載體位置、姿態(tài)均不受控的飄浮基柔性空間機器人的Terminal滑模控制

于瀟雁　陳　力

福州大學，福州，350116

載體位置、姿態(tài)均不受控的飄浮基柔性空間機器人的Terminal滑模控制

于瀟雁陳力

福州大學，福州，350116

討論了載體位置、姿態(tài)均不受控的飄浮基柔性空間機器人的Terminal滑模控制問題。為討論既有柔性關(guān)節(jié)又有柔性臂的欠驅(qū)動系統(tǒng)，以一個具有兩個柔性關(guān)節(jié)和一個柔性臂的飄浮基空間機器人為例，首先利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義，得到了系統(tǒng)的動力學方程，然后利用奇異攝動法，將柔性空間機器人系統(tǒng)分解為一個柔性空間機械臂子系統(tǒng)和一個柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)。以此為基礎，提出了一種包含柔性空間機械臂子控制項和柔性關(guān)節(jié)快變子控制項的組合控制器。其中，柔性空間機械臂Terminal滑模子控制項實現(xiàn)了機械臂關(guān)節(jié)鉸期望軌跡的跟蹤，柔性關(guān)節(jié)快變子控制項使得快變子系統(tǒng)穩(wěn)定在由柔性空間機械臂子控制項產(chǎn)生的機械臂關(guān)節(jié)軌跡上。系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果表明，該方法能在抑制柔性關(guān)節(jié)的柔性振動的同時跟蹤上機械臂關(guān)節(jié)期望軌跡。該控制方案的顯著優(yōu)點為不需要測量、反饋載體的位置、移動速度、移動加速度，同時可保證機械臂關(guān)節(jié)鉸跟蹤誤差在任意指定有限時間內(nèi)收斂到零。

飄浮基柔性空間機器人；奇異攝動法；Terminal滑模控制；柔性關(guān)節(jié)；柔性臂

0　引言

在未來的空間操作作業(yè)中，空間機器人將扮演重要的角色，因此，各國研究人員對空間機器人進行了廣泛的研究[1-5]。由于工作地點是太空，忽略微重力,則無外力作用的空間機器人系統(tǒng)滿足動量和動量矩守恒定律。因此，空間機器人的機械臂與載體之間存在嚴重的動力學耦合問題，其動力學和控制問題遠比地面固定基機器人復雜。為了節(jié)省發(fā)射費用，空間機械臂系統(tǒng)將越來越輕，從而導致機械臂和關(guān)節(jié)的柔性越來越大。由于剛性運動和柔性振動的相互作用，每一個關(guān)節(jié)的控制力矩不僅要保證跟蹤上機械臂關(guān)節(jié)鉸期望運動軌跡，而且要控制相應的柔性臂的振動和柔性關(guān)節(jié)的變形，使得控制既有臂柔性又有關(guān)節(jié)柔性的漂浮基柔性空間機器人要比控制相應的剛性空間機器人復雜得多。

目前對既有臂柔性又有關(guān)節(jié)柔性的機器人的研究主要集中在地面機器人，而對空間機器人的研究還很少見。Zhang等[6]在未考慮柔性變形的情況下對既有臂柔性又有關(guān)節(jié)柔性的地面機器人進行了控制研究，其結(jié)論是：若忽略柔性變形，無法對該機器人進行有效的控制。Gao等[7]討論了關(guān)節(jié)柔性和臂柔性對地面機械臂動力學奇異的影響。文獻[8-9]基于拉格朗日方程和假設模態(tài)法推導得到了既有臂柔性又有關(guān)節(jié)柔性的地面機器人動力學模型。Wilson等[10]針對具有柔性關(guān)節(jié)和柔性臂的地面機器人提出了一種有效的滑模控制算法。

在空間環(huán)境下系統(tǒng)控制燃料極其寶貴，從節(jié)省控制燃料、延長空間機器人系統(tǒng)的有效使用壽命、降低發(fā)射費用的角度考慮，使用載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機器人系統(tǒng)非常必要。本文討論了載體位置、姿態(tài)均不受控的飄浮基柔性空間機器人的Terminal滑模控制問題。

