平面幾何在解析幾何中應用舉例

許四軍

【摘 要】本文結合幾道關于解析幾何中常見的問題為例，嘗試從平面幾何的角度去研究解決解析幾何問題，旨在簡化某些解析幾何問題的解答過程，豐富解析幾何問題的求解思路。

【關鍵詞】平面幾何;解析幾何;應用

有人說，初中數學最難的是平面幾何，高中數學最難的是排列組合。雖然有一點片面，但是仔細想想會覺得不無道理。還有人認為，初中數學里的平面幾何那么難，學生學起來比較痛苦，但在高中平面幾何幾乎沒什么用。表面上看，高中數學在教學內容上確實沒有對初中的平面幾何作進一步的延伸，但事實上，學好平面幾何對學生的邏輯推理能力，圖形圖像的分析能力等有重大的幫助，而這種能力是學好后續課程的必要條件。

高中數學關于幾何的內容主要是立體幾何和解析幾何兩個板塊，對于同屬于幾何范疇的內容，平面幾何的思想方法在高中立體幾何與解析幾何中都扮演著重要作用。尤其是在后者中，有些解析幾何問題要么思維上遲遲打不開局面，要么運算量非常龐大且復雜，這時如果跳出來原有思維從平面幾何的角度考慮，往往會給人一種柳暗花明的感覺。下面將結合實例來分析平面幾何在解析幾何的應用，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

例1：過橢圓C：+=1（a>b>0）的左焦點F且傾斜角為60°的直線l交橢圓于A，B兩點，若|FA|=2|FB|，則此橢圓的離心率e=_________。

分析：由|FA|=2|FB|可聯想到，對應邊成比例，進而考慮構造兩三角形相似，利用平面幾何求解。

解：過A、B兩點分別作左準線的垂線，垂足分別為C，D，設直線l交左準線于點E，則由平面幾何知識易得，△EBD～△EAC，所以，。令BF=x，根據橢圓第二定義有，BD=，AC=則BD為△EAC中位線，故EA=6x。又直線l傾斜角為60°，由直角三角形中三角函數知，

例2：設F1（-c，0），F2（c，0）分別是橢圓C+=1（a>b>0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線x=于點Q，若點Q的坐標為（4，4），求橢圓C的方程。

分析：本題若利用向量或斜率知識均可求出Q（，2a），進而求出橢圓C的方程，難度不大。這里給出平面幾何的解法，也是不錯的選擇。

解：設直線x=與x軸交點為M，因為PF2⊥QF2，則可得兩個三角形相似：△PF1F2～△F2MQ，從而MQ=2a，從而有Q（，2a），再由Q的坐標為（4，4）代入即可得橢圓的方程為+=1。

例3：已知過點A（0，1），且斜率為的直線與圓C（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N兩點。

求證：·為定值

分析：本題若利用向量的坐標運算及韋達定理可得·=7，但運算較繁。注意到，AMN是⊙C的一條割線，結合所求問題，可考慮利用平面幾何的切割線定理。（注：圓的切割線定理：若PQ為切線，PMN為割線，則：PQ2=PM·PN。）

解：過點A作⊙C的一條切線AT交⊙C于點T，連接AC和CT，由勾股定理得，

AT2=AC2-CT2=（2-0）2+（3-1）2-1=7

又由圓的切割線定理，·AM·AN=AT2=7。

例4：已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，直線l1過定點A（1，0）

若l1與C圓相交P，Q于兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x+2y+2=0的交點為N，判斷AM·AN是否為定值，若是，則求出定值;若不是，請說明理由。

分析：對于本題，大多數同學很容易想到下面的方法一去做：

法一：易知l1的斜率存在，設l1方程為：y=（x-1），

聯立y=k（x-1）（x-3）2+（y-4）2=4，結合韋達定理可得，

聯立y=k（x-1）x+2y+2=0可得，

故，

若從平面幾何的角度重新審題，觀察圖形，可發現有下面較簡潔的法二：

法二：（平面幾何）連接CA并延長交l2于點D，注意到kl·kAC=-1，則l2⊥lAC，由平面幾何知識易證得：△ACM～△AND

所以，=，又AC=，從而，AM·AN=AC·AD=6。

例5：設圓C：x2+（y-1）2=5，直線l：mx-y+1-m=0交圓C于A，B兩點，若P（1，1）點分弦AB為=，求此時直線l的方程。

分析：直線與圓相交問題往往于平面幾何的垂徑定理或勾股定理有關。

解：（平面幾何）容易發現，直線恒過定點P（1，1），且在圓C內。取AB的中點為M，由垂徑定理有，AB⊥MC，設PM=x，則在直角△AMC，△PMC中，由勾股定理可得，MC2=（）2-（3x）2=PC2-x2，又PC=1，故x=，

即圓心C到直線l的距離：

所以，m=±1，即得l的方程為y=x或x+y=2。

【分類號】G633.6

（作者單位：江蘇常州北郊高級中學）