并聯機構承載能力分析

苑飛虎　趙鐵石,2　趙延治,2　翁大成

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

并聯機構承載能力分析

苑飛虎1趙鐵石1,2趙延治1,2翁大成1

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

采用顯式求解法計算最大外載荷的極大值，提出了一種基于拉格朗日函數的比例法來計算最大外載荷的極小值。為引入構件重力和慣性力的影響，提出等效驅動力的概念，在此基礎上將并聯機構用于運動模擬臺時的承載能力分為靜態承載能力和動態承載能力，并基于比例法給出承載能力的計算過程。最后以六自由度并聯機構為例，分析了位姿對承載能力和承載性能指標的影響。研究結果為重載并聯機構的優化設計和性能評價提供了參考。

承載性能；承載能力；比例法；等效驅動力；運動模擬臺

0　引言

相比于串聯機構，承載能力強是并聯機構經常被提及的突出優點。對于重載并聯機構，承載能力分析和評價更為重要。文獻[1-6]將機構“廣義力橢球”的長徑和短徑看作機構在該位姿處能承受廣義力的極大值和極小值，并以該極值作為評價機構的承載能力的指標，該方法對多個主動力之間的關系進行了限制，與實際情況不吻合，因此，承載能力評價結果不直觀。文獻[7-8]分別采用比例法和顯式求解法研究平面3RRR機構所能承受的最大力極值。Garg等[9]將上述兩種方法應用于空間3RRRS機構的研究。比例法通過多次改變給定方向尋找最大力(力矩)的極值，計算量巨大；顯式求解法計算快捷，但不能得到最大力的極小值。此外，有學者根據并聯機構的具體應用來研究其承載能力。文獻[10-14]以沿固定軌跡運動時機構所能承載的最大負載質量作為機構的承載能力。

本文對并聯機構的承載性能和承載能力進行了研究。定義了并聯機構承載性能指標，以指導或評價機構的構型設計，并給出了該極值計算方法。基于等效驅動力的概念，研究了并聯機構用于運動模擬臺時的靜態承載能力和動態承載能力。

1　承載能力與承載性能指標的定義

宏觀上，承載能力指空間上的最大容量或力學上的最大限度。按照上述理解，并聯機構的承載能力可定義為并聯機構中輸出構件所能承受的最大外載荷，根據用途的不同，此外載荷可以是力，也可以是在一定條件下與力有對應關系的其他物理量，如質量、加速度等。

由文獻[15]可得并聯機構力平衡方程：

FG+FI+FE=Gff

(1)

式中，Gf為力映射矩陣；FG、FI分別為機構構件重力、慣性力；FE為外載荷；f為驅動力。

由式(1)可知，f取得極值時對應的FE反映了并聯機構的承載能力，FE與機構構型、構件結構、驅動器性能和機構運動狀態有關，并不能直觀地反映機構構型設計的優劣。

機構在某一確定位姿下，FG、FI與構件的具體結構和機構的運動狀態有關，而Gf固定不變。Gf由機構構型和結構參數確定，能夠反映并聯機構的本質。因此，可以基于Gf研究機構的承載性能，以指導和評價機構構型設計。

不考慮機構構件重力和慣性力，將式(1)中FE記為F，有

F=Gff

(2)

此時f取得極值，F的取值完全由機構構型和結構參數確定，其值可以反映機構構型設計的優劣，為機構選型和參數優化設計提供指導。

為具有通用性，驅動力中每個元素極值均設定為單位1，將此時機構在某位姿下所有方向上所能承受最大外載荷的極值定義為并聯機構的局部承載性能指標(localcarryingperformanceindex,LCPI)。外載荷中力和力矩具有不同量綱，故應分開處理。令

(3)

其中，‖maxFf‖、‖minFf‖分別為驅動力f取得極值時F的力極大值和力極小值。用ILCP(Fmax)、ILCP(Fmin)評價某一位姿下并聯機構的力承載性能，其值越大，則機構的力承載性能越好。當ILCP(Fmax)=ILCP(Fmin)時，機構在該位姿處力各向同性。令

(4)

其中，‖maxFτ‖、‖minFτ‖分別為驅動力f取得極值時F的力矩極大值和力矩極小值。用ILCP(τmax)、ILCP(τmin)評價某一位姿下并聯機構的力矩承載性能，其值越大，則機構的力矩承載性能越好。當ILCP(τmax)=ILCP(τmin)時，機構在該位姿處力矩各向同性。