1　飄浮基柔性空間機器人動力學建模

不失一般性，考慮做平面運動的飄浮基柔性空間機器人系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。該系統(tǒng)可看成由自由飄浮的載體B0、剛性臂B1、柔性臂B2與兩個柔性關(guān)節(jié)鉸組成。

圖1　飄浮基柔性空間機器人系統(tǒng)

建立各分體Bi(i=0,1,2)的聯(lián)體坐標系Oixiyi，其中，O0與載體B0的質(zhì)心OC0重合，Oj(j=1,2)為連接Bj-1與Bj的轉(zhuǎn)動鉸中心。OC1為剛性臂B1的質(zhì)心。設O1在x0軸上與O0的距離為l0，Bj沿xj軸的長度為lj。載體B0與剛性臂B1的質(zhì)量、中心轉(zhuǎn)動慣量分別為mk、Ik(k=0,1)。柔性臂B2為勻質(zhì)細長桿件，其線密度為ρ，截面抗彎剛度為EI。OC1距O1距離為d1。OC為該系統(tǒng)的總質(zhì)心。

兩個柔性關(guān)節(jié)鉸O1、O2的原理和結(jié)構(gòu)如圖2所示。根據(jù)Spong假設[11]，關(guān)節(jié)的柔性可以等效為一個介于驅(qū)動器轉(zhuǎn)子與機械臂之間剛度系數(shù)為常數(shù)的無慣性線性扭簧。當關(guān)節(jié)Oj處驅(qū)動器轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過角度θaj時，受其驅(qū)動的機械臂Bj轉(zhuǎn)動θj角度。由于上述關(guān)節(jié)柔性的存在，故θaj≠θj。驅(qū)動器轉(zhuǎn)子與機械臂之間存在大小為kj(θaj-θj)的彈性扭矩，kj為柔性關(guān)節(jié)的等效剛度系數(shù)。

圖2　柔性關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)模型

建立平動的慣性坐標系Oxy，設各分體Bi在xy平面上做平面運動，θ0為載體姿態(tài)角。載體B0與剛性臂B1的質(zhì)心OCk相對于慣性坐標系原點O的位置矢量為rk。

由于柔性臂B2為勻質(zhì)細長桿件,其軸向變形可忽略，則柔性臂B2可視為Euler-Bernoulli梁。基于假設模態(tài)法[12]，其彈性變形為

(1)

其中，φl(x2)為柔性臂B2的第l階模態(tài)函數(shù)，δl(t)為φl(x2)的時變振幅，m為截斷項數(shù)，本文取m=2。

由飄浮基柔性空間機器人系統(tǒng)位置幾何關(guān)系及總質(zhì)心定義，載體B0的質(zhì)心OC0相對于慣性坐標系原點O的位置矢量r0為

r0=rC+N0i0+N1i1+N2i2+N3j2

(2)

N3=N31δ1+N32δ2

其中，N0、N1、N2、N31、N32為飄浮基柔性空間機器人系統(tǒng)慣性參數(shù)的組合函數(shù)；ii、ji分別為沿xi、yi軸的單位向量，從而有

i0=(sinθ0,cosθ0)

i1=(sin(θ0+θ1),cos(θ0+θ1))

i2=(sin(θ0+θ1+θ2),cos(θ0+θ1+θ2))

j2=(-cos(θ0+θ1+θ2),sin(θ0+θ1+θ2))

則剛性臂B1的質(zhì)心OC1與柔性臂B2上任意一點P相對于慣性坐標系原點O的位置矢量r1、rP分別為

(3)

根據(jù)文獻[11]，驅(qū)動器的移動動能可以通過集中質(zhì)量法轉(zhuǎn)移到相應的機械臂上。驅(qū)動器的轉(zhuǎn)動動能僅僅考慮繞其自身轉(zhuǎn)動中心的轉(zhuǎn)動動能。從而可以得到飄浮基柔性空間機器人的動能T：

(4)

