齒輪成形磨削砂輪廓形優化研究

丁國龍　張　頌　趙大興　趙　迪　趙東雄

湖北工業大學,武漢,430068

齒輪成形磨削砂輪廓形優化研究

丁國龍張頌趙大興趙迪趙東雄

湖北工業大學,武漢,430068

砂輪廓形優化對齒輪成形磨削精度和效率的影響至關重要。從齒輪端面建立了完整齒廓數學模型，其中非漸開線過渡部分采用圓弧曲線，利用無瞬心包絡法求解了磨削一個齒槽的完整砂輪廓形，推導了左右固定弦齒間點解析式。調整了砂輪安裝角以改變砂輪與工件的左右齒面的接觸線形狀和位置，使左右更對稱；調整了固定弦齒間點在齒面上的位置，使之靠近分度圓，接觸線分布集中，發散小。基于線性加權和法建立了多目標優化模型，以磨削效率高、左右接觸線對稱、單齒接觸線長度最短為優化目標，利用MATLAB開發優化程序對砂輪廓形進行了優化。通過實例計算驗證了調整砂輪安裝角和固定點位置對砂輪廓形優化的有效性。

成形磨削；修形；砂輪廓形；接觸線；優化設計

0　引言

砂輪廓形是由空間接觸線在砂輪坐標系下繞砂輪軸線旋轉而得到的回轉曲面,不僅決定著被磨削齒輪的齒形精度，同時也影響磨齒加工效率。不同接觸線可以得到不同的砂輪廓形。因此磨削過程中涉及一個重要問題——砂輪廓形的優化，即如何通過砂輪修形的定量分析與主動控制，生成滿足幾何條件約束和制造任務精度要求的優化的接觸線,從而提高成形磨削精度和效率。

文獻[1-2]中給出了成形磨齒的砂輪廓形算法,但精度較低,不能滿足現實生產要求，而且沒有對砂輪廓形進行分析和控制;孟石如[3]對接觸線作了一定研究,認為不同砂輪半徑的接觸線相交于一點，稱“固定弦齒間點”，但是并沒有深入研究該固定點的作用與特點;郭二廓等[4]從提高磨削效率和精度出發對接觸線進行了優化研究,但所建立的過渡曲線模型較繁瑣,且還需要對完整的砂輪廓形進行討論;Nishida等[5]、Yoshino等[6]對接觸線進行了討論,認為在軸向接觸線長度最短時，齒形誤差最小,且可改善磨削扭曲現象，但是他們也沒有對砂輪廓形優化進行深入研究。在齒輪參數一定情況下，可以通過修改砂輪安裝參數來調整接觸線形狀和位置，從而利用接觸線回轉來控制砂輪的廓形。

本文在上述研究的基礎上,從齒輪端面建立完整齒廓數學模型。調整砂輪安裝角改變砂輪與工件的左右齒面的接觸線形狀和位置，使左右更對稱；調整固定弦齒間點在齒面上的位置，使之靠近分度圓，接觸線分布集中,發散小,以期獲得砂輪與齒面較優的接觸特性。利用MATLAB開發優化程序對砂輪廓形進行了優化。

1　砂輪廓形方程求解

在一對共軛齒面的接觸點存在公法線,當兩共軛齒面之一為回轉曲面時,接觸點的公法線必然通過其回轉軸[3]。成形砂輪磨削齒面過程中，砂輪回轉面和齒面是一對共軛齒面，它們之間有滿足嚙合條件的瞬時接觸線,該接觸線繞砂輪軸線回轉一周，得到的回轉面即為砂輪廓形,而圍繞齒輪軸線以一定的螺旋角做螺旋運動,得到的螺旋面即齒面，齒面和過渡曲面組成一個完整的齒廓。

1.1漸開線齒面及其接觸線方程

無論是直齒還是斜齒,端面廓形均為漸開線形狀。圖1是成形磨斜齒空間接觸示意圖,建立工件坐標系Oxyz，以齒輪軸向為z軸,齒輪齒槽方向為x軸,x軸均分齒槽,y軸為垂直于x、z的方向;砂輪坐標系O1XYZ以砂輪軸心線為Z軸,與工件坐標系z軸夾角為Σ(安裝角)，X軸與工件坐標系的x軸重合,方向相反,兩坐標系原點距離O O1為中心距a。

