一類錐約束多目標優化問題的高階對偶研究

李紅梅，高英

(重慶師范大學數學學院，重慶　400047)

一類錐約束多目標優化問題的高階對偶研究

李紅梅，高英

(重慶師范大學數學學院，重慶400047)

在一類錐約束單目標優化問題的一階對偶模型基礎之上，建立了錐約束多目標優化問題的二階和高階對偶模型.在廣義凸性假設下，給出了弱對偶定理，在Kuhn-Tucker約束品性下，得到了強對偶定理.最后，在弱對偶定理的基礎上，利用Fritz-John型必要條件建立了逆對偶定理.

錐約束多目標優化；廣義凸；對偶定理

1　引言

對偶理論是多目標優化問題的主要研究內容.1961年，Wolfe[1]首次利用Kuhn-Tucker最優性條件，在凸性假設下建立了一階對偶模型并證明了弱對偶定理.隨后，為了減弱凸性假設條件，Mond和Weir[2]提出了另一種一階對偶模型，并在偽不變凸和擬不變凸假設下給出了弱對偶定理.1975年，Mangasarian[3]在一階Wolfe型對偶的基礎上通過引進二次可微函數，建立了二階和高階對偶模型.Mond和Weir[2]考慮了另一種二階對偶模型(Mond-Weir型對偶模型).隨后，許多學者開始研究各種二階和高階對偶模型[4-9].

1996年，Nanda和Das[10]考慮了如下錐約束問題(NP)：

其中f：S→R，g：S→Rm，f，g分別是二次可微函數.S∈Rn是閉集且C1，C2是Rn和Rm內的非空凸錐.C?2為C2的負極錐.

Nanda和Das[10]建立了問題(NP)的四種對偶模型，在偽不變凸和擬不變凸的假設之下給出了弱對偶定理.隨后，Chandra和Abha[11]對四種模型進行了修正，并在廣義凸性假設下證明了四種對偶模型的弱對偶和強對偶定理，但并沒有給出其逆對偶定理.因此，文獻[12]中利用Fritz-John型必要條件給出了四種對偶模型的逆對偶定理.

本文是在文獻[12]的基礎之上，考慮了多目標錐約束優化問題的二階和高階對偶模型，給出并證明了相應的弱對偶，強對偶和逆對偶定理.本文結構如下：第1節，給出了一些基本知識以及錐約束多目標優化問題高階對偶模型.第2節，討論了錐約束多目標優化問題高階對偶模型的弱對偶，強對偶和逆對偶定理.第3節，給出了錐約束多目標優化問題的二階對偶模型并討論了其弱對偶，強對偶和逆對偶定理.

2　預備知識

設Rn是n維歐氏空間，Rn+是非負象限.對x，y∈Rn給出以下符號：

定義2.1[13]設S?Rn是閉集，函數f：S→R在S上關于η是高階偽不變凸的，如果對任意x，u，p∈S，有

定義2.2[13]設S?Rn是閉集，函數f：S→R在S上關于η是高階擬不變凸的，如果對任意x，u，p∈S，有

其中函數η：S×S→Rn，函數h：S×Rn→R且h關于p可微.

定義2.3[14](i)可行解稱為問題(MOP)的弱有效解，若不存在x∈S使得

對于(MOP)，在文獻[11]中錐約束單目標對偶模型(D)2的基礎之上，建立如下高階對偶模型(HD)：

其中，h：Rn×Rn→Rl和k：Rn×Rn→Rm是二階連續可微函數.

3　高階對偶定理

下面將討論弱對偶定理，強對偶定理和逆對偶定理.

4　二階對偶定理

下面討論問題(MOP)的高階對偶模型(HD)的特殊情況.令

則高階對偶(HD)退化為(MOP)的二階對偶模型(SD)：

注4.1當h(u，p)=pT?f(u)，k(u，q)=qT?g(u)，l=1時，多目標高階對偶模型(HD)退化為文獻[6]中的單目標一階對偶模型(ND)2.

高階對偶模型(HD)的弱對偶定理3.1和強對偶定理3.2可分別退化為二階對偶模型(SD)的弱對偶和強對偶定理.

下面給出例子說明逆對偶定理的合理性.

正定且?yg(0，0)=0.因此定理4.3中的假設條件都滿足，故(0，0)是(MOP)的可行解.又因(λ，u，y，p=0，q=0)滿足定理4.1中的廣義凸性假設條件，因此(0，0)是(MOP)的有效解.

事實上，原問題只有(0，0)一個可行解，因此(0，0)確實是原問題(MOP)的有效解.

[1]Wolfe P.A duality theorem for nonlinear programming[J].Quart.Appl.Math.，1961，19：239-244.

[2]Mond B，Weir T.Generalized Concavity and Duality，in：S.Schaible，W.T.Ziemba(Eds)，Generalized Concavity in Optimization and Economics[M].New York：Academic Press，1981.

[3]Mangasarian O L.Second and higher-order duality in nonlinear programming[J].J.Math.Anal.Appl.，1975，51：607-620.

[4]Gulati T R，Divya Agarwal.On Huard type second-order converse duality in nonlinear programming[J]. Appl.Math.ett.，2000，20：1057-1063.

[5]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Higher-order generalized convexity and duality in nondifferentiable multiobjective mathematical programming[J].J.Math.Anal.Appl.，2004，297：48-55.

[6]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Huard type second-order converse duality for nonlinear programming[J]. Appl.Math.Lett.，2005，18：205-208.

[7]Ahmad I，Husain Z，Sarita Sharma.Higher-order duality in nondifferentiable multiobjective programming[J]. Numerical Functional Analysis and Optimization，2007，28：989-1002.

[8]高英.一類多目標廣義分式規劃問題的最優性條件和對偶[J].純粹數學與應用數學，2011，27(4)：476-485.

[9]高英.非可微多目標優化問題的高階逆對偶定理[J].純粹數學與應用數學，2014，30(2)：136-142.

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[11]Chandra S，Abha.A note on pseudo-invex and duality in nonlinear programming[J].European Journal of Operational Research，2000，122：161-165.

[12]Yang X M，Yang X Q，Teo K L.Converse duality in nonlinear programming with cone constraints[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：350-354.

[13]Mond B，Zang J.Higher order invexity and duality in mathematical programming[J].European Journal of Operational Research，1998，163：357-372.

[14]Sawaragi，Yoshikazu Date.Theory of Multiobjective Optimization[M].Japan：Department of Applied Matheatics Konan Uinversity，1985.

Higher-order duality in multiobjective programming problems with cone constraints

Li Hongmei，Gao Ying

(Department of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing400047，China)

In this paper，basing on the first-order dual models for single objective problems with cone constraints，we construct second-order and higher-order dual models for nonlinear multiobjective programming problems with cone constraints.And then we establish weak and strong duality theorems under generalized convexity assumptions.By using Fritz-John type necessary condition，converse duality theorems are established.

multiobjective programming problems with cone constraints，generalized convexity，duality theorems

O221.6

A

1008-5513(2015)01-0073-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.009

2014-07-18.

國家自然科學基金(11201511)；重慶市重點實驗室專項項目(CSTC，2011KLORSE03).

李紅梅(1988-)，碩士生，研究方向：多目標規劃.

2010 MSC:90C32，90C46，90C47