E.Ghys猜想的注記

郭亞曉，楊將

(西北大學數學學院，陜西 西安　710127)

E.Ghys猜想的注記

郭亞曉，楊將

(西北大學數學學院，陜西 西安710127)

通過類比自治動力系統(tǒng)中拓撲熵指數收斂的定義，給出了非自治拓撲熵指數收斂的定義及非自治Lipschitz系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的充分條件與必要條件，推廣了自治動力系統(tǒng)中的相關結論.

非自治動力系統(tǒng)；拓撲熵；熵維數；Lipschitz系統(tǒng).

1　引言

1965年，文獻[1]定義了緊致拓撲空間上的連續(xù)自映射拓撲熵，它是一個測量系統(tǒng)復雜程度的不變量.1971年，文獻[2]引入生成集和分離集的概念，對緊度量空間上的連續(xù)自映射定義了等價的拓撲熵，使人們對這一概念有了更直觀清晰的認識.

對于有限維緊無邊黎曼流形M，若f：M→M 是C1映射，Kushnirenko定理[3]給出了拓撲熵的上界

對于更一般的 Lipschitz系統(tǒng)，則 htop(f)≤dimEX·lnL(f)，其中 (X，d)是緊度量空間，f：X→X是Lipschitz映射，dimEX是熵維數，L(f)是映射f的Lipschitz常數.

對于給定的動力系統(tǒng)(X，f)，由于拓撲熵與度量無關，故

其中D是誘導相同拓撲的度量的集合，Ld(f)為相對于度量d的Lipschitz常數.

不等式(1)給出了拓撲熵、熵維數及Lipschitz常數三者的關系.之后，E.Ghys給出E.Ghys猜想，將不等式(1)變?yōu)榈仁?/p>

2009年，文獻[4]給出了等式(2)成立的充要條件為拓撲熵指數收斂.

本文所做的工作是在文獻[4]的研究基礎上引入非自治拓撲熵指數收斂的概念，并且給出非自治Lipschitz系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的一個充分條件和一個必要條件.

2　預備知識

定義 2.1設(X，f1，∞)為非自治緊動力系統(tǒng)，若任意fi都是Lipschitz映射，則(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動力系統(tǒng).

記Sd(r)為半徑為r的開球所形成X覆蓋的最小基數.

定義 2.2[6]設(X，d)為緊度量空間，其熵維數定義為：

定義2.3[5]設n∈Z+，任意ε＞0，稱X的一個子集F為X的相對度量d的(n，ε)生成集，如果任意x∈X，存在y∈F使得

記Md(f1，∞，n，ε，X)為相對度量d的(n，ε)生成集的最小基數.

定義 2.4[5]設(X，f1，∞)為非自治動力系統(tǒng)，映射f1，∞的拓撲熵定義為：

定義2.5設(X，f1，∞)為非自治動力系統(tǒng)，非自治拓撲熵指數收斂是指任意δ＞0，存在與原度量d等價的度量dδ和常數Cδ＞0，εδ＞0，使得對于任意0＜ε＜εδ，N＞Cδ·|lnε|，不等式

成立.

3　非自治動力系統(tǒng)中E.Ghys猜想成立的充分與必要條件

文獻[5]給出非自治Lipschitz動力系統(tǒng)中拓撲熵、熵維數、Lipschitz常數三者不等關系式

(其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}，而Ld(fi)為fi相對于度量d的Lipschitz常數)的證明.為了證明的完整性，下面給出證明過程.

定理 3.1[5]設(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動力系統(tǒng)，則

其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}.

推論 3.1對于任意r＞0和λ∈(0，1)，設

則Smλ(r)≤Md(f1，∞，Nλ(r)，ελ(r)，X).

引理 3.2設 (X，f1，∞)為非自治動力系統(tǒng)，若非自治拓撲熵指數收斂，則存在常數λδ＞ 0，rδ＞0，對于任意0＜r＜rδ，λδ＜λ＜1，下列不等式成立

因此存在λδ＞0，rδ=min(r1，r2)＞0，對于任意0＜r＜rδ，λδ＜λ＜1時，不等式(7)(8)同時成立.

定理 3.2設(X，f1，∞)為非自治Lipschitz動力系統(tǒng)，若非自治拓撲熵指數收斂，且對任意λ∈(0，1)時，存在與原度量d等價的度量mλ，若對于任意i∈Z+，映射fi相對度量mλ的Lipschitz常數則等式

成立，其中L′d(fi)=max{1，Ld(fi)}.

下面給出等式(11)式成立的必要條件.

定理3.3設(X，f1，∞)為非自治Lipschitz系統(tǒng)，等式

[1]Adler R L，Konheim A G，McAndrew M H.Topological entropy[J].Trans.Amer.Math.Soc.，1965，114：309-319.

[2]Bowen R.Topological entropy and Axiom A[J].Proc.Sympos.Pure.Math.，1971，14：23-42.

[3]Kushnirenko A G.An upper bound for the entropy of a classical system[J].Dokl.Akad.Nauk.SSSR.，1965，161：360-362.

[4]Saltykov P S.On the relation between topological entropy and entropy dimension[J].Matematicheskie Zametki，2009，86：280-289.

[5]Zhu Yujun.Entropy of nonautonomous dynamical systems[J].J.Korean Math.Soc.，2012，1：165-185.

[6]Kenneth Falconer.Fractal Geometry：Mathematical Foundations and Applications[M].America：Wiley，2013.

The remark on E.Ghys conjecture

Guo Yaxiao，Yang Jiang
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China)

In this paper，through analogy to the definition of topology entropy exponential convergence of the automomous dynamical system，we obtain the nation of nonautonomous topological entropy exponential convergence，and we also give the sufficient condition and the necessity condition of E.Ghys conjecture in the nonautonomous Lipschitz dynamical systems，such that we expand the related solution of application of the automomous dynamical system.

nonautonomous dynamical systems，topological entropy，entropy dimension，Lipschitz system

O189

A

1008-5513(2015)01-0065-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.008

2014-09-15.

國家自然科學基金(11301417).

郭亞曉(1989-)，碩士生，研究方向：拓撲動力系統(tǒng).

2010 MSC:37B40