2(2-UPR+SPR)串并聯機構雅可比矩陣的建立

胡　波　宋春曉　張慶玲　于晶晶

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

2(2-UPR+SPR)串并聯機構雅可比矩陣的建立

胡波1,2宋春曉1,2張慶玲1,2于晶晶1,2

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

建立了一種新型串并聯機構的雅可比矩陣。首先，介紹了一種新型的2(2-UPR+SPR)串并聯機構，該機構由兩個2-UPR+SPR機構串聯而成，它具有串聯機構和并聯機構的共同優點。然后，根據2-UPR+SPR機構中存在的幾何約束建立了其速度約束矩陣和速度耦合矩陣。最后，分析了2(2-UPR+SPR)串并聯機構的速度傳遞關系，通過合理處理獨立并聯機構的速度耦合和約束關系，建立了2(2-UPR+SPR)串并聯機構整體正向和逆向雅可比矩陣。研究結果表明，2(2-UPR+SPR)機構的雅可比矩陣包含各個獨立并聯機構的運動、約束和耦合信息。所提出的建立2(2-UPR+SPR)機構雅可比矩陣的方法也適合其他串并聯機構。

串并聯機構；Exechon機構；雅可比矩陣；運動學

0　引言

近年來，由并聯機構串聯而成的串并聯機構引起了國內外學者的關注[1-6]。這類機構是由兩個或多個并聯機構串聯而成的，具有串聯機構和并聯機構的共同優點，有著良好的應用前景。在該領域，Tanev[2]提出了一種串并聯機構，該機構的運動可由機構中一串聯支鏈確定，借助該串聯支鏈將機構的運動學問題轉變為串聯機器人的運動學問題來進行分析。Zheng等[3]提出了一種可作為海洋采礦補償平臺的上下層分別為3-UPU平動機構、3-UPU轉動機構的串并聯機構。Hanan等[4]采用以并聯構型為單元的串并聯機構研制了仿生機械象鼻。Lu等[5]研究了以3-SPR機構為單元的串并聯機構基本運動學模型。Gallardo等[6]采用螺旋理論研究了由3-RPS機構構成的串并聯機構的運動學和動力學問題。串并聯機構屬于有別于傳統串聯機構和并聯機構的一類機構，相比之下，串聯機構和并聯機構的理論研究相對成熟，基本理論體系已經形成，而串并聯機構機型相對缺乏，且基礎理論極不成熟，嚴重阻礙了這類機構的廣泛應用。本文提出了一種新型的2(2-UPR+SPR)串并聯機構，該機構由2個2-UPR+SPR并聯機構串聯而成。2-UPR-SPR并聯機構因其結構簡單、運動性能好的特點而被用作Exechon五軸混聯加工中心的定位模塊，該機構近年來也引起了學術界的廣泛重視[7-8]。采用2個2-UPR+SPR機構構成串并聯機構可以獲得高轉動能力和大工作空間，2(2-UPR+SPR)機構是一種具有一定實用價值的串并聯機構。

眾所周知，雅可比矩陣在研究機構的運動學、奇異特性、性能指標等方面有著重要的作用，針對并聯機構的雅可比矩陣，國內外學者進行了大量的研究工作[9-12]，包括少自由度并聯機構n×n型雅可比矩陣[9]、6×6型雅可比矩陣[10-11]、用于性能分析的統一量綱雅可比矩陣[12]等。而針對串并聯機構的雅可比矩陣研究尚未見報道。傳統的串并聯機構速度求解僅將2個獨立并聯機構速度疊加，并未建立這類機構的整體正向和反向雅可比矩陣，因此無法對這類機構進行深層次的理論研究。實際上，約束和耦合是少自由度并聯機構的本質特點，正確地應用這一特性是建立這類串并聯機構雅可比矩陣的關鍵。然而以往的研究沒有把這些因素綜合考慮，因而未建立起這類機構的整體雅可比矩陣。基于此，本文以2(2-UPR+SPR)型串并聯機構為研究對象，建立該機構的整體雅可比矩陣。