式中，Iaj為第j個驅(qū)動器相對于自身轉(zhuǎn)動中心的轉(zhuǎn)動慣量。

忽略太空中的微重力，整個柔性空間機器人系統(tǒng)的總勢能V為

(5)

從而可以得到系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L=T-V。根據(jù)第二類拉格朗日方程，可以推導得到圖1所示載體位置、姿態(tài)均不受控的柔性空間機器人的欠驅(qū)動形式動力學模型：

(6)

(7)

Kf j=diag(k1,k2)

2　動力學模型的雙時標分解

雙時標分解是將原來的集中控制系統(tǒng)利用攝動[13-14]的概念分解成不同時標上的快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)。攝動方法的基本思想是通過忽略系統(tǒng)的某些弱關(guān)聯(lián)來得到系統(tǒng)的近似低階模型，并使它保留系統(tǒng)的主要動態(tài)特征。

與機械臂關(guān)節(jié)鉸的運動相比，柔性關(guān)節(jié)的彈性變形屬于高頻運動，所以飄浮基柔性空間機器人的機械臂關(guān)節(jié)鉸軌跡跟蹤與柔性關(guān)節(jié)彈性變形的控制可以用奇異攝動法[13-14]在不同的時間尺度上考慮。利用奇異攝動法將飄浮基柔性空間機器人系統(tǒng)分成兩個子系統(tǒng)：一個是柔性空間機械臂子系統(tǒng)，另一個是柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)。分別對這兩個子系統(tǒng)進行輸入控制規(guī)律設計，然后結(jié)合設計出來的兩個輸入控制規(guī)律得到系統(tǒng)的組合輸入控制規(guī)律，定義以下系統(tǒng)的組合輸入控制規(guī)律：

(8)

2.1柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)

(9)

(10)

定義一個小常數(shù)μ，令Kμ=μ2Kf j。Ja與Kf j均為對角、正定方陣，則式(10)可寫成

(11)

當μ→0時可得到τb的慢變流分量：

(12)

其中，上劃線“-”表示慢變分量(μ=0)。

(13)

(14)

當μ→0時，將式(12)代入式(14)中可得到柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)：

(15)

式中，I為單位矩陣。

2.2柔性空間機械臂子系統(tǒng)

當μ→0時，漂浮基柔性空間機器人系統(tǒng)(式(9)與式(10))退化為

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)，可得柔性空間機械臂子系統(tǒng)欠驅(qū)動形式動力學方程：

(18)

柔性空間機械臂子系統(tǒng)動力學方程(式(18))可分塊寫成

(19)

(20)

(21)

則將式(21)代入式(19)，可得柔性空間機械臂子系統(tǒng)的完全能控形式的動力學方程：

(22)

(23)

3　組合控制規(guī)律設計

3.1柔性關(guān)節(jié)快變子控制律的設計

驅(qū)動器的慣性陣Ja與柔性關(guān)節(jié)的剛度矩陣Kf j已知時，柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)(式(15))為一線性完全可控系統(tǒng)。設計一個柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)控制律：

τa f j=-Kjζj

(24)

通過合理地選擇Kj∈R2×4，可保證柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)(式(15))穩(wěn)定。

3.2柔性空間機械臂子系統(tǒng)的Terminal滑模控制律的設計

(25)

Terminal滑模控制是通過設計一種動態(tài)、非線性滑模面方程來保證滑模穩(wěn)定性，并使系統(tǒng)狀態(tài)在指定的有限時間內(nèi)達到期望狀態(tài)。對于柔性空間機械臂子系統(tǒng)(式(25))，采用Terminal滑模控制技術(shù)，設計相應的控制律來保證其系統(tǒng)狀態(tài)對期望狀態(tài)的跟蹤。

3.2.1切換面的設計

定義柔性空間機械臂子系統(tǒng)輸出誤差向量：

(26)

式中，x1d、x2d分別為飄浮基柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸期望運動軌跡與期望速度軌跡。

設計以下滑模面方程：

s(t)=ZE-ZP(t)

(27)

3.2.2Terminal滑模控制器的設計

設計系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

V=sTs/2

(28)

將V對時間t求導，得

設計魯棒控制律：

其中，K為正常數(shù)。從而得到

(29)