圖1　成形磨斜齒坐標系示意圖

圖2是斜齒輪端面截形示意圖。A點為漸開線上展開角為u的點M的一個曲率半徑端點,M′點是M繞螺旋方向旋轉θ時所得曲面上點,B為其在基圓上的曲率半徑端點,δ0是漸開線基圓齒槽半角。

圖2　斜齒端面截形示意圖

對圖2中取展開角u為參變量，從左齒面建立端面漸開線方程如下:

(1)

式中,rb為基圓半徑。

將漸開線ef繞z軸沿螺旋角做右螺旋運動，形成齒面螺旋面,得到斜齒輪右旋左側螺旋面方程為

(2)

其中,p=pz(2π),pz為齒輪螺旋導程,用同樣方法可建立右側齒面模型。

根據齒輪空間嚙合理論知,砂輪回轉面與齒輪螺旋面間的瞬時接觸線必須滿足一定的條件,即從砂輪坐標系原點O1向螺旋面上的點作徑矢R,如果R和螺旋面上點的法線n(或在各軸上分法線nx、ny、nz)以及砂輪軸線共面,這一點就是在螺旋面上的接觸點。通過計算,該接觸條件整理為[7]

znx+anycotΣ+(a-x+pcotΣ)nz=0

(3)

式(3)為參變量u和θ的一個關系式,聯立式(2)、式(3)和右齒面方程可求得螺旋面與砂輪在漸開線部分接觸線的方程。

1.2過渡曲面及其接觸線方程

圖3　齒根過渡曲線示意圖

一般齒根過渡可改善應力集中的現象[8]，本文采用含直線、圓弧的齒輪過渡曲線，從端面處建立過渡曲面方程。圖3是齒輪齒根過渡圓弧示意圖,設圓弧中心C在齒輪局部坐標系Oxy1z下的坐標為(xC,yC,0),rf為齒根圓半徑,u表示圓弧段上任意一點與x軸的夾角,r為半徑,取u為參變量,可建立在齒輪坐標系Oxyz的圓弧段方程為

(4)

直線段方程為

(5)

因此可得圓弧段螺旋面方程為

(6)

計算其法向量n在x、y、z軸的分量nx、ny、nz,并將其代入式(3)得圓弧接觸條件式:

zpcos(u-θ)-apsin(u-θ)cotΣ+

(a-x+pcotΣ)[(xC+rf)sinu+yCcosu]=0

(7)

式(6)、式(7)聯立求解可得砂輪與齒根圓弧過渡部分的接觸線方程式。

1.3砂輪廓形方程

給定齒輪參數,利用數值模擬[9]、牛頓法迭代求解式(3),把滿足條件式的參數u、θ代入齒廓方程式即可得到整個齒廓的接觸線。而由工件坐標系Oxyz轉換為砂輪坐標系O1XYZ的轉換方程為

(8)

故可通過坐標轉換方程式(8)把接觸線轉換到砂輪坐標系，所求的接觸線在砂輪坐標系O1XYZ中繞砂輪軸心線Z回轉,得到砂輪廓形。空間接觸線轉換到砂輪坐標系下的形狀與位置如圖4所示。為方便砂輪修形和計算,用砂輪的軸向截形(圖5)來表示:

(9)

圖4　砂輪上接觸線示意圖圖5　砂輪廓形示意圖

2　砂輪廓形性質及分析

在磨齒過程中,砂輪安裝參數a和Σ的選擇如不合適,則不僅將導致較大齒形等誤差,還會使磨削效率達不到相應要求。因此分析砂輪廓形和接觸線的形態隨砂輪安裝參數變化的規律就顯得尤為重要[10-12]。

2.1接觸線與安裝參數關系分析

(1)砂輪與齒輪接觸線不僅是空間曲線(圖4),還隨砂輪安裝角度的變化而變化(圖6)。在防止產生干涉范圍內,Σ越大,單齒面上的接觸線z軸高度越小,形態越直;Σ越小,漸開線部分的接觸線z軸高度越大,形態也越彎曲；雙齒面切削線z軸總高度隨Σ增大而逐漸減小,當Σ為90°-β(β為螺旋角)附近的某一值時最小,當Σ再增大時接觸線沿z軸高度隨Σ增大而增大。