LCPI僅能反映某確定位姿時機構承載性能的好壞，而機構往往在一個特定的工作空間內運行，需要在一個工作空間范圍內去評價機構的承載性能。為此，將LCPI在整個可達工作空間內的平均值定義為并聯機構的全局承載性能指標(globalcarryingperformanceindex,GCPI)。令

(5)

其中，W表示機構的整個工作空間，w表示機構的某一位姿。用IGCP(Fmax)、IGCP(Fmin)評價整個工作空間范圍內機構的力承載性能，其值越大，則機構的力承載性能越好。令

(6)

用IGCP(τmax)、IGCP(τmin)評價整個工作空間范圍內機構的力矩承載性能，其值越大，則機構的力矩承載性能越好。

并聯機構的承載性能完全由機構構型和結構參數確定，而這兩方面正是并聯機構設計的基礎，LCPI和GCPI可以為并聯機構，尤其是重載并聯機構的構型選取和參數設計提供指導。

2　外載荷極值計算

研究并聯機構的承載性能，即求取驅動力中每個元素極值均為1時最大外載荷的極大值和極小值。本節采用顯式求解法求最大外載荷的極大值，采用基于拉格朗日函數的比例法求最大外載荷的極小值。

2.1顯式求解法求極大值

將式(2)中F表示為力和力矩的組合形式：

(7)

其中，Ff表示力，Fτ表示力矩。

記Ff、Fτ的維數分別為k和d，則由式(7)得

(8)

其中，fr×1為f中任意r個元素組成的r×1列向量，fs×1為構成fr×1后f中剩余的s個元素組成的列向量。hτ1、hf1由hτ、hf中與fr×1對應的元素組成，hτ2、hf2由hτ、hf中與fs×1對應的元素組成。Od×k為d×k型零矩陣，Ek×k為k×k型單位矩陣，Ok×1為k×1零向量。

記s+r=n，即f為n維列向量。若機構的外力為純力，即Fτ=0，可認為機構不能轉動，只有k個移動自由度。任選d個主動關節并任意給定其驅動力的值，則其余k個驅動力與外力有唯一確定的對應關系。當最大外力取得極大值時，上述任選的d個主動關節的驅動力取得極值。

(9)

其中，hτ1、hf1、hτ2、hf2均可根據f1×s確定。

若外載荷為純力矩，由式(7)得

(10)

同理可得驅動力極值為1時機構所能承受最大外力矩的極大值，該外力矩即maxFτ。

2.2基于拉格朗日函數的比例法求極小值

由式(7)得

(11)

若動平臺上外載荷為純力，由式(11)得

f=gfFf

(12)

對于f中第i個元素if，有

if=ia1x1+ia2x2+…+iakxk

(13)

當FfTFf=1時，有

(14)

為求FfTFf=1時if的最大值，構造拉格朗日函數：

(15)

分別對x1,x2,…,xk和λ求偏導，并令其等于0，得

(16)

解得

q∈{1,2,…,k}

將xq代入式(13)，可得if的極值，由于xq可有兩個不同取值，故可得2k個if的值。令

ib=max(|if(1)|,|if(2)|,…,|if(2k)|)

(17)

則ib為FfTFf=1時if的最大允許取值，根據xq可確定此時外力載荷的方向，記為iFfq。令

maxb=max(1b,2b,…,nb)

(18)

maxb為FfTFf=1時驅動力所有元素的最大允許取值。若maxb=rb，其中，r∈{1,2,…,n}，則當驅動力極值為1時，機構在該位姿處所能承受的最大外力載荷的極小值minb=1/rb，方向為rFfq，minbrFfq即minFf。

同理可求得機構所能承受的最大外力矩載荷的極小值，該外力矩即minFτ。

3　承載能力分析

并聯機構應用場合不同時，其外載荷類型也不相同。本節以運動模擬臺為應用背景，研究機構的承載能力。用于運動模擬臺時，并聯機構的工作方式可分為兩種:一種是實現負載的期望位姿，而對運動參數無要求。若機構從當前位姿運動到期望位姿的運動時間足夠長，可認為該過程中機構的速度、加速度均為零，這種工作方式稱為靜態工作；另一種是帶動負載實現期望的運動規律，這種工作方式稱為動態工作。根據上述兩種工作方式，將用于運動模擬臺時并聯機構的承載能力分為靜態承載能力和動態承載能力。

3.1等效驅動力

在設計重載并聯機構時，機構構件的重力和慣性力不能忽略。由式(1)可知，并聯機構可承受的外載荷由驅動力決定。將式(1)表示為

(19)

