摩擦力不確定的機器人液壓驅(qū)動器的精確控制

孫廣彬　王　宏　王　琳,3　李　濱　紀(jì)　俐　王福旺

1.東北大學(xué),沈陽,110819　　2.中國石油天然氣管道局第五工程公司,任丘,062550 3.沈陽工程學(xué)院,沈陽,110136

摩擦力不確定的機器人液壓驅(qū)動器的精確控制

孫廣彬1王宏1王琳1,3李濱2紀(jì)俐1王福旺1

1.東北大學(xué),沈陽,1108192.中國石油天然氣管道局第五工程公司,任丘,062550 3.沈陽工程學(xué)院,沈陽,110136

基于H∞魯棒控制器來改善機器人液壓系統(tǒng)位置控制性能。首先經(jīng)液壓動力學(xué)和機械動力學(xué)分析，建立液壓驅(qū)動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，摩擦力采用Dahl模型。然后按系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)稱值設(shè)計基于混合靈敏度的H∞魯棒控制器，對權(quán)值函數(shù)進行優(yōu)化選擇。最后經(jīng)仿真和實驗驗證得出如下結(jié)論：該控制方法可以有效抑制摩擦力參數(shù)誤差對位置跟蹤控制的影響，尤其在速度換向時摩擦力模型的不確定性產(chǎn)生的影響，顯著減小了位置跟蹤誤差，且該控制器穩(wěn)態(tài)和過渡性能都優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器。

機器人；液壓系統(tǒng)；摩擦力；魯棒控制

0　引言

液壓驅(qū)動器廣泛用于工業(yè)系統(tǒng)中，如挖掘機、汽車懸掛系統(tǒng)、飛機起落架、機器人等。摩擦力對液壓驅(qū)動器的精準(zhǔn)控制有較大負面影響，例如出現(xiàn)極限環(huán)、具有穩(wěn)態(tài)誤差、導(dǎo)致跟蹤滯后等[1]。為了較好地控制液壓驅(qū)動器，需要進行摩擦力建模和相應(yīng)的補償或抑制。Marton等[1]提出一種迭代優(yōu)化算法識別摩擦力模型的參數(shù)，該方法將穩(wěn)態(tài)速度和驅(qū)動器壓力差關(guān)系擬合為兩條直線，并通過仿真和實驗驗證了方法的有效性。Friedland等[2]將摩擦力建立為常數(shù)與速度的符號函數(shù)乘積模型，通過觀測器來估計摩擦常數(shù)，該觀測器能估計依賴于速度的黏滯摩擦力。Lee等[3]提出了基于觀測器的自適應(yīng)摩擦估計方法，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。Ottestad等[4]提出了利用活塞和液壓缸之間的轉(zhuǎn)動來消除黏滯摩擦力的方法，但是該方法增大了硬件系統(tǒng)復(fù)雜度。Ren等[5]應(yīng)用后推算法和加速度反饋補償液壓系統(tǒng)摩擦力，后推控制用于位置環(huán)，加速度由摩擦觀測器進行估計并用于摩擦力補償。黎波等[6]通過機理建模和實驗驗證了液壓系統(tǒng)非線性特性：閥死區(qū)、閥控非對稱、液壓缸摩擦力、液壓彈簧力等對控制性能有不利影響。Han等[7]設(shè)計了基于滑模控制的位置控制策略，用摩擦力觀測器來估計模型的參數(shù)，并利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提高位置控制精度。孔祥臻等[8]基于Stribeck模型證明了疊加合適的摩擦顫振以減少黏滑運動是可行的。目前大多數(shù)摩擦補償都是基于觀測器的自適應(yīng)控制的，而由于摩擦力的復(fù)雜性，很難精確標(biāo)定其參數(shù)，在線估計的效果也很有限，為了應(yīng)對參數(shù)不確定性，本文設(shè)計了H∞魯棒控制器來抑制摩擦力參數(shù)不確定性導(dǎo)致的跟蹤誤差。首先根據(jù)系統(tǒng)工作機理建立了液壓系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，選擇Daul模型作為摩擦力模型；然后基于靈敏度設(shè)計了魯棒控制器，最后通過仿真和實驗，驗證了所設(shè)計的魯棒控制器可以很好地抑制(速度換向時)摩擦力不確定性造成的跟蹤誤差，無論穩(wěn)態(tài)還是暫態(tài)，所設(shè)計控制器都優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器。

