例談三角函數圖像變換中的易錯點

賴建華

（晉江市英林中學 福建晉江 362256）

例談三角函數圖像變換中的易錯點

賴建華

（晉江市英林中學 福建晉江 362256）

人教版高中數學必修4，教材在編寫函數y=Asin(ωx +?)的圖像時，利用計算機技術分別動態地演示了參數?,ω,A對圖像的影響，這種化抽象為具體、化靜態為動態的方法，可以讓學生真實感受到這種變化和影響，學生應該是可以很好理解并掌握好這節內容的，但我發現在具體操作中，學生卻很容易犯錯。

三角 圖像變換 表達式

一、錯因分析

針對學生為啥還容易出錯，我進行了比較詳細的了解和分析，究其原因主要有：1、函數y=sinx的圖像變為函數y=Asin(ωx +?)的圖像，可以通過改變?,ω,A的變換順序，達到相同的目的，但中間的變換又有差別，特別是在先?后ω,還是先ω后?時容易出錯，以及在ω和A的倍數關系時容易混淆；2、學生在做這種題時，只是利用已學的理論知識解題，不會利用計算機技術輔助解題，即使做錯了，他們也發現不了錯誤；3、最主要原因還是學生對參數?,ω,A對圖像的影響，這種影響變換的本質沒有理解到位。

二、變換本質

函數y=sinx的圖像變為函數y=Asinx （A>0）的圖像時，參數A只影響到縱坐標y的倍數，是振幅變換，使得縱坐標y伸長（A>1）或者縮短（00）與單個x同時出現的，是相位變化，構成了x+?的形式，使得y=sinx的圖像向左（?>0）或者向右（?<0）移動?個單位；函數y=sinx的圖像變為函數y=sinωx(ω＞0)的圖像時，參數ω只影響到橫坐標x的倍數，是周期變換使得橫坐標x伸長（0<ω<1）或者縮短（ω>1）到原來的1倍。ω

三、例題分析

題型1、函數y=Asinx的圖像變為函數y=Asin(ωx +?)的圖像，在處理參數?,ω對圖像的影響時

把函數y=2sinx,x∈R的圖像上所有的點做_____________變換；

【典型錯誤】這種題平時練習比較多的，但學生還是會做錯，學生容易在兩處出錯，錯誤一：在處理參數ω處，容易錯做成ω倍，如向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）；錯誤二：如果是

先周期變換后相位變化時，沒有提取變量x的系數，容易做成所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再圖像向左平移個單位。

題型2：函數y=sin(ωx +?)的圖像變為函數y=Asin(ωx+?)+B的圖像，在處理參數A、B對圖像的影響時

例題2、（2009年山東卷改編題1）將y=sin2x的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位后，縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變）所得圖像的函數表達式為___________。

【典型錯誤】在此題中A影響的是縱坐標y倍數，是振幅變化，而B是影響圖像的上下平移變換，這種題型在教材中沒有涉及到，但并不超綱，由于學生平時很少練習到，學生就更容易出錯了，易犯錯誤地方主要有：1、在處理相位變化時，容易把將y=sin2x的圖像向左平移個單位后，所得的函數表達式錯誤做成了y=sin(2x +)；2、在處理先上下平移后縱坐標的振幅變化時，由于對參數A變換的本質認識不到位，做成如將y=sin2x的圖像向上平移1個單位后，得函數y=sin2x+1的圖像，后縱坐標伸長到原來的3倍（橫坐標不變），錯誤得函數表達式為y=3sin2x+1，這樣縱坐標就沒有伸長到原來的3倍。

長到原來的3倍（橫坐標不變）后得到的為函數y=3[sin2(x+)+1]=3sin(2x +)+3的圖像。

例題3、（2009年山東卷改編題2）：要將函數y=sin2x的圖像變為函數y=3sin2x +1的圖像，要做如何變換_________________。

【正確解答1】將函數y=sin2x的圖像縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變）得到函數y=3sin2x的圖像，再圖像向上平移1個單位得到y=3sin2x +1的圖像。

三角函數圖像變換的形式靈活多樣，不管是先有表達式后寫變換過程，還是先有變換過程后求表達式，但只要我們重視概念的教學，向學生講清了各個參數?,ω,A、B對圖像影響的本質，學生就可以自己透過現象看清事物的本質也就能減少類似的錯誤了。