論數學學習的經驗性思維

韓云橋

（廣州市第五中學，廣東 廣州 510220）

數學的學習過程與事物的發展過程一樣，都是矛盾的結果.學生學習數學的內部矛盾是學生原有認知水平與新的課程內容知識[1]之間的矛盾，這里的原有認知水平就是已形成的學習數學的經驗，這個經驗既含有對具體知識的掌握，又包括感悟具體知識所獲得的方法認識.原有認識水平對于新學習的需要就是學習意義上的經驗性思維成果.

1 經驗性思維含義

數學學習中，新經驗要獲得意義需要以原有數學活動經驗為基礎，同時新經驗的進入又會使原有經驗發生一定的改變，使它得到豐富、調整或改造[2]，建構更加完善、合理的經驗性思維.因此經驗性思維是一種學習認識方式在過去信息合乎邏輯的“記憶”，指掌握了必備的數學基礎，能用已掌握的知識解決數學問題所形成的、隨時可以取用的、符合個體特色的、具有個體學習意義的思維模式.經驗性思維是實踐活動的直接產物，是通過經驗的積累、分類與組織，對某一確定后的特定情境，尋找和選擇一種過去使之成功的行動方式過程.其主要特點是隨著同類經驗思維的不斷增加，可以轉化為對過去曾經的活動實踐的及時反射，明確對新的實踐活動的判斷和行為方式的選擇，從而有效地提高選擇最佳決策方案的能力，縮短從認識到實踐這一轉化的過程.

經驗性思維是以“三基”（基本知識、基本技能、基本數學方法）為載體[3]，在認識的積累中構建的數學活動經驗.一般來說，學生在學習過程中獲得的數學活動經驗就是學生頭腦里過去成功（否則隨實踐的積累，不成功的經驗就能得到加工與修復，從而讓具體經驗普遍化）的認知策略，這種策略對掌握數學內部各種關系，進行判斷、推理、綜合、概括起著奠基和發展的作用，對穩定數學學習興趣，增強學習信念和元認知能力發揮重要作用.

系統化知識和數學理論凝聚著人類認識活動所特有的思維經驗，任何有意義的認識都是按照一定的記憶規則加以系統化的，體現著思維邏輯的一般規則.掌握它們，就意味著獲得了一定水平的經驗性思維.原有經驗的獲得過程，是知識掌握和思維方法形成的認識體驗，這種獲得過程相應地發展成為一種形式化的技巧[4]，表現為對外部現象的察覺程度，并產生直接的“感知”，這種感知含有原始的、經驗的成分[5].

2 數學經驗性思維產生的動力

2.1 思維的本能

從廣義上講，每一種存在，都有“思維”，因為它們都有一種對客觀世界信息的“記憶”，以及對這些信息做出合乎“邏輯”的反應.思維本身具有相親性，這是因為不同的規律反映著不同的記憶.人總是對自己喜歡的事或現象進行思考，而對不感興趣的事或現象不怎么關心，其原因就是思維的相親性.正是思維的相親性，才使人的思維保持著經驗的東西，一旦面臨相同或相似的環境，就能從思維的記憶中找到和發現解決問題的對策.

2.2 思維的概括

人的思維總是把共性的事或現象進行分析比較，揭示它們的規律，這就是思維的概括.數學思維具有對數學對象及其關系的概括水平，凡屬于能夠被概括的事或現象它們都具有外延的相似性，于是數學思維就自然會邏輯地反映“記憶”了，其實這種記憶就是所形成的數學活動經驗，是具有穩定智力模式的經驗性思維.數學思維對那些已形成記憶的固有特征是敏感的，喚醒記憶的條件是環境.一般情況下，在環境相似情況下，思維往往就會被激活，并參與解決問題.當然有時這種智力模式會失效，這就是心理學上所講的定勢思維.定勢思維作為一種特殊的心理準備狀態，在條件相似的情況下，可以簡化思維程序，有利于迅速解決問題.但當環境發生了變化，它將成為一種僵化的思維模式而影響解決問題.數學經驗性思維必須擺脫思維的主觀隨意特點，要善于分析問題環境，讓思維在現實的邏輯中運轉，通過對現實的觀察，來修正思維的定勢狀態.

3 數學經驗性思維的遷移

經驗是按照事實原樣而感知到的內容，而數學活動經驗的構建要依托于先前的知識和活動方式，是先前數學活動經過一級或多級抽象的產物，也就是積累的開展數學活動的一種或幾種基本策略、基本模式和基本方法[6].