驅動力f表示為fI與fE之和，其中，fI對應構件重力和慣性力，fE對應外載荷。當動平臺運動規律確定后，構件重力和慣性力FG+FI也是確定的，即fI是確定的，此時fE的取值范圍決定了FE的極限值。

fI中元素ifI的值可根據式(19)確定。由f=fI+fE可知，fE中元素ifE的取值極限為

(20)

為保證并聯機構能夠運動，須滿足

-ifm≤ifI≤ifm

(21)

(22)

由式(20)和式(22)可以看出，ifE允許取值范圍的跨度與驅動器輸出力范圍跨度相同，但極限值超過了驅動器的輸出極限值。fE是驅動器與機構構件共同作用下可用于平衡外載荷的驅動力，此處將fE稱為等效驅動力。

3.2靜態承載能力

并聯機構靜態工作時，外載荷只有負載的重力。機構應能夠帶動負載達到工作空間內的任意位姿，因此，將整個工作空間范圍內動平臺均能承受的負載重力的最大值稱為機構的靜態承載能力。負載重力與質量有確定的對應關系，所以靜態承載能力也可以用負載質量描述。

任意位姿w下負載的重力均保持不變，記重力的方向為eg，將Ff=eg代入式(12)，得

feg=gfeg

(23)

其中，feg表示該位姿下平衡重力方向的單位力所需的等效驅動力。

(24)

其中，ifeg為feg中第i個元素。

取ibeg的最小值

(25)

按上述方法可求得整個工作空間范圍內每個位姿下機構可承受的最大負載重力。求其最小值：

(26)

則并聯機構的靜載承載能力為fg，其等價表述為機構可承載的負載最大質量為fg/g，g為重力加速度。

3.3動態承載能力

并聯機構帶動負載運動時，負載對其作用力包括重力和慣性力。負載確定后，重力保持不變，慣性力主要由負載的加速度確定。因此，可用負載確定時機構所能實現的最大加速度來衡量并聯機構的動態承載能力。由并聯機構動力學模型可知，加速度與機構的位姿、速度有關，另外用于運動模擬臺時機構是按照給定方向運動的，因此，評價并聯機構的動態承載能力時應指明其位姿、速度、負載和動態承載能力的方向。

記負載質量為m，慣性矩陣為J。在某位姿w下，動平臺速度為V。并聯機構分支構件t速度Vt與動平臺速度的映射為

(27)

由動平臺速度產生的分支構件t的加速度vAt與動平臺速度的映射為

(28)

則由動平臺速度產生的分支構件t的慣性力為

(29)

其中mt、Jt分別為構件t的質量和慣量，vAta、vAt ε分別為vAt中線加速度分量和角加速度分量，Vt ω為Vt中角速度分量。

動平臺及負載由速度產生的慣性力為

(30)

其中，O為元素均為0的列向量，Vω為V的角速度分量，J0為動平臺和負載的慣量。

根據文獻[16]，由動平臺速度產生所有構件和負載的慣性力等效到動平臺為

(31)

其中，GFt為構件t到動平臺的力傳遞矩陣，T表示機構分支構件的個數。

記所求最大加速度方向為e，則該方向上負載單位加速度對應的分支構件t的加速度為

(32)

由動平臺單位加速度產生的分支構件t的慣性力為

(33)

其中，aAta、aAt ε分別為aAt的線加速度分量和角加速度分量。

動平臺及負載由單位加速度產生的慣性力為

(34)

其中，m0為動平臺和負載的質量和。

由動平臺加速度產生的所有構件和負載的慣性力等效到動平臺為

(35)

將FE=aFI代入式(19)，可得給定方向上產生單位加速度所需的等效驅動力：

(36)

令

(37)

其中，ife為fe中第i個元素。

取ice的最小值

ce=min(1ce,2ce,…,nce)

(38)

則cefe中至少有一個元素取得極限值。由于fe與e成線性關系，故動平臺此時可產生的e方向最大加速度為ce，即在位姿w下，動平臺速度為V時，并聯機構在e方向上的動態承載能力為ce。

4　數值算例

對于某六自由度并聯機構，某位姿下其力映射矩陣為

Gf=

采用本文方法和文獻[7]方法分別求該位姿下機構所能承受的最大外力矩載荷極值及其方向，見表1。

表1　最大外力矩載荷極值及方向

可以看出，兩種方法結果基本相同，從而驗證了本文方法的正確性。文獻[7]方法在搜索次數達3×106時結果穩定，而本文方法求極大值、極小值分別需要搜索120次、48次即可，顯然本文方法效率更高。對于最大外力載荷極值的計算有相同結論，不再贅述。