1　2(2-UPR+SPR)機構描述

圖1為2(2-UPR+SPR)串并聯機構的機構簡圖。2(2-UPR+SPR)機構由2個2-UPR+SPR機構串聯而成。其中，位于底部的2-UPR+SPR機構稱為機構1，位于上部的2-UPR+SPR機構稱為機構2。獨立并聯機構i(i=1,2)包括一個下平臺Ai和一個上平臺Bi。Ai、Bi分別為等邊三角形，其中，Aij、Bij(i=1,2; j=1, 2, 3) 分別為上下平臺各端點。則A1可視為整個串并聯機構的基座，B2可視為整個串并聯機構的運動平臺。獨立并聯機構2的下平臺A2和獨立并聯機構1的上平臺B1固聯，且尺寸相同。B1可由A2逆時針旋轉θ角得到。

圖1　2(2-UPR+SPR)機構簡圖

在第i個2-UPR+SPR機構中，上下平臺各端點Aij、Bij通過3個分支rij(i=1,2; j=1,2,3)連接，機構的1、3分支中，Aij和Bij分別通過2個相同的UPR分支連接，其中，U副由2個相互正交的R副組成，在第2個分支中，Ai2和Bi2通過一個SPR分支連接(圖1)。第i個獨立并聯機構中第j個分支自下而上的第k個R副分別記為Rijk(i=1,2; j=1, 2, 3, k=1, 2, 3)。定義：⊥表示垂直符號，∥表示平行符號。則機構i的第1、3分支中運動副存在以下幾何關系：

(1)

i=1, 2j=1,3

機構i的第2分支中存在以下幾何關系：

ri2⊥Ri21Ri21∥Bi1Bi3

(2)

2(2-UPR+SPR)機構中，總的構件數目n=15，包括1個靜平臺A1、1個動平臺B2、1個中間平臺A2/B1，6個擺動分支，6個伸縮分支。運動副數目g =18，包括6個轉動副R、6個移動副P、4個萬向副U和2個球副S。各2-UPR+SPR機構中有2個過約束[8]，整個2(2-UPR+SPR)串并聯機構的過約束數目u=4。機構局部自由度數為0，則這類串并聯機構的自由度為

(3)

式中，ki為第i個運動副的自由度數。

如圖1所示，以機構i下平臺中心Oi(i=1,2)為原點建立坐標系Ai，坐標軸分別為Xi、Yi、Zi(Xi∥Ai1Aij3, YiAij1Aij3, ZijAi)。以機構i上平臺中心oi為原點建立坐標系Bi，坐標軸分別為xi、yi、zi(xi∥Bi1Bij3, yiBij1Bij3, ziBi)。設機構各點Q在坐標系N中表示為NQ, 其中Q可取Aij，Bij，Oi，oi(i=1,2；j=1,2,3),N可取Ai,Bi。設坐標系K(K可取Ai,Bi)相對于N的旋轉變換矩陣為點Q在坐標系N中的線速度矢量，表示坐標系K相對于坐標系N的角速度矢量。

就各2-UPR+SPR機構而言，下平臺端點Aij(i=1, 2;j=1, 2, 3)在各自坐標系Ai中可表示為

(4)

式中，Ei為平臺Ai中心到各端點的距離。

各2-UPR+SPR機構上平臺端點Bij(i=1,2;j=1,2,3)在各自坐標系Bi中可表示為

(5)

式中，ei為平臺Bi中心到各端點的距離。

端點Bij(i=1,2;j=1,2,3)在坐標系Ai中可表示為

(6)

2　機構的運動耦合和約束分析

2.12-UPR+SPR機構速度耦合分析

由2-UPR+SPR機構中各轉動副的方位，可得各R副在其下平臺坐標系Ai的單位矢量：

(7)

由式(1)、 式(2)，可得

(8)

由式(4)～式(8)可得

yli=0

(9)

Xoi=(3Eixmiymi-eixmi+2Zoizli)/(2xliymi)

(10)

Yoi=(ei-Eiymi-2Zoiyni)/(2ymi)

(11)

