對多元函數幾類積分的理解

李　娜，王 潔

（商丘工學院基礎教學部，河南　商丘　476000）

對多元函數幾類積分的理解

李娜，王 潔

（商丘工學院基礎教學部，河南商丘476000）

多元函數的積分是一元函數定積分在多元函數上的推廣，本文把多元函數積分與一元函數定積分的概念和性質加以對比，分析兩者的區別與聯系，使學生從整體上更好的理解多元函數積分概念.

定積分；多元函數積分；對比

多元函數的積分是高等數學的一個重要組成部分，它是一元函數定積分在多元函數上的推廣.由于多元函數的自變量個數不同，因而多元函數的積分是多樣的，有二重積分、三重積分、曲線積分與曲面積分等.

1 重積分、曲線積分、曲面積分概念與定積分概念的對比

一元函數定積分定義：設函數f（x）在閉區間［a, b］上有定義.

（1）用n-1個分點a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…xn-1＜xn=b將區間［a,b］任意分割成n個小區間［xi-1，xi］，i=1，2，…，n，小區間長為Δ xi=xi-xi-1，i= 1，2，…，n

（2）在每個小區間［xi-1，xi］上任取一點ξ1，作乘積

多元函數的常見積分形式有二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分，這些積分與定積分的思想方法是相同的，都是采取分割、近似代替、求和、取極限的思路.但因為函數、定義域與積分和的不同，所以有不同形式的積分.

從以上的對比中可以看出，多元函數的幾類積分的思想方法與定積分是相同的，都是采取分割、近似代替、求和、取極限的思路.不同之處在于解決不同類型問題，建立不同的理論.二重積分分割的不再是某一區間，而是平面上某一有界閉區域；被積函數也不再是一元函數，而是二元函數；二重積分中出現面積元素dσ.類似的，三重積分分割的是空間內某一有界閉區域，被積函數是三元函數；三重積分中出現體積元素dv；曲線積分分割的是平面上某一光滑曲線??；被積函數是二元函數；曲面積分分割的是空間內某一光滑曲面，被積函數是三元函數.

2 格林公式、高斯公式與牛頓-萊布尼茨公式的對比

牛頓-萊布尼茨公式

表示一元函數在區間上的定積分與它的原函數在區間邊界上的值之間的聯系。

類似的，格林公式

表示二重積分與曲線積分之間的關系，即一個二元函數在平面區域D上的二重積分與其“原函數”在其區域邊界曲線上曲線積分之間的聯系。

類似的，猜想三重積分與曲面積分的關系，高斯公式

表示一個三元函數在空間區域Ω上的三重積分與其“原函數”在其區域邊界曲面上曲面積分之間的聯系.

從以上比較中可以看出，利用格林公式可以把曲線積分轉化為二重積分，二重積分的計算方法比較多，學生計算起來更為簡單.同樣，利用高斯公式可以把曲面積分轉化為三重積分，三重積分的計算相對容易些，從而把復雜的積分化為相對容易些的積分.

3 重積分、曲線積分性質與定積分性質的對比

定積分、二重積分、三重積分、曲線積分都具有以下性質：

（1）積分的線性性質；

（2）積分的可加性；

（3）被積函數恒等于1時幾何意義，其中

（4）積分的單調性；

（5）絕對可積性；

（6）積分估值定理:

（a）定積分估值定理：設M,m分別是f（x）在［a, b］上的最大值與最小值，則

（b）二重積分的估值定理：設M,m分別是f（x,y）在閉區域D上的最大值和最小值，則

（7）積分中值定理：

（a）定積分的中值定理：設f（x）在［a,b］上連續，則存在ξ∈［a,b］，使得

（b）二重積分的中值定理：設f（x,y）在閉區域D上連續，則在 D上至少存在（ξ，η），使得

通過多元函數積分與定積分的概念和性質的對比，學生能夠更好理解多元函數積分概念，同時掌握多元函數積分的計算及其相互轉化.

［1］龔德恩，范培華.微積分［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2008:187-188.

［2］同濟大學數學系.高等數學［M］.第6版.北京：高等教育出版社，2007134-215.

［3］馬建珍.論《數學分析》課程的整合［J］.邢臺學院學報，2013（2）:160-161.

U nderst andi ngof Mult i pl e Funct i ons for Several Types of Int egral

LINa，WANGJie
（BasicTeachingDepartment，ShangqiuInstituteofTechnology，ShangqiuHenan476000）

Integrationofmultivariatefunctionisageneralizationofabinaryfunctionofdefinite integral in the function of many variables.In this paper，the concept and nature of multi-function integration is compared with the functions of one variable definite integral，both the differences and connections are analyzed.As a result，students can better understand the whole concept of multi-functionintegral.

DefiniteIntegral；MultivariateFunctionIntegration；Contrast

O 172.2

A

1672-2094（2015）01-0152-02

責任編輯：張隆輝

2014-11-24

李娜（1984-），女，河南商丘人，商丘工學院基礎教學部助教，碩士。研究方向：微分方程數值解。