芯層寬度對矩形波導有效折射率的影響

潘繼環(huán)，張元文

(河池學院 物理與機電工程學院，廣西 宜州 546300)

0 引言

矩形波導是條形波導中最常見的也是最基本的波導結構，通常是由金屬材料(銅、鋁等)制成矩形截面、內(nèi)部填充空氣介質(zhì)的金屬波導[1－3]。而矩形波導在傳導電磁波的過程中具有損耗低、電磁屏蔽性能好等優(yōu)點，在微波通信設備領域有著非常廣泛而巨大的應用價值，如在通信傳輸線平面集成化、小型化等方面具有重要的應用[1－12]，近年來有關波導的研究一直是各國物理學者研究的熱點之一。

通過查詢相關文獻資料發(fā)現(xiàn)，對于一維結構的條形平板波導已經(jīng)有很多的研究報道[4－12]，而有關矩形波導的研究還比較少見，雖然矩形波導也屬于一維平板結構，但研究其芯層導波特性時需要考慮兩個方向在其橫截面上對光場的限制作用，這就涉及到一維結構的二維問題，這類問題的處理比條形平板波導更為復雜。

基于此，本文主要采用馬卡梯里假設[7]，對波導進行近似處理的方法，并通過Matlab編程模擬繪制芯層寬度對有效折射率的影響，找出波導孔徑對矩形波導模式特性影響的規(guī)律，使矩形波導具有更廣泛的應用前景。

1 模型及計算方法

1.1 矩形波導結構

矩形波導結構模型[4－10]的橫截面，如圖1所示，將截面分成九個區(qū)，中間為波導芯層，緊鄰芯層的四個白色區(qū)域為波導包層，四個陰影區(qū)域為角區(qū)。其中波導芯層的x方向和y方向的寬度分別為a、b，選取芯層的中心為原點建立直角坐標系，z軸垂直于紙面向里，并定義電磁波沿著z軸方向傳播。其中參數(shù)λ0=1.55 μm，折射率 n1=1.5，n2=n3=n4=n5=1.2。

研究方法使用馬卡梯里法。因為馬卡梯里法考慮到如果離截止點比較遠，則光能量高度集中在芯區(qū)，透入到2、3、4、5四個區(qū)的光能就很少，而四個陰影的角區(qū)中光能忽略不計，這樣可以使問題大大簡化。利用這一條合理而又巧妙的假設，很容易利用已解三層平板波導的結果來求解傳播常數(shù)和模場函數(shù)。

圖1 矩形波導橫截面圖

1.2 特征方程的計算

從麥克斯韋電磁波方程組可以推出，矩形波導Eymn導模的磁場分量Hx0(x，y)的波動方程為

則φx(x)、φy(y)滿足橫向亥姆霍茲方程，即

方程(2)，(3)中的kix，kiy分別表示5個區(qū)域的傳播系數(shù)。而方程(2)，(3)的通解分別為

式中 A、A3、A5、B、B2、B4、ζ、η 為積分常數(shù)，為各自區(qū)域的振幅因子，ζ與 η 是相位因子。

在Eymn導模x軸方向中，在處，利用 φx(x)連續(xù)和連續(xù)的邊界條件以及在處，利用φx(x)連續(xù)和連續(xù)的邊界條件，即可求解特征方程。

方程(6)、(7)中m、n為x軸和y軸方向的模階數(shù)。將式分別代入方程(6)和方程(7)，得到有效折射率與芯層寬度的關系為

2 計算結果和分析

2.1 芯層寬度a對有效折射率Nx的影響

圖2 導模x軸向的傳輸曲線

矩形波導各層介質(zhì)的參數(shù)見1.1小節(jié)，取模階數(shù)為m=0～5時，對方程(8)利用Matlab編程模擬，繪制出各模式有效折射率Nx與芯層寬度a的關系，如圖2所示。