圖6　接觸線與砂輪安裝角度關系

(2)對于某一參數齒輪,安裝角度和砂輪半徑RW不同,接觸線不同(圖7),但對于某一安裝角而言這些接觸線會相交于一個固定的點(圖7中P、P1、P2點),變位系數為0時,可求出該固定點u和θ的數學表達式為

(10)

圖7　固定弦齒間點與安裝角、砂輪半徑關系

圖7中P、P1和P2為調整安裝角和砂輪半徑所得的固定弦齒間點，其中P點為其在分度圓上的點，線L為固定弦齒間點在yz平面的運動路徑，從圖中和表達式可總結出該點具有如下性質：

(1)對不同參數齒輪,該點在齒輪坐標系中位置與安裝角、齒輪齒數、螺旋角以及法面壓力角有關,而與砂輪半徑沒有關系。

(2)在Σ=90°-β時,該點位置在分度圓附近,對不同齒輪,隨齒數、壓力角增大,該點沿接觸線向齒頂方向移動,反之則沿接觸線向齒根移動。

(3)齒輪參數確定時,該固定點位置僅與砂輪安裝角有關,改變安裝角大小,固定點位置沿線L在齒根與齒頂間變化,其中當固定點在分度圓上時接觸線分布最集中，發散最小，這時砂輪的半徑變化對磨削誤差影響最小，同時可避免磨削過程中在砂輪半徑變化時需要調整安裝角的局限,而當固定點越靠近齒頂和齒根,砂輪半徑對接觸線的影響越大。

(4)安裝角確定時無論砂輪半徑如何變化,該固定點總是為砂輪和齒輪的接觸點,因而可作為齒輪磨削時的設計基準點,同時這對接觸線和砂輪廓形的求解具有很大意義，可以在很大程度上提高搜索解的效率,對認識砂輪廓形也具重要理論意義。

2.2砂輪廓形與砂輪安裝角關系分析

工件參數確定時,不同的砂輪安裝參數有不同空間接觸線,從而有不同的砂輪廓形。因此可以通過改變安裝參數來改變和優化接觸線、砂輪廓形等的參數,以實現高效、高精的成形磨齒加工目標。圖8是確定砂輪半徑RW情況下，變化安裝角度Σ的砂輪廓形軸向截圖。由式(10)求得接觸線的固定點,利用坐標系轉換方程式(8)可求得變砂輪半徑情況下的砂輪廓形的固定點，該固定點可作為砂輪修形的基準點。由于砂輪廓形隨砂輪與齒輪的相對安裝位置(砂輪安裝角度Σ)不同而各異，因此在采用不同的砂輪安裝角度時，砂輪修形所需去除的材料量不一樣，形狀不同，修整效率、精度不同，故合理選擇砂輪安裝角非常重要。

圖8　砂輪軸向截形示意圖

綜上所述,砂輪廓形形態受接觸線的影響，而接觸線形狀又被砂輪安裝參數(砂輪半徑Rw和安裝角度Σ)影響，因此工件參數確定后，造成砂輪廓形形態變化重要的參數是Rw和Σ,但由圖6與圖7對比知安裝角度的影響占主導地位。

3　優化目標函數及求解方法

3.1變量設計及目標函數

砂輪安裝角Σ對砂輪廓形的影響占主要的作用，故本文設計優化變量為Σ。在成形磨削過程中,一般Σ不等于90°-β時,對磨削過程反而是有利的。磨削時往往要求磨削時間短(效率高)；沿接觸線上的磨削力小而對稱；單齒面接觸線z軸高度小等。現分別針對不同情況建立目標評價函數。

(1)不同砂輪安裝角度有不同接觸線、砂輪廓形。接觸線越長，同等條件下進入磨削與離開磨削階段的時間越長，效率越低，重要的是雙面同時磨削時很可能出現磨削力不對稱的現象，反之，接觸線越短,磨削沖程量越小，效率越高，磨削時間越短，這時的安裝角度Σ對于提高效率來說是最佳安裝角，由此得到的砂輪廓形為最佳廓形。鑒于此，建立效率評價函數的數學模型為

f1(Σ)=|zaL-zaR|-|zf L-zf R|

(11)

其中,zaL-zaR為左右齒面接觸線在齒頂沿z軸方向的長度偏移量,zf L-zf R為左右齒面接觸線在齒根沿z軸方向長度偏移量,利用數值法把齒頂和齒根相應的展開角u代入到兩齒面的接觸條件式(3)可分別求得其解析式,代入各參數，函數轉變為關于Σ的一維數學模型，函數絕對值最小時為單目標最優。