1　液壓驅(qū)動器的數(shù)學(xué)模型

液壓驅(qū)動系統(tǒng)的原理如圖1所示。該系統(tǒng)由油泵、流量伺服控制閥、液壓缸和負載組成。油泵對液壓閥產(chǎn)生的供油壓力為pS，經(jīng)液壓閥后回油壓力為pT。控制器發(fā)送指令信號r與位置反饋信號比較后產(chǎn)生誤差信號e，接著將e輸入液壓閥的前置伺服放大器，放大器輸出電流i驅(qū)動閥內(nèi)的扭矩電機改變閥芯位置xv，進而改變閥輸出到液壓缸的流量qA、qB和壓力pA、pB，并產(chǎn)生驅(qū)動力，驅(qū)動負載運動，從而通過改變閥芯的位置達到控制活塞運動的目的。

圖1　液壓伺服系統(tǒng)原理圖

1.1液壓缸流體動力學(xué)方程

考慮圖1中的四通滑閥，壓力-流量方程可寫為

(1)

式中，cv為閥系數(shù)。

函數(shù)sg(x)定義為

對式(1)關(guān)于工作點p0=(xv0,pA0,pB0)T進行泰勒展開，得[9]

(2)

(Δxv,ΔpA,ΔpB)T=(xv-xv0,pA-pA0,pB-pB0)T

ΔqA=qA-qA0ΔqB=qB-qB0

其中,Kqx,A和Kqx,B為流量增益；Kqp,A和Kqp,B為流量-壓力系數(shù)。分別定義為

(3)

對于本文所用的對稱閥和非對稱液壓缸的配置，負載壓力定義如下:

pL=pA-αpB

(4)

式中,α為活塞環(huán)面系數(shù)。

由式(4)得

(5)

另外液壓腔內(nèi)壓力動力學(xué)可表示如下(忽略液壓油的外部泄漏)[10]:

(6)

VA(xp)=VA0+xpAp

VB(xp)=VB0-xpαAp

EA(B)(pA(B))=Emax(1-exp(-0.4-2×10-7pA(B)))

式中，Ap為活塞截面積；xp為活塞位置；KLi為漏油系數(shù)；CA、CB為兩腔液壓容；VA(B)和EA(B)為兩液壓腔的有效容積和體積模量；VA0、VB0分別為活塞零位移時兩液壓腔容積；Emax為體積模量參數(shù)。

將式(6)代入式(5)并線性化，考慮式(2)，得

(7)

1.2傳動機構(gòu)動力學(xué)方程

傳動機構(gòu)的三維模型和機械原理如圖2所示。考慮到驅(qū)動力F=pLAp，將式(7)寫為驅(qū)動力表示的形式如下：

(8)

其中，ΔF為關(guān)于參考點驅(qū)動力增量，負載的轉(zhuǎn)動動力學(xué)為

(9)

式中，J為負載的轉(zhuǎn)動慣量；Lτ為力臂；ΔFg為負載重力增量；ΔFext為負載所受的外部作用力增量；ΔFf為活塞和負載所受摩擦力增量。

(a)三維模型(b)機械原理圖2　四桿傳動機構(gòu)

該四桿機構(gòu)設(shè)計巧妙，在很大范圍內(nèi)力臂變化很小，本文將其視為常數(shù)。

Δxv=KvΔuv

式中,Kv為閥的靜態(tài)增益；Δuv為液壓閥控制輸入uv的增量。

可將式(8)、式(9)寫為轉(zhuǎn)動形式：

(10)

(11)

Δτg=mglsinθ-mglsinθ0

式中,Δτg為負載重力產(chǎn)生的扭矩增量；m為負載質(zhì)量；g為重力加速度常數(shù)；l為負載質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離；Δτ、Δτf和Δτext分別為液壓缸產(chǎn)生的驅(qū)動力矩、所受摩擦力矩和負載外部作用力矩增量；Δθ為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角增量；θ0為關(guān)于參考點的轉(zhuǎn)角。

1.3摩擦力動力學(xué)模型

相對于常用的摩擦力模型[11-13]，Dahl模型[13]參數(shù)比較少，且所有內(nèi)部狀態(tài)均可直接測量，可用于速度反復(fù)換向的摩擦補償和控制問題極其重要，故本文采用Dahl模型。Dahl模型表示為

