例談基本不等式解題的技巧

王莉敏

基本不等式不僅是高中數學課程的重要內容，而且也是近幾年高考的熱點內容;同時，基本不等式作為一種解題的重要工具，與其他數學知識易于交匯，所以，它越來越受各種高中數學考試命題者的青睞;但在應用基本不等式解決問題時，常常需要配合一定的變形與轉化技巧，既有難度又較為靈活.就以上問題，筆者在平時的教學與解題中總結與歸納了幾條技巧，以饗讀者.

一、配湊

例1.函數y=x（a-2x）（x>0，a為大于2x的常數）的最大值為 ? .

解：∵a>2x， ∴a-2x>0. f（x）min=4

則y=x（a-2x）=（2x）·（a-2x）≤（）2=，

當且僅當2x=a-2x，即x=時等號成立，∴ymax=.

例2.（2011年重慶卷·文）若函數f（x）=x+（x>2）在x=a處取最小值，則a=（ ?）

A.1+ ?B.1+ ?C.3 ?D.4

解：∵x>2，∴x-2>0則f（x）=（x-2）++2≥+2=3

當且僅當x-2=，即x=3時等號成立，此時f（x）min=4，a=3，故選擇C.

二、“1”的代換

例3.（2015年福建卷·文）若直線+=1（a>0，b>0）過點（1，1），則a+b的最小值等于（ ?）

A.2 ? B.3 ? C.4 ? D.5

解：由已知，得+=1，則a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，

當且僅當a=b=2時取等號，∴（a+b）min=4，故選C.

例4.函數f（x）=+（0<x<）的最小值為

解：∵0<x<，∴1-2x>0，且2x+（1-2x）=1，則f（x）=+=[2x+（1-2x）]（+）=13++≥13+2=25

當且僅當=，即x=時，f（x）min=25.

三、分離常數

例5.函數y=（x>-1）的最小值為

解：y===（x+1）++5

∵x>-1，∴x+1>0，∴（x+1）++5≥2+5=9，當且僅當（x+1）=，即x=1時等號成立，∴x=1時，ymin=9.

四、換元

例6.設a、b、c>0，求證：++≥.

證明：令a+b=x，a+c=y，b+c=z，解得a=，b=，c=則++=++

=（+++++-3）≥（2+2+

2-3）=（2+2+2-3）=

當且僅當x=y=z，即a=b=c時等號成立.

例7.（2009年希望杯數學邀請賽高一第二試卷第Ⅱ類第18題）若+=4，則2x+3y的取值范圍是

解：令u=，ν=，則有2x+1≥0，u≥0，3y-2≥0，ν≥0，其中u+ν=4，u2+ν2=2x+3y-1，其中2x+3y-1≥0，

∵u2+ν2=（u+v）2-2uν=16-2uν≤16，且0≤2uν≤=8，

∴u2+ν2∈[8，16]，故2x+3y=u2+ν2+1∈[9，17].

五、串求

例8.（2010年四川卷·文）設a>b>0，則a2++的最小值是（ ?）

A.1 ? B.2 ? C.3 ? D.4

解：∵a>b>0，令z=a2++

∴z=a2+=a2+≥a2+=a2+≥2=4

當且僅當a=2b=時等號成立，此時zmin=4，故選D.

六、平方

例9.已知sinxcosy=，則cosxsiny的取值范圍為

解：∵sin2xcos2y=，∴cos2xsin2y=（1-sin2x）（1-cos2y）=（1-sin2x）（1-）=-（sin2x+）≤-2=

當且僅當sinx=±時，等號成立.∴cosxsiny∈[-，].

七、分類討論

例10.（2013年天津卷·文）設a+b=2，b>0則+的最小值為 ? .

解：∵a+b=2，b>0 ∴b=2-a>0，得a<2，令t=+=+.

①當0<a<2時t=+=++≥+2=，

當且僅當=，即b=2a，a=∈（0，2）時，tmin=

②當a<0時，t=--=-+（-）+（-）≥-+2=

當且僅當-=-，即b=-2a，a=-2時，tmin=

綜上，∵>，∴（+）min=.

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