高中幾何中向量的應用探究

鞏明珠

向量近代理科中最重要也是最基本的數學概念之一，兼具代數的性質和幾何的性質。同時，向量是高中數學最主要的知識點，是學生用來解決高中幾何問題的主要手段。

一、高中幾何向量的概念

在高中數學的幾何中，向量是一種兼具數值大小和箭頭方向的幾何對象。幾何向量，也叫歐幾里德向量，是平面向量和空間向量的組成元素。其表達方式是一個帶箭頭的線段。箭頭的指向代表了向量在平面或者空間里的方向，線段的長度則是向量在數值上的大小。一個向量可以有三種表達方式。用小寫字母a、b、c…和希臘符號…表示一個向量是代數表示法。用有向線段和單位向量AB來表示一個向量是幾何表示法，如圖1。用平面坐標OXY或；立體坐標OXYZ來表示一個向量則是坐標表示法，如圖2。幾何向量的幾何性質決定了向量的運算定理。加法、減法、乘法是較為常見的數值運算，如表1所示。數量積是幾何數學里特有的一種數乘運算，而向量積則是幾何向量獨有的運算方式，如圖3。

二、高中學生學習幾何向量的問題

高中數學對幾何向量知識點的考查主要集中在基礎知識和應用解題這兩個方面。基礎知識方面，考查的是向量的基本概念和運算方式，一般都以求長度、求夾角、判斷幾何形狀和垂直、平行等關系的選擇題、填空題為主。應用解題方面，考查的是向量知識與其它數學知識的綜合應用能力，一般都是以數學知識網絡的交匯點來設計解答題的。

三、高中幾何向量的具體應用

（一）用向量來解平面幾何。平面向量既有大小又有方向，可以進行數值上的代數運算，也可以利用幾何性質進行幾何演算。

【例1】已知定點A和點B的坐標分別是（-1，0）和（1，0），點P是圓（x-3）2+（y-4）2=4上的一個動點，求2+2的最大值和最小值。

【解題思路】根據題目中的說明，建立起OXY的平面直角坐標軸，將點A和點B標注在坐標上。然后根據圓的幾何公式，假設圓心為點C，求出圓心的位置坐標。接著，假設點P的坐標為（x，y），代入公式，求出2+2的長度區間。

【解題過程】如圖4，以x為橫軸，以y為豎軸，建立平面直角坐標軸，設圓心為點C，設點P的坐標為 。

因為=（-1，0），=（1，0），所以+=0，·=-1。

由中點公式可以得出+=2，所以，

2+2=（+）2-2·

=（2）2-2（-）·（-）

=42-2·-22+2（+）

=2+2

又因為=（3，4），點P在圓（x-3）2+（y-4）2=4上，

所以=5，=2，=+

得出結論，-≦=≦+

即3≦≦7

所以，20≦2+2=2+2≦100

答：2+2的最大值是100，最小值是20。

（二）用向量來解立體幾何

空間向量就是把平面向量及其線性運算推廣到了空間，主要用來解決三維空間的圖形問題。

【例2】已知四棱錐S-ABCD中，SA=SB=SC=SD=AB=BC=CD=AD，P為SD上的一點。

求證：（1）ACSD；（2）SD平面PAC時，SC上是否存在一個點E，使得BE//平面PAC。如果點E存在，則求出SE：EC的值；如果點E不存在，則說明不存在的理由。

【解題思路】根據題目中的說明，建立起OXYZ的空間直角坐標軸，利用向量的垂直條件·=0，則，可以證明出和這兩個向量的平行關系。而要滿足線面平行的條件，就要通過運算得出l//·=0的結果。

【解題過程】如圖5，連接BD，假設AC和BD的交點是點O，依據題目中的說明可知，SO平面ABCD。所以，以點O為空間直角坐標軸的坐標原點，以OB為x軸，以通過O的AC為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標軸。證明如下：假設AB=a，可知OS=a，得出點S的坐標是（0，0，a），點D的坐標是（-a，0，0），點C的坐標是（0，a，0）。因為，=（0，a，0），=（-a，0，-a）·=0，所以，ACSD。

四、結語

綜上所述，向量是一種帶有幾何性質的量，是一套具有優良運算通性的數學體系。高中學生在學習幾何數學時會遇到對向量的認識不清、忽視向量法的適用性和資料總結嚴重匱乏這三種問題。因此，高中數學教師在教授學生用向量法快解決數學問題的實際應用中要參照本文列舉出的典型題型解題方式，幫助學生理順題目說明中提供的線索，明晰解題的思路和步驟，條理清晰地解決問題，讓學生能夠輕易地理解，熟練掌握用向量法解決數學實際問題的具體應用方式。