高中數學不等式易錯題型及其解法探討

丁曉璇

[摘 要]求解不等式解集是高中數學教學內容的重要組成部分，其難度較大，學生不易理解，因而常常出現錯誤。本文分析了高中數學不等式問題中學生容易出錯的題型，如不等式與線性規劃的結合、不等式中一元高次不等式問題，并分析相應的解題方法，以便幫助學生避免錯誤，使學生的成績得到提高。

[關鍵詞]不等式問題；易錯題型；解題技巧

不等式是高中數學教學中的難點，歷年高考試題中，無論是填空題或是計算題，都對不等式知識有所涉及。不等式知識復雜，且在數學中的應用范圍較廣，導致學生經常出現失誤。

一、高中數學不等式問題中學生易錯題型及其解題技巧

（一）不等式與線性規劃相結合的問題

數學考試題目中，這類題型頻繁在數學考試中出現。因其考察的范圍廣，對學生綜合運用數學知識的能力要求較高。

題目一：由y-x+2，ykx+1，x0三個不等式組合為等式組，三項不等式所圍成的平面區域面積為1 ，求解k值為多少？

分析：學生在計算三條直線所圍成的三角形區域時容易出錯，該題要求學生明確三個不等式的取值范圍，并畫出圖示。學生在解答該題時，應先繪制三條直線，并標示其共同包含的區域（如圖1所示）：

由圖像可知，△ABC 即為三條直線所圍成的平面區域，學生可將題目轉化為幾何題目。設平面直角坐標系原點為O，將BC作為三角形的底邊，AO作為三角形的高。則BC·AO=2，學生此時計算BO距離，即不等式y=-x+2縱軸交點與原點的距離。計算得出BO的距離等于2，同理可得CO等于1，則BC=BO-CO=2-1=1，將BO=1代入BC·AO=2，可得AO=2。即y=-x+2與y=kx+1兩個方程的交點坐標為（y，2），將坐標代入兩方程中，分別得到y=2k+1和y=0，將兩個式子合并可得：0=2k+1，由此可得，k=。

總結：解答此類題目的技巧共有兩個：其一，學生在求該類型問題或遇到求解極值的問題時，應先繪制出不等式組的可行域，將其轉化為幾何知識，理解可行域的幾何意義，之后將不等式轉化為等式，通過計算解決題目問題。其二，學生將不等式化為函數，并為函數設定一部分參考值，從函數入手，觀察不同參考值下，函數圖形的變化，從而逐漸鎖定影響函數變化的量，對其進行求解。這兩種方法是解答該類問題的主要方法。

（二）高次不等式問題

這類題型同樣是高中考試中常見的問題，學生在該類題型中出現錯誤，原因主要有三點。第一，學生忽略了題目中部分隱性的要求，如高次分式不等式中，學生會遺忘分母不能為零這一要求。第二，學生對解集的區域不明，部分學生雖然能夠得出解集的范圍，但對范圍邊界不明，主要體現于學生不能確定解集是否要取邊界值。第三，學在使用“穿根法”時，不能確定函數的升降規律。以上便是構成學生在解答問題時出錯的原因。

題目二：求不等式（x+3）（x-2）（x-4） 0的解集。

分析：該題已明確給出學生函數的根，分別為：x=-3、x=2、x=4。學生能夠準確在序軸中標示三個零點，將序軸分為四個區間。學生運用穿根法，從最右端的零點開始，由右上方過右端零點向左下方穿過，之后依次穿過每個零點，形成一條函數曲線圖（如圖2所示）。

之后學生按照題目要求，進行圖像選擇。因為題目要求整式小于0，所以學生應選擇序軸以下的圖像，即得出不等式的解集（-，-3）U（2，4）。學生繼續分析題目，可以發現，題目中的不等符號是“”，因此邊界值可以納入集合當中，所以該題最終的解集為（-，-3]U[2，4]。

題目三：求解分式不等式

分析：該題解題思路與上一題基本相同。學生在計算前需將不等式形式轉化為（x-2）（x+1）（x-6）（x+2） 0，學生由題得出函數（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）=0的根，分別為：x=2、x=-1、x=6、x=-2。將四個零點標示在序軸中，并運用穿根法進行穿根，便可得到圖像不等式的函數圖像（如圖3所示）。學生根據圖像可得結果（-，-2]U[-1，-2]U[6，+）。

部分學生的解題至這一步便結束了。然而學生忘記該題是分式不等式，作為分式便具有一個限制條件：分式中分母不得為零。雖然該題沒有標注，且題中所用符號為“”，但是學生依舊需要將分母為零的情況納入考慮范圍。因此，該題還需繼續解答。令（x+2）（x-2）0，故而，該題最終的解集為（-，-2）U[-1，-2）U[6，+）。

總結：學生在解決該類問題時，應熟練掌握穿根法這一解題方式，運用穿根法能夠提高學生的解題速度，降低題目難度。同時學生解得解集后，也應對解集的臨界點進行判定，確定其是否可以納入解集范圍內，從而使解集不會出現問題。

二、結語

高中數學不等式知識與其他知識聯系緊密，因此考試試題復雜多變。教師在授課時，應常常分析學生的易錯點，根據易錯點找尋學生出現錯誤的原因，幫助學生改正，從而提高學生的成績。

參考文獻：

[1]吳華妹.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究[J].中國校外教育，2014，S3：405.

[2]全裕剛.探究不等式在高中數學解題中的應用[J].亞太教育，2015，21：38-39.