(12)

式中，T為時間常數(shù)；τc為動摩擦力矩大小(常數(shù))；τf為總摩擦力矩。

由于該模型中只有一個自變量，即相對運動速度，且一般控制系統(tǒng)很容易測量速度，所以進行摩擦力補償和系統(tǒng)控制很方便。

1.4液壓系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

考慮式(10)～式(12)，設(shè)狀態(tài)和輸入變量為

(13)

x4=Δτfu1=Δuvu2=Δτext

(14)

定義輸出y=Cx,容易求出多輸入多輸出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

G(s)=C(sI-A)-1BU(s)

(15)

U(s)=(u1(s),u2(s))T

式中,I為單位矩陣。

2　H∞魯棒控制器設(shè)計

由于液壓伺服驅(qū)動系統(tǒng)的強非線性、模型參數(shù)的不確定性，以及外部存在干擾等因素的影響，需要在設(shè)計控制器時考慮參數(shù)的攝動，所以本文考慮設(shè)計魯棒控制器，該控制器在系統(tǒng)對象具有不確定性的情況下，仍然保有較好的控制品質(zhì)。

在圖3所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)中，r、e、u、d和y分別為系統(tǒng)參考輸入、跟蹤誤差、控制輸入、測量干擾和系統(tǒng)輸出，從輸入r到e、u的傳遞函數(shù)分別為[14]

(16)

L=KG

其中，G為位置開環(huán)傳遞函數(shù)，K為待設(shè)計的控制器增益，‖S‖∞用于度量系統(tǒng)對干擾的抑制能力，S也稱為靈敏度函數(shù)。‖R‖∞用于描述攝動G+ΔG的允許攝動量的大小。

圖3　閉環(huán)控制系統(tǒng)

圖4為引入加權(quán)函數(shù)的廣義系統(tǒng)模型，圖中WS(s)和WR(s)分別為相對于評價輸出z1和z2的加權(quán)函數(shù)。廣義受控對象的狀態(tài)空間表達式為

(17)

閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

圖4　H∞混合S/KS控制問題

基于S/KS的魯棒控制器設(shè)計問題就是在頻域內(nèi)選擇合適的加權(quán)函數(shù)，尋找控制器K使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足最小化如下性能指標(biāo):

H=‖Gc(s)‖∞

(18)

在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常關(guān)心滿足工程需要的次最優(yōu)魯棒控制，其性能指標(biāo)滿足

‖Gc(s)‖∞<σ

(19)

式中,σ為足夠小的正實數(shù)。

根據(jù)上述建立的系統(tǒng)開環(huán)數(shù)學(xué)模型，使用表1的標(biāo)稱參數(shù)值，靜態(tài)參考點取為x0=(0,0,0,0)T，假設(shè)式(14)中輸入u2為0(即不考慮外部作用力)，可得液壓系統(tǒng)位置開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=(-2.2056×103s2-2.1111×106s-

42.8414)/(0.0040s4+3.8287s3-

171.2055s2+ 57.4251s-2.7620×103)

表1　液壓系統(tǒng)參數(shù)

H∞控制器的設(shè)計效果很大程度上取決于加權(quán)矩陣是否取的合理，不同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)、不同的性能指標(biāo)要求需要不同的加權(quán)函數(shù)，但如何選擇加權(quán)函數(shù)依賴于設(shè)計者的經(jīng)驗。通常采用的方法是試湊法，但是試湊法過程繁瑣，不能保證找到最佳的權(quán)函數(shù)。本文采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)函數(shù)。首先確定加權(quán)函數(shù)結(jié)構(gòu)如下[14]:

(20)

WR(s)=C0

其中，A為最大穩(wěn)態(tài)偏差；M為靈敏度峰值；ω0為帶寬。WS具有高通濾波器的特性，以確保控制輸入不會超出允許值。WR取為常數(shù)。參數(shù)向量(A,M,ω0,C0)T的最優(yōu)解唯一確定了兩個加權(quán)函數(shù)。

對于給定的被控對象，按照魯棒性要求即式(19)確定系統(tǒng)適應(yīng)度函數(shù)。設(shè)置遺傳算法的參數(shù)——群體規(guī)模、變異概率、交叉概率以及選擇概率等，應(yīng)用遺傳算法進行優(yōu)化，反復(fù)迭代直到達到最大迭代次數(shù)或解達到穩(wěn)定。本文取群體規(guī)模為30，代溝為0.5，交叉概率為0.8，變異概率為0.01，最大遺傳代數(shù)為30。運用MATLAB遺傳算法工具箱求得的權(quán)函數(shù)為[15]

