線性切換系統的ε—集合實用穩定性

張圩 王野平 顏偉霞 黃劉軍 趙瑋英

摘 要：本文研究了線性切換系統ε-集合實用穩定性，其中切換系統沒有共同平衡點，并且每個子系統都是指數穩定的。本文通過找到一個固定的切換序列，依照這個切換序列選定一個固定集合，在給定的切換法則和集合下，證明了線性切換系統的ε-集合實用穩定性；最后給出了仿真結果，說明結論的正確性。

關鍵詞：ε-集合實用穩定；切換法則；全局指數漸進穩定

1 概述

隨著人類對各類控制系統精度需求的不斷提高，對切換系統的研究也越來越受到更多科學家的關注。事實上，過去人們更多的關注有共同平衡點的切換系統，其中大部分都使用的是Lyapunov函數方法，可是找出Lyapunov函數并不容易。近些年，人們研究發現盡管這類子系統沒有共同的平衡點，但是在給定合理的切換法則條件下，系統的軌線仍然能夠表現出以前傳統穩定系統類似的有趣的軌線行為，他們把這種行為定義為實用穩定性，同時也依賴能量函數在特定條件下給出了實用穩定性的一些充分條件。X. Xu給出了在給定切換法則條件下系統關于原點的ε-實用穩定性的定義。本文給出了在給定的切換法則條件下系統關于給定集合的ε-集合實用穩定性的定義，并給出了線性切換系統在特定條件下的ε-集合實用穩定性的一些充分條件。

2 實用穩定性和概念（Practical stability and some notions）

考慮線性切換系統

=Aix+bi，i∈I=1，2，···，m， （2.1）

這里Ai∈Rn×n是一個非奇異的矩陣，bi∈Rn，x∈Rn，m∈N是子系統的個數。令xi是第i子系統的平衡點。在本文中，我們總是假設：

（H1） 切換法則S是固定的，即切換序列是固定的；

（H2） 若Г[∩]Rn，x∈Rn，那么x與集合Г的距離被定義為ρ（x，Г）：

ρ（x，Г）=‖z-x‖，這里‖x‖代表向量x的范數

（H3） 存在α>0，M≥1， 使得對所有的i∈I，

‖e‖≤Me-αt，t≥0 （2.2）

定義2.1 （ε-集合實用穩定性）：假設對系統（2.1）給定切換法則S*和集合Г。給定ε>0，系統 （2.1）是在切換法則S*下關于Г集合是ε-集合實用穩定的，若對任意的t0≥0，這里都存在δ=δ（t0，ε）>0，使得當ρ（x（t0），Г）<δ時，對所有的t≥t0，都能得到ρ（x，Г）≤ε成立；

本文中，我們將研究系統（2.1）關于集合Г的ε-實用穩定性。

=Aix+bi，

x（t0）=x0 （2.3）

它很容易得到：對任意固定的i∈I，系統（2.3）的初值問題的解，

x（t）=e（x（t0）-xi）+xi （2.4）

這里xi是ith系統的平衡點。

令t時刻剛好切入i子系統，即當t∈[t，t）時，i子系統是被激活的子系統，對給定的ε>0，任意t∈[t，t]，定義切換法則如下：t滿足

S1：t≥t，T≤t-t<+∞，k=1，2，···，m=1，2，··· （2.5）

且 Tl=max

-

ln

，，l=1，2，···。那么對任意的t∈[tk，tk+1]，k∈N，可得x（t）=e（x（t）-x）+x，t∈[t，tk+1），

由曲線 x（t）和y（t）的性質可得

ρ（x（t），Γ）=inf‖x（t）-e（x-x）-x）‖=‖x（t）-y（t）‖

令Γ1=

y（t） t∈

[t，tk+1）

y（t） t∈[tk+m，tk+m+1），m=1，2，...， （2.6）

其中y（t）=e （ x-x）+x ，y（t）=e（x-x）+x 。

引理2.1 對給定ε>0和切換法則S1，[∨] t， δ（ε）>0，使ρ（x（t），Γ）<δ時滿足

‖x（tk+m）-x ‖<，k=0，1，2，···，m=1，2，··· （2.7）

證明：對給定的ε>0，令δ=，由于ρ（x（t），Γ）<δ，可得

‖x（t）-y（t）‖<δ。

當m=1時，可得

‖x（tk+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖=‖e（x（t）-y（t）+y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖+Me‖x-x‖<。