采用XZY歐拉角來表示2-UPR+SPR機構中坐標系Bi相對于坐標系Ai的旋轉,即動坐標系Bi先與靜坐標系Ai重合，然后繞Xi軸旋轉αi角，再繞新的zi軸旋轉βi，最后繞新的yi軸旋轉λi角得到。為表達方便，本文中規定sinΦ=sΦ，cosΦ=cΦ，其中Φ=αi，βi，λi。則機構的旋轉矩陣可表示為

(12)

由yli=0，可得

βi=0

(13)

旋轉矩陣進一步簡化為

(14)

由式(10)、式(11)和式(14)，Xoi、Yoi可表示為

Xoi=tanλi(3Eisαi/2-eitanαi/2+Zoi/cαi)

(15)

Yoi=ei/(2cαi)-Ei/2-Zoitanαi

(16)

式(15)、式(16)表明，2-UPR+SPR機構上平臺的位置Xoi、Yoi、Zoi并不獨立，它們之間存在耦合關系。Xoi、Yoi、Zoi是關于其廣義坐標αi、λi、Zoi的函數。結合式(15)、式(16)，上平臺Bi中心相對于其下平臺Ai的線速度可表示為

(17)

式(17)中各元素可由Xoi、Yoi、Zoi求偏導得到：

2-UPR+SPR機構的上平臺Bi相對于其下平臺Ai的角速度可表示為歐拉角速度的疊加：

(18)

式中，Rα i、Rλ i分別為歐拉角αi、λi的轉軸對應的單位矢量。

由式(17)、式(18)可得

(19)

式(19)為2-UPR+SPR機構的速度解耦方程，表示2-UPR+SPR機構的末端6維速度和其廣義坐標速度間的映射關系，Joi為該機構的速度解耦矩陣。

2.22-UPR+SPR機構速度約束分析

2-UPR+SPR機構各分支中存在著約束力/力矩，這些約束力矩對機構末端速度有約束作用。根據確定約束力/力矩的幾何法[11]，可知在UPR分支中存在一過U副中心且與Ri3平行的約束力，并存在一垂直于分支中所有R副的約束矩。在SPR分支中存在一過球副S中心且平行于該分支中R副的約束力。即2-UPR+SPR機構中含3個約束力和2個約束矩。設第i個2-UPR+SPR機構第j個分支中存在的約束力的方向矢量為fij(i=1,2;j=1,2,3)，約束矩方向矢量為τij(i=1,2;j=1,3)。由約束力/力矩的性質可得

(20)

(21)

dij=Aij-oifi1=fi3=yifi2=xi

τi1=τi3=Ri11×Ri12=Ri31×Ri32

式(20)、式(21)寫成矩陣形式如下：

(22)

記式(22)第j行為Jsij, 可得

(Jsi3-Jsi1)/(aEi)=Jsi4

(23)

Jsi4=Jsi5

(24)

可見Jsi中線性無關項只有3項，獨立2-UPR+SPR機構存在2個冗余約束。

從式(22)中取出前3項線性無關項，構成以下速度約束矩陣：

(25)

式(25)為2-UPR+SPR機構的速度約束方程，它體現了機構的速度約束特性，表明機構的6維速度是在該式約束下的速度。Jvi為該機構的速度約束矩陣。

3　2(2-UPR+SPR)整體雅可比矩陣的建立

2-UPR+SPR機構是由3個線性分支組成的機構，對應這類機構的分支速度與動平臺末端6維速度之間的關系可表示為[1,11]

(26)

式中，vrij(i=1,2;j=1,2,3)為分支rij的速度；Jαi為第i個機構的驅動速度矩陣。

設t為一任意3維向量，t=[txtytz]T，G(t)滿足

(27)

對于2(2-UPR+SPR)機構中的旋轉變換矩陣，存在以下關系：

(28)

(29)

(30)

2(2-UPR+SPR)機構末端平臺中心o2在基坐標系A1中可表示為

(31)

式(31)對時間求導可得：

(32)

2(2-UPR+SPR)機構末端平臺B2相對于基坐標系A1的角速度為

(33)

由式(32)、式(33)可知，2(2-UPR+SPR)機構末端平臺B2相對于基坐標系A1的速度為

(34)

式中，E3×3為3×3單位矩陣。

由式(19)、式(25)可得

(35)

