圓的切線方程與切點弦方程關系探究

楊福海

解析幾何的基本思想是用代數的方法研究幾何問題，是數形結合思想的重要應用。直線與圓的位置關系的判定中有幾何法和代數法之分，幾何法是通過圓心到直線的距離與圓的半徑比大小，代數法是聯立直線與圓的方程，通過方程組解的個數來判斷直線與圓的位置關系。通常情況下我們不探討這兩種方法之間的聯系，特別是在學習直線與圓的位置關系時我們并不強調位置發生變化時直線方程之間有什么聯系。在課前預習時，學生遇到一道作業題，從中發現一個有趣的結論，卻找不出所涉及知識的內在聯系。我也咨詢了不少老師，但沒有得到滿意的答案，因此我嘗試從另一個角度進行探討。

作業題：已知圓C的方程為x2+y2=16 ，點P在直線X=8上，過p點引圓C的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：直線AB 恒過定點。

學生的解法： ∵PA，PB是圓C的兩條切線， ∵OA⊥AP，OB⊥BP。 ∵A，B在以OP為直徑的圓上。設點P的坐標為（8，b），b∈R，則線段OP的中點Q坐標為4

，?！嘁設P 為直徑的圓Q方程為（x-4）2+

y-2=42+

2，b∈R?；喌茫簒2+y2-8x-by=0，b∈R。∵AB為圓Q和圓C的公共弦， ∴直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，所以直線AB恒過定點（2，0） 。

這個解法是我們平時教學中常用的方法，但是有個別學生發現了直線AB的方程8x+by=16，b∈R與過圓x2+y2=16上一點（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=16完全雷同，于是提出了疑問：為什么定點P在圓上時過點P（x0，y0）切線方程與定點P在圓外時過點p（x0，y0）引圓的切線方程（切點為A，B，直線AB ）完全一樣？在這里一條是切線一條是割線??！

為了解決這個問題，我們首先要了解，如果設P（x0，y0）為圓外一點，過P點引圓x2+y2=r2的兩條切線PA，PB ，切點為A，B，則直線AB的方程稱為切點弦方程。通過上例方法的推導可得切點弦方程為x0x+y0y=r2。不可否認，切點弦方程確實與過圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=r2完全相同。那么這又是為什么呢？是偶然的現象還是必然的結論？

對此，我做了進一步思考，先從兩個方程的求法上尋找兩者之間的聯系。

首先，先了解過圓C：x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程的求法。

方法一：當切線l的斜率存在，即y0≠0時，切線l的方程為y-y0=（x-x0），即x0x+y0y=x02+y02，因為P（x0，y0）為圓C：x2+y2=r2上一點，所以x02+y02=r2，則切線l的方程為x0x+y0y=r2;當切線l的斜率不存在，即y0=0時，切線l的方程為x=x0，因為x02=r2，所以切線l的方程也可改寫為x0x+y0y=r2。綜上，過點P（x0，y0）的圓C：x2+y2=r2的切線l的方程為x0x+y0y=r2。

在學完向量知識后，可以用以下方法求過圓C：x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程。

方法二：任取切線l上一點M（x，y），由題意得·=0。由向量的數量積可得x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=x02+y02，因為P（x0，y0）為圓C：x2+y2=r2上一點，所以 xo2+y02=r2，則切線l的方程為x0x+y0y=r2。

方法三：任取切線l上的一點M（x，y），由題意得

·

·cosθ=r2 ，其中θ為和的夾角，即·=r2，則過點P的圓C的切線l方程為x0x+y0y=r2。

我們再來看看設P（x0，y0）為圓外一點，過P點引圓x2+y2=r2的兩條切線PA，PB ，切點為A，B，則切點弦AB所在直線方程的求法如下：

方法一：跟上面作業題的解法類似，通過求以OP為直徑的圓與圓C的公共弦可得切點弦方程為x0x+y0y=r2。

方法二：以PB為半徑， P（x0，y0）為圓心的圓P的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=x02+y02-r2，切點弦AB即為圓P和圓C：x2+y2=r2的公共弦，兩式相減可得切點弦方程為x0x+y0y=r2。