(21)

WR(s)=0.009

用MATLAB魯棒控制工具箱計算，得到控制器為[14]

K(s)=(121.0040s4+2.2071s3-1.7928×103s2-

9.2510s-2.8898×104)/(s4+0.0040s4+

3.8125s3-187.4217s2+56.7584s-

3.0234×103)

(22)

以上控制器參數(shù)確定后，即可用于實際液壓驅(qū)動系統(tǒng)的控制，由于控制器參數(shù)在實際應(yīng)用中是固定的，所以運算量不大，可以在線實施。

3　實驗和結(jié)果分析

3.1實驗裝置

(a)液壓機器人(b)大腿關(guān)節(jié)主驅(qū)動器圖5　實驗設(shè)備

實驗設(shè)備是SARCOS液壓機器人的腿部主液壓驅(qū)動器，如圖5所示。流量伺服閥(Moog0-400AC03547-002)用于控制液壓缸進/出油流量。液壓缸直徑為31.75mm，供油壓力為20.685MPa。一臺裝有數(shù)據(jù)采集卡的高速計算機用于采集數(shù)據(jù)。電腦和采集卡之間使用10Mbit的以太網(wǎng)纜連接。數(shù)據(jù)采集卡以20kHz采樣率采集原始數(shù)據(jù)并經(jīng)過一階巴特沃斯濾波后，以1kHz采樣率將數(shù)據(jù)傳送到上位機。旋轉(zhuǎn)電位計用于測量關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，應(yīng)變管式石英力傳感器用于測量作用于負載的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。控制板基于Cygnal8051F125 8-bit混合信號處理器，時鐘頻率為73.5MHz，用于執(zhí)行控制算法。以5kHz頻率運行控制算法僅需要100μs，盈余的100μs作為時間緩沖，用于處理和上位機的通訊。控制板讀取電位計和力傳感器的模擬信號，經(jīng)過16位A/D轉(zhuǎn)換輸送給控制算法計算，然后通過16位D/A轉(zhuǎn)換以及壓流轉(zhuǎn)換輸出電流控制Moog流量伺服閥(±20mA)。非零的電流會導(dǎo)致活塞兩側(cè)的流量發(fā)生變化，進而產(chǎn)生液壓驅(qū)動力，并通過一個四桿傳動機構(gòu)作用到負載。四桿傳動機構(gòu)經(jīng)過特殊設(shè)計，使得在-0.5～1.0rad范圍內(nèi)，力臂接近常數(shù)，輸出最大轉(zhuǎn)角為-0.5～1.5rad。參數(shù)值通過實驗標(biāo)定或查看產(chǎn)品手冊獲得，見表1。

3.2仿真研究

由于摩擦力的復(fù)雜性，很難在離線情況下獲得精確的摩擦力參數(shù)標(biāo)定值。而處理摩擦力的不確定對液壓驅(qū)動器的精確控制(尤其在低速情況下)具有重要意義。為研究摩擦力參數(shù)的不確定性對魯棒控制器性能的影響，令摩擦力參數(shù)τc在標(biāo)稱值的±2倍之間變化，T在標(biāo)稱值的±1.6倍之間變化。為了對比驗證魯棒控制器對摩擦力干擾的抑制作用，在誤差平方積分準(zhǔn)則下設(shè)計最優(yōu)PID控制器如下:

(23)

仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。從圖6中可以看出驅(qū)動器動摩擦力參數(shù)τc的變化引起系統(tǒng)輸出的超調(diào)量增大，但增大幅度控制在容許范圍之內(nèi)，最大超調(diào)約4%。圖7中，摩擦力時間常數(shù)T的變化引起調(diào)整時間增加，最大的調(diào)整時間約為0.06s。比標(biāo)稱值0.04s延長了0.02s，但仍在允許范圍內(nèi)。