由式(34)、式(35)可得

(36)

式中，JF為2(2-UPR+SPR)機構的正向雅可比矩陣。

(37)

式(37)兩端同左乘Jv1并結合式(25)可得

(38)

由式(19)、式(38)，可得

(39)

由式(19)、式(38)和式(39)，可得

(40)

同理可得

(41)

由式(40)和式(41)，可得

(42)

式中，JI為2(2-UPR+SPR)機構的反向雅可比矩陣。

4　算例

設定機構的尺寸參數為E1=120 cm,E2=e1=80 cm,e2=60 cm,機構1上平臺位姿參數設定為(α1=-10°,λ1=8°,Zo1=115 cm),機構2上平臺位姿參數設定為(α2=-10°,λ2=8°,Zo2=115 cm)。

根據理論模型，計算可得此位形下機構1和機構2的驅動速度矩陣：

Jα1=

機構1和機構2的速度耦合矩陣分別為

機構1和機構2的速度約束矩陣分別為

2(2-UPR+SPR)機構的雅可比矩陣為

給定vr1=[1 23]Tcm/s,vr2=[456]Tcm/s，計算可得機構末端速度：

A1vo2=[6.11054.40185.2358]cm/s

5　結論

(1)本文通過分析2-UPR+SPR機構中的幾何約束，建立了2-UPR+SPR機構的速度約束矩陣和速度解耦矩陣，揭示了該機構末端速度約束和耦合的特性。這兩個矩陣在2(2-UPR+SPR)機構整體雅可比矩陣建立過程中起到了重要作用。

(2)機構末端運動的約束和耦合是少自由度并聯機構的本質特點，這些特點在串并聯機構中必然有所體現。通過融合2-UPR+SPR的約束和耦合信息，得到了2(2-UPR+SPR)機構的整體雅可比矩陣。研究結果表明，所得到的2(2-UPR+SPR)機構的雅可比矩陣包含了各個2-UPR+SPR并聯機構的所有信息。其中，Jαi包含了機構的運動信息，Jvi包含了機構的約束信息，Joi包含了機構的耦合信息。本文方法也適合其他串并聯機構。

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(編輯陳勇)

Jacobian Matrix Establishment of 2(2-UPR+SPR) Serial-parallel Manipulator

Hu Bo1,2Song Chunxiao1,2Zhang Qingling1,2Yu Jingjing1,2

1.Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of National Education,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

The Jocobian of a novel 2(2-UPR+SPR) serial-parallel manipulator was established.First, a 2(2-UPR+SPR) serial-parallel manipulator formed by two 2-UPR+SPR mechanisms was presented. This manipulator could provide advantages of both serial and parallel manipulators. Second, the velocity decoupling and velocity constraint equations for single 2-UPR+SPR were analyzed based on the geometric constraints in the mechanism. Finally, the velocity transfer relation for the 2(2-UPR+SPR) serial-parallel manipulator was analyzed. Based on the velocity decoupling and constraint characteristics of single 2-UPR+SPR mechanism, the integral forward and inverse Jacobian matrix for 2(2-UPR+SPR) serial-parallel manipulator were established. The results show that the established Jacobian matrices contain kinematics, coupling and constraint information of each 2-UPR+SPR mechanism. The methodology for establishing the integral Jacobian matrix of the 2(2-UPR+SPR) serial-parallel manipulator herein is also fitable for other serial-parallel manipulators.

serial-parallel manipulator; Exechon manipulator; Jacobian matrix; kinematics

2014-04-28

國家自然科學基金資助項目(51305382)；河北省高等學校科學技術研究優秀青年基金資助項目(YQ2013011)；機器人技術與系統國家重點實驗室開放研究基金資助項目(SKLRS-2012-MS-01)；河北省科技計劃資助項目(13211610)；燕山大學機械工程學院協同創新研究項目(JX2014-02)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.001

胡波,男,1982年生。燕山大學機械工程學院副教授。主要研究方向為并聯機器人。發表論文30余篇。宋春曉,女, 1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。張慶玲,女, 1980年生。燕山大學機械工程學院高級實驗師。于晶晶,女, 1981年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。