方法三：設A（x1，y1） ， B（x1，y1），則切線PA方程為x1x+y1y=r2，因為P（x0，y0）在直線PA上，所以x1x0+y1y0=r2，同理可得x2x0+y2y0=r2，又直線 x0x+y0y=r2（ x0、y0 不全為0）過點A（x1，y1） ，B（x1，y1） ，因此直線AB的方程為x0x+y0y=r2。

這種設而不求的思想給我們帶來了簡捷而意外的結果。

方法四：任取直線AB上的一點 M（x，y），連結 CA、CP 和CM ，設 CP和AB 交于點Q，由圓的性質可得CP⊥AB， CA⊥PA，由相似三角形可得CQ·CP=CA2=r2，而在 方向上的投影恰好是CQ，所以·=r2，于是直線AB的方程為x0x+y0y=r2。

通過上面的求法我們可以看到求切線方程的方法一跟求切點弦方程的方法三之間有一定的聯系，可以利用切線方程求出切點弦方程，但還是解釋不了為什么這兩個方程完全相同的問題。而求切線方程的方法三和求切點弦方程的方法四能夠帶給我們一些啟示，因為這兩種求法完全一樣，都是利用了動向量與定向量的數量積恰好等于 r2，也就是說不管點P（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2上一點還是圓外一點，向量都是確定的，而點M（x，y）是直線（切線或切點弦）上任意一點，動向量在定向量投影與定向量的模長之積都是r2。由此可見，這兩個方程存在一些必然的聯系，只是無法了解誰是本源，表面上看感覺是由切線方程聯想到切點弦方程的求法，也就是先有切線方程后有切點弦方程。事實果真如此嗎？

既然兩個方程有必然的聯系，而且一條是切線方程，一條是切點弦方程，即割線方程，這不禁讓我們聯想到它們之間的變化過程，聯想到導數教學中提到切線是割線的極限位置等知識，因此我們可以嘗試從逼近的角度來理解它們之間的聯系。

當弦 AB（不是直徑）確定時，則以A，B為切點的兩條切線的交點P也確定，即過兩個切點A，B的切線PA，PB的方程也跟著確定。在學完導數的幾何意義后我們知道當其中一個切點B向另一個切點A逼近時，切點弦 AB（不是直徑）所在直線（割線 AB）會趨近于確定的位置，這個確定的位置的直線稱為點 A處的切線。我們發現這種定義真正反映了切線的本質，即割線（弦所在直線）的極限位置就是切線。也就是說當兩個切點A，B重合為 A點時，兩條切線PA，PB也成為了一條，且點 P也與A點重合。這就解釋了為什么過圓 C：x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程與設P（x0，y0）為圓外一點，過P點引圓x2+y2=r2的兩條切線 PA，PB，切點為 A，B，則切點弦 AB所在直線方程完全相同的原因。歸根結底，切線是割線（切點弦所在直線）的極限位置，圓外一點P（x0，y0）隨著割線的逼近與切點A重合，從而兩個方程完全一樣。

在此基礎上我們可以把結論推廣到更一般的情況：

已知P（x0，y0）為圓C：（x-a）2+（y-b）2上一點，則過點P的圓C的切線l 的方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2;

已知P（x0，y0）為圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一點，過P點引圓C的兩條切線PA，PB，切點為 A，B，則切點弦AB所在直線方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。

在數學教學中，“少教多學”能使學生對問題有更深的思考，產生解決問題的欲望，也能使教師有發現問題多樣性的可能，促使教師努力提高業務水平和課堂教學效率。

數學思想方法就像一張“無形的網絡”把整個高中數學的內容有機地聯系起來，并滲透到所有的數學知識里，反映了龐大數學體系最本質和最深層的規律。在課堂教學中，教師要結合教學內容對學生進行數學思想方法的滲透，引導學生掌握各種數學思想方法，提高學生的解題能力和自主學習能力。

（責任編輯 趙永玲）