針對某重型戰車的運動模擬需求，首先對備選構型Stewart機構、6-PUS機構的承載性能進行比較。

結構參數相同時，Stewart平臺與6-PUS機構工作空間相似，在此條件下比較兩機構的承載性能。給定動平臺鉸鏈點外接圓半徑為2.5m，動平臺鉸鏈點夾角θa=17°，基礎平臺鉸鏈點外接圓半徑為2.86 m，基礎平臺鉸鏈點夾角θb=13°，動平臺初始高度H=4.41 m，移動副長度變化范圍為-1.5～1.5 m。根據式(5)、式(6)求Stewart機構和6PUS機構的全局承載性能指標IGCP，見表2。

表2　Stewart機構和6-PUS機構的全局承載性能指標

由表2可以看出，兩種機構的全局承載性能指標相差不大，6-PUS機構承載性能更好。基于6-PUS機構的并聯運動模擬臺及相關坐標系如圖1所示。

圖1　基于6-PUS機構的并聯運動模擬臺

將動平臺繞x軸、y軸、z軸角位移分別記為rx、ry、rz，沿這三個軸的位移記為tx、ty、tz。改變其中一個角位移或位移而保持其他5個量不變，可得動平臺沿該方向轉動或移動時LCPI的變化規律，如圖2～圖7所示。

圖2　LCPI隨rx變化曲線

圖3　LCPI隨ry變化曲線

圖4　LCPI隨rz變化曲線

圖5　LCPI隨tx變化曲線

圖6　LCPI隨ty變化曲線

圖7　LCPI隨tz變化曲線

由圖2～圖7可以看出，機構位姿對ILCP(τmax)影響最大，而對ILCP(Fmin) 、ILCP(τmin)、ILCP(Fmax)影響較小。在初始位姿處機構的局部承載性能最好。

基于6-PUS機構的并聯運動模擬臺支撐桿質量為545kg，滑塊質量為332kg，動平臺質量為12.3t。電機額定扭矩為290N·m，絲杠導程為0.04m，減速器減速比為1∶4。根據式(26)，并聯機構的靜態承載能力為57.2t。

負載質量為36t，與動平臺固連后其整體對x軸、y軸、z軸轉動慣量均為16 386kg·m2。在初始位姿，動平臺速度為零時，機構沿(繞)x軸、y軸、z軸的動態承載能力見表3。

表3　基于6-PUS機構的并聯運動模擬臺動態承載能力

由表3可以看出，該模擬臺動態承載能力強，可以用于大、重型設備的運動模擬。6-PUS機構豎直方向的移動動態承載能力大于其水平方向的移動承載能力，繞y軸的轉動動態承載能力大于其他兩個方向的轉動承載能力，而初始位姿處y軸正是該機構的一條對稱軸線。

5　結論

(1)本文忽略機構構件重力和慣性力，將驅動力極值為1時并聯機構所能承受的最大外載荷的極值定義為并聯機構承載性能指標，以反映機構構型設計的優劣，為并聯機構，尤其是重載并聯機構構型選取和參數設計提供了指導。

(2)計算并聯機構承載性能指標時采用基于拉格朗日函數的比例法，所得結果準確，計算效率高。

(3)結構參數相同時，6-PUS機構承載性能優于Stewart機構。6-PUS機構適用于大、重型設備的運動模擬。該機構在初始位姿處局部承載性能最優。用于運動模擬臺時，對于移動，豎直方向的動態承載能力大于水平方向；對于轉動，繞機構對稱軸線的動態承載能力大于其他方向。

[1]Pasquale C,Yann B V,Fransois P.Evaluation of Force Capabilities for Redundant Manipulators[C]//International Conference on Robotics and Automation.Piscataway,1996:3520-3525.

[2]劉辛軍.并聯機器人機構尺寸與性能關系分析及其設計理論研究[D].秦皇島：燕山大學，1999.

[3]張立杰,劉穎,黃真.平面2自由度驅動冗余并聯機器人的性能分析[J].機械工程學報, 2006, 42(7): 181-185.

Zhang Lijie,Liu Ying,Huang Zhen.Analysis of Performances of Planar 2-dof Parallel Manipulator with Actuation Redundancy[J].Chinese Journal of Mechanism Engineering,2006,42(7): 181-185.

