數學建模思維與社會生活的有機融合

楊仁剛

【摘要】 一般來說，數學模型是針對具體實物建立起來的，即可在現實生活中找到原型，其目的是為了解決實際問題。它的應用范圍非常廣泛，在許多領域發揮著重要作用。本文從生活問題入手，分析如何建立其幾何模型，探求解決途徑，并研究所建模型的應用領域，即還可利用此模型解決的類似問題有哪些。

【關鍵詞】 數學建模 數學模型 幾何模型 簡化

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2015）01-032-01

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所謂數學建模就是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理過程后，將實際問題用數學方式表達，建立起數學模型，然后運用先進的數學方法及計算機技術進行求解。

在實際應用中，數學模型可按不同方式分類。若按建立模型的數學方法分類，則它可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規劃論模型、馬氏鏈模型等。這些模型彼此之間并非絕對孤立，而是互相滲透，互為工具。

在可用數學建模的方法解決的問題中，有些比較簡單，只使用其中的一種模型即可。例如，一把梯子斜靠在墻上，如何測得梯子和墻的夾角呢？首先建立梯子的幾何模型，即將其假設為一線段，忽略其余各部分。接下來，測量梯長以及從梯子與墻的交點到地面的垂直距離。再利用三角函數，便可計算出夾角。但在解決復雜問題時，僅使用幾何方面的知識或者其它某類知識是遠遠不夠的，往往是兩類或多類知識綜合起來使用，會達到事半功倍的效果。或者在原有模型的基礎上，使用幾何模型作為輔助手段，也會為問題的解決帶來驚喜。

幾何模型不是原型，既簡單于原型，又高于原型，它是對原物體簡化后的產物。幾何模型有一定的適用條件，即在所要解決的問題中需出現具體實物，因為要建立所研究問題的幾何模型就一定脫離不了具體實物的存在。若問題中沒有出現有具體形狀的物體，則幾何模型也無從談起。但是由于我們所要解決的實際問題有許多都會涉及到具體實物，所以幾何模型的應用范圍是很廣泛的，地位是舉足輕重的。下面舉例分析幾何模型的具體應用。

問題描述：人在行走時所做的功等于抬高人體重心所需的勢能與兩腿運動所需的動能之和。在給定速度時，以動作最小（即消耗能量最小）為原則。問走路步長選擇多大為合適？

問題分析：此問題若陷入人體復雜的生理結構之中，將會得出過于復雜的模型而失去使用價值。對人體進行合理的簡化，是解決問題的首要步驟。由于此例要解決的是步長問題，則人體的生理結構這一復雜因素是可以忽略的。

另外，依靠平時生活經驗的積累，可判斷影響步長的主要因素有：（1）身高（或腿長h）；（2）體重M.

為簡化問題的研究，做以下假設：

（1）假設人體只由軀體和下肢兩部分組成，且下肢看作長為、質量為的均勻桿；

（2）設軀體以勻速前進。

模型建立：如圖1所示，重心升高δ=h-hcosθ=h-h■■≈■（當l/h較小時）。

腿的轉動慣量I=■，角速度w=■，單位時間的步數為 ■.所以單位時間行走所需的動能為wδ=■Iw2■=■.

單位時間內使身體重心升高所做的功為Wδ=mgδ■=■ ，所以單位時間行走所需的總功W=We+ Wδ=■+■.代入n=■，得W=v2■.于是當v一定時，n■ 可使W最小。由l= ■，得l=■v0.求解完畢。

小結

通過研究前面兩個問題，我們作以下三點總結：

（1）在上述問題中，我們用幾何模型結合物理知識，解決了人體行走中的步長問題。建立模型時，把人體只看作由軀干和下肢兩部分組成，是對人體的第一次簡化；接著又將下肢看作長為、質量為的均勻桿，是對人體的第二次簡化。兩次簡化對問題的解決起到了關鍵作用，既合理簡化了問題，又未因過分簡化而使模型失去其使用價值。而在第二個問題的模型建立中，將人體直接看成是一個長方體的物體。通過對比我們可以看出，在解決不同的實際問題時，對同一物體可根據實際需要做出不同的模型假設。數學模型的建立是一個對模型反復推敲不斷完善的過程。雖然建立模型是為了簡化問題，但有時這種簡化是過度的，即得到的結果與現實情況出入過大。這時就需要返回問題分析這一步驟，對模型原有假設進行修改，使其逐漸向原型靠近，從而得出合理的結論。

（2）此外，還有很多物體運動值得我們研究。例如汽車剎車距離問題，即兩車之間保持多長距離能保證司機在發生意外時可以及時剎車。在汽車駕駛中有這樣的規則：正常駕駛條件下車速每增加10，后面與前面一輛車的距離應增加一個車身的長度。有人根據這一規則，推出了所謂的“2秒準則”，即后車司機若能在前車經過某一標志的2秒鐘后到達同一標志，則此時兩車之間的距離剛好。這個準則的合理性如何，是否有更好的準則？這些問題都值得研究。如果此準則合理，就可以確定兩車在駕駛過程中應保持的車距了。

通過分析研究以上問題，我們可以更加深刻地體會到幾何模型在現實生活中的重要作用，利用它可以許多棘手問題。隨著數學以空前的廣度和深度向一切領域的滲透，和計算機的出現與飛速發展，數學建模將越來越受到人們的重視。幾何模型作為數學建模必不可少的工具，也必將有更多的空間施展拳腳。