由假設1可得

(30)

由式(30)可以看出，柔性空間機械臂子系統(tǒng)的任何初始狀態(tài)均在滑模面上，故沒有一般滑模控制的到達階段，所以該閉環(huán)控制系統(tǒng)具有全局魯棒和穩(wěn)定性。

由于該系統(tǒng)具有全局魯棒性，s(t)=0，E(t)=P(t)，故通過合理選擇Terminal滑模面中的函數(shù)P，使得當t≥Tp時P(t)≡0，即可實現(xiàn)t≥Tp時E(t)≡0，從而保證跟蹤誤差在有限時間Tp內(nèi)收斂到0。根據(jù)假設1，pj(t)可選取以下形式：

(31)

其中，cj0、cj1、cj2、apq(p,q=0,1,2)為待定參數(shù)。將式(31)分別對時間t求一階與二階導數(shù)，可得

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

求解式(34)～式(36)可得

(37)

其中，b0、b1是適當選擇的正常數(shù)。

4　數(shù)值仿真算例

以圖1所示的做平面運動的漂浮基柔性空間機械人為例，其中，l0=l2=1.0 m，l1=2.0 m，d1=1.0 m，m0=200 kg，m1=8 kg，ρ=1.6 kg/m，I0=100 kg·m2，I1=4.2 kg·m2，EI=30 N·m2；各驅(qū)動器中心轉(zhuǎn)動慣量Ia1=Ia2=0.5 kg·m2，各柔性關(guān)節(jié)剛度k1=k2=300 N·m/rad。

算例1令Tp=2s，進行柔性空間機器人系統(tǒng)仿真。

仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。圖3為柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸軌跡跟蹤圖，圖4為柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸的速度跟蹤圖，圖5為柔性空間機器人驅(qū)動器關(guān)節(jié)鉸的跟蹤位置誤差圖，圖6為柔性空間機器人載體姿態(tài)軌跡圖。

圖3　機械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(Tp=2 s)

圖4　機械臂關(guān)節(jié)速度跟蹤圖(Tp=2 s)

圖5　驅(qū)動器關(guān)節(jié)跟蹤位置誤差圖(Tp=2 s)

圖6　載體姿態(tài)軌跡圖(Tp=2 s)

算例2令Tp=3s，進行柔性空間機器人系統(tǒng)仿真。

圖7　機械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤圖(Tp=3 s)

圖8　機械臂關(guān)節(jié)速度跟蹤圖(Tp=3 s)

圖9　驅(qū)動器關(guān)節(jié)跟蹤位置誤差圖(Tp=3 s)

仿真結(jié)果如圖7～圖10所示。圖7為柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸軌跡跟蹤圖，圖8為柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸的速度跟蹤圖，圖9為柔性空間機器人驅(qū)動器關(guān)節(jié)鉸的跟蹤位置誤差圖，圖10為柔性空間機器人載體姿態(tài)軌跡圖。

圖10　載體姿態(tài)軌跡圖(Tp=3 s)

在算例1中，機械臂關(guān)節(jié)鉸的位置跟蹤誤差與速度跟蹤誤差在t=2.0s時基本收斂到零；在算例2中，機械臂關(guān)節(jié)鉸的位置跟蹤誤差與速度跟蹤誤差在t=3.0s時基本收斂到零。可以看出，若參數(shù)Tp的取值較小，則系統(tǒng)的收斂速度較快。我們可以根據(jù)柔性空間機器人系統(tǒng)的實際需要，設定適當?shù)膮?shù)Tp值來調(diào)整系統(tǒng)的收斂速度。仿真結(jié)果表明，本文提出的組合控制規(guī)律實現(xiàn)柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸在指定有限的時間內(nèi)完成期望運動的跟蹤，同時可有效地抑制柔性關(guān)節(jié)的彈性變形。

為了進一步驗證柔性關(guān)節(jié)快變子控制器的作用，關(guān)閉柔性關(guān)節(jié)快變子控制器τafj，對柔性空間機器人進行了仿真。Tp=2 s時，關(guān)閉快變子控制器后柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸運動軌跡跟蹤誤差圖如圖11所示；Tp=3 s時，關(guān)閉快變子控制器后柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸運動軌跡跟蹤誤差圖如圖12所示。