[4]張立杰.平面兩自由度驅動冗余并聯機器人的承載能力分析[J].機械設計與研究, 2003,19(1): 28-30.

Zhang Lijie.Analysis of Carrying Capacity of Planar 2-dof Parallel Manipulator with Actuation Redundancy[J]. Journal of Machine Design and Research,2003,19(1): 28-30.

[5]金振林, 陳貴林, 高峰. 新型三維平臺機床全域承載能力及其在幾何空間模型內的分布[J].機械設計,2002,6(6): 25-27.

Jin Zhenlin,Chen Guilin,Gao Feng.Analysis of Global Carrying Capacity of a New Type Three-dimensional Platform Machine and Its Distribution in Geometric Spatial Model[J].Journal of Machine Design,2002,6(6): 25-27.

[6]韓江義，游有鵬，王化明，等.并聯機構力傳遞的分析[J].機器人，2009，31(6)：523-528．

Han Jiangyi,You Youpeng,Wang Huaming,et al.Analysis on Force Transmission of Parallel Mechanism[J].Robot, 2009, 31(6): 523-528．

[7]Nokleby S B,Fisher R,Podhorodeski R P,et al.Force Capabilities of Redundantly-actuated Parallel Manipulators[J].Mechanism and Machine Theory,2005,40(5):578-599.

[8]Zibil A,Firmani F,Nokleby S B,et al.An Explicit Method for Determining the Force-moment Capabilities of Redundantly Actuated Planar Parallel Manipulators[J].Journal of Mechanical Design,2007,129:1046-1055.

[9]Garg V,Nokleby S B,Carretero J A.Wrench Capability Analysis of Redundantly Actuated Spatial Parallel Manipulators[J].Mechanism and Machine Theory,2009,44:1070-1081.

[10]Chen Chunta,Zeng Shichang.Optimal Configuration of a Parallel Kinematic Manipulator for the Maximum Dynamic Load-carrying Capacity[C]//First International Conference on Robot:Vision and Signal Processing.Piscataway,2011:122-125.

[11]Korayem M H,Bamdad M.Dynamic Load-carrying Capacity of Cable-suspended Parallel Manipulators[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2009,44(7/8): 829-840.

[12]Korayem M H,Bamdad M,Tourajizadeh A,et al.Analytical Design of Optimal Trajectory with Dynamic Load-carrying Capacity for Cable-suspended Manipulator[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2012,60:317-327.

[13]Korayem M H,Ghariblu H.The Effect of Base Replacement on the Dynamic Load Carrying Capacity of Robotic Manipulators[J].The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2004,23(1):28-38.

[14]Korayem M H,Bamdad M,Sharareh B.Optimal Trajectory Planning with Maximum Load Carrying Capacity for Cable Suspended Robots[C]//6th International Symposium on Mechatronics and Its Applications.Piscataway,2009:1-6.

[15]黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學[M].北京：高等教育出版社，2003.

[16]陳修龍，馮偉明，趙永生.五自由度并聯機器人機構動力學模型[J].農業機械學報,2013,44(1): 236-243.

Chen Xiulong,Feng Weiming,Zhao Yongsheng.Dynamics Model of 5-DOF Parallel Robot Mechanism[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2013,44(1): 236-243.

(編輯陳勇)

Analysis of Load Carrying Capacity of Parallel Mechanism

Yuan Feihu1Zhao Tieshi1,2Zhao Yanzhi1,2Weng Dacheng1

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education of China,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

The explicit method was used to calculate the maximum extreme of the maximum external load. To get the minimum extreme of the maximum external load, a scaling foctor method was presented based on Lagrange function. Taking into account the effects of components’ gravities and inertial forces,the concept of equivalent driving force was presented.Based on this concept,the static carrying capacity and dynamic carrying capacity of parallel mechanism used as motion simulation platform was discussed. The calculation process was put forward based on scaling foctor method.Using a six DOF mechanism as an example,the effects of mechasim poses on carrying capacity and carrying performance indexes was analyzed.A reference to guide and evaluate the design and performance of heavy load parallel mechanism is put forward.

load carrying performance;load carrying capacity;scaling foctor method;equivalent driving force;motion simulation platform

2014-05-04

國家自然科學基金資助項目(51375420，50975244，51105322)

TP24< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.004

苑飛虎，男，1986年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為并聯機器人理論與應用。趙鐵石，男，1963年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。趙延治，男，1981年生。燕山大學機械工程學院副教授。翁大成，男，1990年生。燕山大學機械工程學院碩士研究生。