(2)成形磨齒雙面同時磨削時,左右兩面磨削力存在不平衡現象，特別是在磨削首末階段，可能出現兩側磨削力差異較大,為減小磨削振動和提高磨削精度，需要保持兩側磨削力平衡。本文以左右齒面接觸線在節圓上的偏移來評價磨削力的平衡,它反映的是磨削扭轉力,偏移越大,不平衡力越大。較小的偏移可以使磨削過程磨削力保持平衡，減小磨削顫振，提高效率和精度。評價數學模型表示為

f2(Σ)=pθL-pθR

(12)

其中,θL、θR分別為左齒面和右齒面的接觸線在節圓上的點旋轉過的角度,將確定的節圓展開角代入到各自的接觸條件式即可求得,它們是關于Σ的一個一維自變量評價函數,函數最小值點的Σ為最優砂輪安裝角度。

(3)單齒磨削時,接觸線高度用偏置量(單齒面齒頂齒根高度偏移量)表示，該值越小,砂輪沖程量越小，磨削效率越高，同時可以提高導程修整效率。偏置量最小表示在單齒面上切削線高度最優，建立其數學評價模型如下:

f3(Σ)=zf-za

(13)

其中,zf表示齒根接觸點在z軸方向坐標分量;za表示齒頂接觸點在z軸方向坐標分量。把齒根與齒頂的展開角代入到齒面接觸條件式(3),即可求得θ,再代入到齒面方程,可得f3(Σ)是一個關于Σ的一維方程式。

3.2優化方法

基于線性加權和方法構造評價函數如下：

f(Σ)=w1|f1(Σ)|+w2|f2(Σ)|+w3|f3(Σ)|

w1+w2+w3=1

其中,w1為雙面磨削時磨削效率權系數,w2為磨削力是否平衡權系數,w3為單齒面磨削時磨削效率權系數。由于各子目標函數單位已統一,無需作量綱一處理。如以提高雙面磨削效率為優化目的,則取磨削效率權系數w1=1;如以磨削過程中,磨削力對稱、平衡為優化目的,則取力對稱權系數w2=1;如提高單面磨削或導程修整效率為優化目的，則取單齒效率權系數w3=1。若是多目標優化,則根據重要程度選擇合適的權系數。

工件參數確定后,將多目標優化轉化為單目標優化，利用數值模擬思想，采用牛頓迭代方法迭代求解接觸條件后代入齒廓方程，由評價函數循環搜索在特定展開角的沿z軸接觸線長度，直到達到目標函數最優。

3.3優化流程

根據前面建立的各目標函數,整個優化步驟可以表示如下：

(1)建立齒廓(左齒面和右齒面、過渡曲線等)模型，并求相應的法向量和接觸條件式,利用數值方法,求出砂輪與齒輪的空間接觸線,利用接觸線反求砂輪廓形。

(2)利用齒面、接觸線方程建立砂輪廓形優化評價函數。利用線性加權和法建立多目標優化模型，并根據實際情況給出相應的權系數。

(3)利用迭代求解砂輪磨削不發生干涉的砂輪安裝角度取值范圍。

(4)在滿足步驟(3)所求的條件下,給定Σ初值,利用數值模擬法,迭代求解f(Σ);以步長h更新Σ,再求解,直至尋求到最優的評價函數值、接觸線、Σ等參數。

(5)利用式(8),將最優的接觸線轉換到砂輪坐標系,再將其轉化到砂輪XZ或YZ平面內,從而獲得砂輪軸向截形數據并輸出至文件，可供后期砂輪修形等用。具體優化過程流程圖見圖9。

圖9　優化算法流程圖

4　實例及分析

圖10　砂輪安裝角優化系統

把以上內容內嵌到相關程序中，利用人機交互界面GUI實現輸入參數并繪制各種圖形、輸出數據等，編寫出成形磨齒砂輪安裝角度優化軟件，以砂輪安裝角度為設計變量對砂輪廓形進行優化。圖10是利用MATLAB編寫的砂輪廓形優化軟件主GUI及實例操作過程等,其結果是優化出砂輪廓形和安裝角，該圖數據為以提高磨削效率為目的對砂輪廓形進行優化的相關輸出數據，其中選用基本參數如表1所示。圖11為評價函數的數值示意圖,其中負號只表示方向,不表示大小。