從圖2中不難看出，隨著芯層寬度的增大各模式有效折射率均出現(xiàn)衰減現(xiàn)象，寬度a＞0.4 μm時，波導支持m1≥1的多模傳輸，且各模式折射率隨著芯層寬度的增大而下降，而有效折射率Nx曲線向大孔徑方向移動。即當a=0～8 μm增大時，零階模對應的有效折射率由0.9衰減到0.0907左右，一階模式的有效折射率從2衰減到0.1813，二階模從2衰減至0.2718，三階模從 2衰減至 0.3620，四階模從 2衰減至0.4520，五階模從2衰減至0.5415。這些衰減現(xiàn)象主要是隨著波導孔徑的增大，模式出現(xiàn)襯底輻射，從而使其能量損耗所致。值得注意的是，芯層寬度a在0～8 μm范圍內(nèi)，零階模的有效折射率均小于0.9，因此該結構波導在x軸向上不支持零階模的傳輸，所以零階模的波導中主要以襯底輻射的方式逐漸損耗能量。

電磁波能在芯層中傳導的條件是在有效折射率1.2＜Nx＜1.5之間，因此芯層寬度無論小到什么程度，零階模(基模)均不滿足傳導的條件，因此該矩形波導不支持基模的傳輸。高階模式中，隨著模階數(shù)的增大，導模的區(qū)域也會增大。

從圖2中還可以看到，每一條傳輸曲線中都存在一個凹點，這些凹點對應的有效折射率值相同，該處為導模的截止點，也稱作導模和空間輻射模的交界點。

2.2 芯層寬度b對有效折射率Ny的影響

同樣，矩形波導各層介質(zhì)的參數(shù)見1.1小節(jié)，當模階數(shù)為n=0～5時，對方程(9)利用Matlab編程模擬，繪制得到芯層寬度b和有效折射率Ny的關系，如圖3所示。

從圖3中可知，芯層寬度b＞0.4 μm時，波導也支持n1≥1的多模傳輸，且各模式折射率隨著芯層寬度的增大而下降，有效折射率Ny曲線同樣也向大孔徑方向移動。即當b=0～8 μm增大時，零階模對應的有效折射率由2衰減到1.2處后中斷、再從0.9衰減到0.0928左右，一階模式的有效折射率從2衰減到0.1813，二階模從2衰減至0.2780，三階模從2衰減至0.3702，四階模從 2衰減至 0.4619，五階模從 2衰減至0.5528。

在有效折射率1.2＜Ny＜1.5之間的區(qū)域，波導同樣不支持基模的傳輸。而在同一模式階數(shù)中，y軸向的有效折射率Ny呈衰減的趨勢，并且隨著模階數(shù)的增大，導模的區(qū)域也會隨著增大。

圖3 導模y軸向的傳輸曲線

在圖3中同樣也存在凹點，即導模和空間輻射模的交界點。并且還發(fā)現(xiàn)，每條傳輸曲線的導模區(qū)域存在一個折彎處，該處的有效折射率接近包層折射率，這說明該點很可能為導模的截止點。而有效折射率大于對應的截止點的區(qū)域為該模式的截止區(qū)域，該模式的截止區(qū)域會由低一級階模式的截止區(qū)域進行補償，形成一條完整的模式傳輸曲線。如五階模由四階模的截止區(qū)域“補償”組成新的傳輸曲線;四階模由三階模的截止區(qū)域“補償”組成新的傳輸曲線，以此類推。而零階模由于沒有更低一階模式的截止區(qū)域“補償”，即零階模只存在空間輻射模，且零階模不可導。

3 結論

上述是采用馬卡梯里近似法，并利用電磁波動理論，求解矩形波導模式特征方程，研究了芯層寬度對矩形波導有效折射率的影響規(guī)律，得出以下結論:當矩形波芯層寬度足夠大時，矩形波導支持多個導波模式的傳輸，且隨著模階數(shù)的增大，兩個獨立分量有效折射率Nx和Ny的曲線均向大孔徑方向移動;且兩個分量所有模式的有效折射率均隨芯層寬度a或b的增大而下降，這些影響規(guī)律對矩形波導的實際應用具有一定的理論指導意義。

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