圖6　摩擦力參數(shù)τc變化對魯棒控制器影響

圖7　摩擦力參數(shù)T變化對魯棒控制器影響

以上仿真結(jié)果表明本文設(shè)計的魯棒控制器對摩擦力參數(shù)不確定性有較強的抑制能力，當(dāng)摩擦力參數(shù)τc和T分別在標(biāo)稱值±2倍和±1.6倍之間大幅變化時，魯棒控制依然具有良好的過渡性能和穩(wěn)態(tài)性能，而PID控制的過渡特性由于參數(shù)攝動明顯降低。仿真結(jié)果說明所設(shè)計魯棒控制器比傳統(tǒng)PID控制器能更好地控制液壓伺服驅(qū)動器。

3.3實驗研究

將所設(shè)計的魯棒控制器和對照PID控制器分別用于液壓驅(qū)動器實物，以進一步驗證其性能。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖8所示。

圖8　H∞魯棒控制和PID控制的階躍響應(yīng)

魯棒控制的調(diào)節(jié)時間為0.6s，遠小于PID控制的調(diào)節(jié)時間1.5s。而且魯棒控制幾乎沒有任何超調(diào)，也優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。為考察控制器的跟蹤性能，在實驗過程中輸入頻率為1Hz幅值為0.75rad的正弦角度參考信號，實驗結(jié)果如圖9所示。

(a)位置跟蹤曲線

(b)跟蹤誤差曲線圖9　H∞魯棒控制和PID控制的正弦跟蹤性能

由圖9可見，魯棒控制器的跟蹤誤差遠遠小于PID控制器，僅為PID跟蹤誤差的1/2左右。當(dāng)位置到達最大或最小時(此時速度換向)，摩擦力引起位置跟蹤的顯著波動。由圖9可以看出，魯棒控制相比PID控制，更好地抑制了這種波動。

圖9結(jié)合圖8和上一節(jié)仿真實驗中的階躍響應(yīng)對比結(jié)果，說明了本文所設(shè)計的魯棒控制器不但能應(yīng)對系統(tǒng)參數(shù)的變化，而且具有良好的跟蹤性能，能在很大程度上減小液壓驅(qū)動器運動換向時摩擦力波動的影響。可見，所設(shè)計的魯棒控制器能夠抑制摩擦力導(dǎo)致的位置跟蹤誤差，無論是穩(wěn)態(tài)性能還是瞬態(tài)性能都優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器，從而驗證了其有效性。

4　結(jié)語

本文分析并建立了液壓機器人驅(qū)動器系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)模型中包含Dahl摩擦力模型，由于摩擦力參數(shù)具有不確定性，所以很難離線精確標(biāo)定。為了抑制摩擦力對控制性能的影響，本文設(shè)計了H∞魯棒控制器，并通過仿真和實驗進行了驗證。實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的魯棒控制器能有效抑制摩擦力參數(shù)不確定引起的位置跟蹤誤差，整體性能優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。

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(編輯王艷麗)

Accurate Control of a Robot Hydraulic Actuator with Uncertain Friction

Sun Guangbin1Wang Hong1Wang Lin1,3Li Bin2Ji Li1Wang Fuwang1

1.Northeastern University,Shenyang,110819 2.No. Five Construction Co. of China Petroleum Pipeline Bureau,Renqiu,Hebei,062550 3.Shenyang Institute of Engineering,Shenyang,110136

This paper presented the design ofH∞r(nóng)obust controller to improve the position control of a hydraulic system. First, the hydraulic system model was established by the analysis of the hydraulic and mechanical dynamics. The Dahl friction model was adopted. Then theH∞r(nóng)obust controller was designed around the nominal parameter values based on mixed sensitivity. The weighting functions were chosen as optimized objectives. Finally, by simulation and experiments, it is proved this control method can effectively suppress the friction error’s effects on the position tracking control, especially the effects of the friction model uncertainty in reversing of velocity. The tracking errors are reduced significantly. Both of the steady and transient performance of the robust controller is superior to the conventional PID controller. Therefore the method was validated.

robot; hydraulic system; friction; robust control

2014-01-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(61071057)

TP242DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.019

孫廣彬，男，1985年生。東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院博士研究生。主要研究方向為仿人機器人智能控制。王宏，女，1960年生。東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院教授。王琳，女，1980年生。東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院博士研究生，沈陽工程學(xué)院機械學(xué)院講師。李濱，男，1983年生。中國石油天然氣管道局第五工程公司工程師。紀(jì)俐，男，1982年生。東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院博士研究生。王福旺，男，1981年生。東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院博士研究生。