表1　齒輪磨削基本參數

圖11　評價函數值與安裝角關系示意圖

(1)用于評價雙齒磨削效率的接觸線z軸高度差如圖11所示。磨削效率依靠齒根與齒頂在接觸線上偏移量聯合進行評價，故要求在某一安裝角度時,兩曲線的差值絕對值盡量小，該值越小,效率越高，磨削時間越短。由圖11知,在安裝角Σ=74.76°時,兩曲線有交點,效率最高，此時接觸線長度L=6.49 mm;而理論Σ=75°時,L=7.75 mm,使用優化后的砂輪廓形和安裝角磨削，單行程每次磨削沖程量減小1.26 mm,磨削效率提高16.9%。單齒面磨削效率的評價函數值如單齒切削長度曲線,此時在防止干涉安裝角范圍內,取較大的安裝角較為合適。

(2)磨削力對稱的評價函數值如圖11中節圓偏移曲線。節圓偏移量隨著安裝角度的增大先減小,達最小后又增大,在其值為0時最優,對應的砂輪廓形和安裝角度均為最佳。通過計算得最優Σ=74.68°,接觸線長度L=7.42 mm,節圓偏移為0,與理論L=7.70 mm相比,節圓偏差為2.53 mm,平衡度提高4%,用此安裝角和其對應的砂輪廓形磨削加工時，磨削不平衡力最小，對稱性最佳，減小磨削過程顫振,有利于提高磨齒精度。

在實際磨削過程中,應根據企業實際需求選擇優化類型，以獲得最佳砂輪廓形和安裝角度。圖11中橢圓內為進行多目標優化的優選區域，最佳接觸線長度值偏向哪條曲線，由用戶設定的權重因子來決定。

5　結論

(1)調整砂輪安裝角和固定弦齒間點的位置，可以改變砂輪母面與齒面的接觸線的形狀與位置，獲得優化的砂輪廓形。

(2)基于線性加權和法對砂輪廓形和接觸線進行優化,通過仿真程序可以得出最佳砂輪安裝角度和砂輪廓形，較傳統求砂輪廓形和使用固定安裝角度磨削方法更優。

(3)設計的成形磨齒砂輪廓形優化系統可運用于磨齒機系統二次開發中,在實際生產中為操作者提供最優砂輪偏轉角度和砂輪廓形。同時本文利用反求及優化刀具廓形的思想可以運用到其他加工方式中,為尋求最佳刀具形狀提供一種思路。

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(編輯袁興玲)

Optimization of Grinding Wheel Profile for Gear Form Grinding

Ding GuolongZhang SongZhao DaxingZhao DiZhao Dongxiong

Hubei University of Technology,Wuhan,430068

It is crucial that optimization of grinding wheel profile for the accuracy and efficiency of gear form grinding.A integrated mathematical model of tooth profile was established,which adopted circular curve as transition part of non-involute form of gear end-face,meanwhile,grinding wheel profile of a cogging was solved by non-instantaneous sectional envelope machining principle and analytic expression of constant intersectional point on chord tooth was derived.Adjusting grinding wheel setting angle to alter shape and position of contact line between grinding wheel and gear to make it more symmetrical;changing the position of fixed intersectional point on tooth surface to make sure it was close to pitch circle,thus the contact line was more centralized and low divergence.On the basis of using linear weighted sum method to establish muti-goal optimization module,taking highly grinding efficiency,symmetrical contact line,shortest contact line length of single tooth surface as optimization goal,the grinding wheel profile was optimized depend on programme developed on MATLAB.Finally,the effectiveness of adjusting grinding wheel setting angle and fixed point position was manifested through example’s analyses.

form grinding;dressing;wheel profile;contact line；optimization design

2013-08-20

湖北省自然科學基金資助項目(2012FFB00609)；湖北工業大學博士啟動基金資助項目(BSQD12008)

TG61DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.06.007

丁國龍,男,1968年生。湖北工業大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為數控加工技術、機械設計等。張頌,男,1987年生。湖北工業大學機械工程學院碩士研究生。趙大興,男,1962年生。湖北工業大學機械工程學院教授、博士。趙迪(通信作者),男,1981年生。湖北工業大學機械工程學院講師、博士。趙東雄,男,1981年生。湖北工業大學機械工程學院碩士研究生。