圖11　機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差圖(Tp=2 s，τafj=0)

圖12　機械臂關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差圖(Tp=3 s，τafj=0)

由圖11與圖12可以看出，關(guān)閉快變子控制器τafj后，柔性空間機器人機械臂關(guān)節(jié)鉸運動軌跡的跟蹤誤差在仿真開始2 ms時就變得很大，繼而發(fā)散，控制失效，說明本文所設計的快變子控制器τafj能夠有效抑制柔性空間機器人系統(tǒng)的柔性關(guān)節(jié)的振動，保證該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5　結(jié)語

本文利用拉格朗日方程并結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義建立了一個具有兩個柔性關(guān)節(jié)與一個柔性臂的飄浮基空間機器人系統(tǒng)動力學模型。利用奇異攝動法，將該柔性空間機器人系統(tǒng)分解為一個柔性空間機械臂子系統(tǒng)和一個柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)。本方法可以推廣到具有任意柔性關(guān)節(jié)與任意柔性臂的飄浮基空間機器人系統(tǒng)中。

對柔性空間機械臂子系統(tǒng)借助于滑模函數(shù)的選取及控制律的設計，提出了一種Terminal滑模控制律。該Terminal滑模控制律消除了慣常滑模控制的到達階段，從而具有全局魯棒性和穩(wěn)定性；同時還保證了輸出誤差在指定有限時間內(nèi)收斂到零。對柔性關(guān)節(jié)快變子系統(tǒng)設計了一個線性反饋控制律，使快變子系統(tǒng)穩(wěn)定在由柔性空間機械臂子控制項產(chǎn)生的機械臂關(guān)節(jié)軌跡上。結(jié)合設計出來的空間柔性臂子系統(tǒng)Terminal滑模控制律與柔性關(guān)節(jié)快變控制律得到系統(tǒng)的組合輸入控制規(guī)律。系統(tǒng)數(shù)值仿真表明，本文方法能在抑制柔性關(guān)節(jié)的柔性振動的同時跟蹤上機械臂關(guān)節(jié)期望軌跡。該控制方案的顯著優(yōu)點為不需要測量、反饋載體的位置、移動速度、移動加速度。

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(編輯陳勇)

Terminal Sliding Mode Control of a Free-floating Flexible Space Robot

Yu XiaoyanChen Li

Fuzhou University,Fuzhou,350116

A Terminal sliding mode control was proposed for a free-floating space robot.To discuss such an under-actuated flexible-link flexible-joint space robot, a free-floating space robot with one flexible link and two flexible revolute joints was presented. The dynamical Lagrange equation was established by the momentum conservation. And a singularly perturbed model was formulated and used for designing a reduced-order controller, where the system was decoupled into two subsystems (a flexible space manipulator subsystem and a flexible-joint fast subsystem).A composite controller which consisted of two control components was proposed. A Terminal sliding mode controller was proposed to control the flexible space manipulator subsystem.A flexible-joint fast controller was designed to stabilize the flexible-joint fast subsystem around the equilibrium trajectory set up by the flexible space manipulator subsystem under the effects of the Terminal sliding mode controller. A numerical simulation was carried out, which confirmed the proposed controller is feasible and effective.The virtue of this control scheme is that the base linear position, the base linear velocity, the base linear acceleration need not be measured.In addition, it is ensured that the tracking errors of the manipulator joints converge to zero in finite time.

free-floating flexible space robot；singular perturbation approach；Terminal sliding mode control；flexible-joint；flexible-link

2014-05-04

國家自然科學基金資助項目(11372073)；福建省自然科學基金資助項目(2010J01003)

TP241DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.014

于瀟雁，女，1974年生。福州大學機械工程及自動化學院博士研究生、副教授。主要研究方向為機構(gòu)學、空間機器人動力學及非線性控制。陳力，男，1961年生。福州大學機械工程及自動化學院教授、博士研究生導師。