當m=n時，假設式（2.7） 成立，即‖x（tk+n）-x‖<，k=0，1，2，···。

那么，當m=n+1時，我們有‖x（tk+n+1）-x‖=‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（tk+n）-x‖+Me‖x-x‖<+=。

注2.1 從系統（2.2）全局指數漸進穩定性的性質和t ≥tk+m以及引理2.1中可得：對給定的ε>0， δ（ε）>0，使得當ρ（x（t），Γ）<δ時，滿足

‖x（ t）-x‖<，k=0，1，2，··· （2.8）

3 主要結論（Main Results）

定理 3.1 對給定的ε>0和集合Γ1，切換系統（2.1） 在切換法則S1下關于集合Γ1是ε-集合實用穩定的。

證明： 當t∈[t，t），m=0，1，2，···，時， i（k∈N）子系統被激活，于是切換系統（2.1）在切換法則S1下的解為

x（t）=e

（x（

t）-

x）

+x， t∈[

t，

t），

e

（x（

t）-

x）+

x， t∈[

t，

t ） （3.1）

a 當t∈[t，t）時，由于t≥tk+1，我們可以分兩個區間來研究。

當t∈[t，t）時，可得

ρ（x，Γ）=inf ‖x（t）-y（t）‖≤‖e（x（t）-x）-e（y（t）-x）‖≤Me‖x（t）-y（t）‖<ε。

當t∈[t，t ）時，可得

ρ（x，Γ）≤inf‖x（t）-y（z）‖≤‖x（t）-x‖≤‖e（x（tk+1）-x）‖≤Me‖x（tk+1）-x‖<ε。

b當t∈[t，t）時，由于t-t≥tk+m+1-tk+m，那么我們也同樣分成兩個區間研究，這里m=1，2，...。

當t∈[t ，t+ tk+m+1-tk+m ）時，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf ‖e（x（t）-x）-e（x-x）‖

通過自治系統的平移性，軌線沿t軸向左平移t-tk+m單位，可得

ρ（x（t），Γ）≤inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤

inf‖e（x（t）-x）- e（x-x）‖≤‖e（x（t）-x）‖≤Me‖x（t）-x‖<ε。

當t∈[ t+tk+m+1-tk+m，t）時，

ρ（x（t），Γ）=inf z∈[0，+∞）‖x（t）-y（z）‖≤inf‖e（x（t）-x）+x-y（z）‖≤Me ‖（x（t）-x）‖+ Me‖x-x‖<≤ε。

綜合a和b，定理得證。

4 仿真結果（Simulation）

例 考慮下面這個切換系統

=Aix+bi，i=1，2，3， （4.1）

其中 A1=-1 1

0 -2 ，A2=-3 0

-2 -1 ，A3=-2 1

1 -2 ，b1=（-5，3）T，b2=（2，-4）T，b3=（3，1）T。

定義x1，x2，x3為子系統1，子系統2，子系統3的平衡點。易得 x1=（-1.1429，3.7143）T，x2=（-1.2857，-2.4286）T，x3=（1.1538，-1.2308）T。

令M=2，α=1.6，ε=0.1，k=1，則δ=0.0125，假設初始時t0=0，初始狀態為x（t0）=（-1.1，3.7）T，并且初始子系統為子系統1。這里我們取t =2∈[t1，t2）， 則x（t）=（-0.353，-2.11）T，根據定理3.1，算出切換時間序列并且選取集合Γ。為方便，選取

t1=1，t2=5.5，t3=9，t4=12.5，t5=15.5，t6=19.5，···；

t=2，t=6，t=11，t=15，t=19，t=24，···。

參考文獻：

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