史上數學家們同樣也會遇到過。因此，數學家們在認識和接受負數的過程中所遇到的困難及困難的解決對于讓學生真正認識和欣然接受負數無疑具有重要的借鑒意義。

人類在建構對負數的理性認識的過程中，所遇到的最大的困難就是如何跨越原有的認識從而進一步擴展已有的認識，換而言之就是如何在負數的意義和之前對0的認識兩者之間架起一座溝通的橋梁。縱觀歷史上那些數學家對負數的困惑，從中我們可以進一步看到數學家們認識整數的內在邏輯是：1表示一件物體、2表示兩件物體、3表示三件物體……那0就表示什么都沒有，而負數比0還小，換而言之就是負數比“什么都沒有”還小，“什么都沒有”就已經到了盡頭了，這樣的數怎么可能存在呢？

三、借鑒數學史讓學生理解負數及其數學本質

因此，在引入負數的概念之后，教師就可以引導同學們自主探索，讓他們在對負數的認識中產生如上述數學家一樣的矛盾（即：負數比0小，怎么可能存在比“什么都沒有”還要少的數）。從而讓同學們深刻地認識到，在原來的數系中引入負數后，數不再僅僅表示實際物體的量，對正負數的概念要通過互為相反意義的量來理解。其次，0的意義不再僅僅是“什么都沒有”了，0是正負數的分界點同時也是正數和負數這對矛盾統一體彼此轉化和過渡的橋梁。不要讓學生對負數的認識停留在實際生活層面，要讓其對負數的認識提升到數學的本質層面，要通過結合數學史對數系擴充的思路與方法的分析與梳理，使學生體會到人們遇到需要時可以創造新的數，并且每次創造的新數都解決了數學內部和實際生活中原先無法解決的問題，而創造新數的難點在于突破原有的思維方式與認知心理，將凝結在數學史發展中的數學家思維打開，使之成為引領學生探究的燈塔與路標。

結束語

實際上，數學這門學科本身的發展歷程就是人類數學思想的發展歷程。教師不僅可以利用某一知識點的歷史背景來激發學生的學習興趣，而且最重要的是，通過數學家所遇到的困難來預見和解釋學生的學習困難，借鑒歷史發展的順序來合理安排學習層次的順序，正如波利亞在著作《數學的發現》一書中所提到的：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷。”因此，數學教師在設計教學環節時不能完全拋開數學史而只以教育學和心理學的一般規律為依據。

（作者單位：江西省贛州市南康區第八中學）