3.1 把握具體事物現象產生遷移

經驗不僅是由“具體上升到抽象”的基礎，而且是由“抽象到具體”的必要中介.當數學新信息刺激時，經驗性思維就會自覺對已有的知識和經驗過的方式進行過濾、外化，以找出與新信息有聯系的知識和活動方式，這是思維的選擇；在沒有外來環境的影響下，經驗系統是靜態地隱藏于數學知識體系和活動規則之中，當經驗系統被外界打破，經驗的活動方式就會展開，隨之就會用選擇的知識和活動方式去說明、解釋和容納這個外來的信息，這是思維的同化；如果原有認識不能接受新信息，經驗系統就會對原有思維結構進行改造，實現與新信息的同化，這是思維的順應；容納新的信息后，主體會從整體上把握數學事實或結論，從而產生數學直覺，這是思維的預見[7]；最后形成對數學事實的判斷和描述.這就是經驗性思維在具體數學活動中所表現的遷移.

案例1：求過P(1, 2)與雙曲線x2?=1有且只有一個公共點的直線方程.

直線與雙曲線相交最直接的經驗就是聯立直線與雙曲線方程進行消元，轉化為關于x或y的“二次”方程，然后用判別式Δ=0求解（思維的選擇）；根據這個想法，設直線方程為y?2=k(x?1)，聯立雙曲線方程整理得：(4?k2)x2?2kx(2?k)?(2?k)2?4=0…①，（思維的同化）；該方程有相等實根，

然而這樣的k值不存在.是不是已知問題是一個錯誤命題，引發思維沖突，通過反思經驗系統的情境，對比“問題原型”，發現在思維活動中存在兩個問題，一是忽視直線斜率的存在性；二是忽視判別式適應條件.這就使思維在新情境中獲得了更豐富的內涵（思維的順應）.當斜率不存在時，過P點的直線方程為x=1，符合題目要求；若方程①是一元二次方程，則4?k2≠0，此時方程②無解.是否過P點的直線與雙曲線不存在切線？給思維經驗呈現了反思的條件，然而從幾何分析中，這條切線方程恰是x=1，而且可以看到還有一條直線與漸近線平行（思維的預見）.如何求出這條直線？在心理內部對已有的思考進行反省，聯想到一次方程存在解的情境，只需使4?k2=0，此時方程①存在解，于是得到k=?2.所以滿足條件的直線有兩條是x=1或y=?2x+4.

在此題數學活動過程中，依靠對過去經驗的加工和不斷改造來同化特殊情境呈現的信息，其中體現了原有經驗的改造并發生遷移的效果.數學經驗性思維就是在承受“選擇、同化、順應、預見”的這種往返動作過程中所完成的結果，從而形成更為完善的經驗性思維.

3.2 把握具體事物本源產生遷移

心理學的研究表明，各種知識對人的大腦皮層的影響更多的是相似因素的作用，給遷移提供了廣闊的空間，相似因素越多，遷移力就越強.數學問題的學習常常以“新的認識”為主要內容，而“新”的特征就容易引起學習中的認知沖突，解決的方法就是把新的知識和方法分解為“舊”的認識，回到自身經驗中分析，就是對所經歷的活動進行分析思考[8]，通過對信息的轉換來獲得新經驗，構建思維活動的意義.

案例2：已知函數y=lg(x2+ax+2)，在下面兩種條件下，求實數a的取值范圍.（1）值域是全體實數；（2）定義域是全體實數.

問題給出的信息能夠直接反身聯想到對數函數的定義和圖象，對于函數y=lgx，如果定義域是{x|x＞0}，則值域就是R，于是第（1）問只需x2+ax+2＞0即可，這是學生以自己的經驗、信念對新情境分析而形成的判斷；第（2）問需考慮x2+ax+2＞0在R上恒成立.

數學活動經驗的這種遷移是符合認識規律的，在理解、運用新信息過程中，都需要回到自身經驗中對所經歷的活動進行分析思考，實際上是學習活動中被重復運用的某種“聯結”，即返回到事物的原型上去實現思維的遷移.

3.3 把握具體事物特征產生遷移

知識的掌握和技能的形成，都需要經歷某些特殊環境下的數學實踐活動過程，這一過程（由感性經驗過渡到理性思維）往往需要通過運用已有經驗來構建“新”經驗的意義.

案例3：（1）A=

在問題（1）中，已有獲得經驗是，先求集合A={x|x＜?2或x≥1}，隨之得到CRA={x|?2≤x<1}.

但這一方法不適應問題（2），但可根據問題（1）的特征，轉化為求不等式＜0的解集，得到集合CRA={x|?2

事實上CRA=于是問題（2）可以運用新經驗的意義來解決.即∪{a|2?a=0}.

根據事物特征對原有經驗進行改造和修復是經驗性思維方式“再發現”的一種遷移.正如弗賴登塔爾在《數學教育再探——在中國的講學》（劉意竹，楊剛譯.上海教育出版社，1999）一書中所指出的：“通過個人的學習經驗了解個人的學習過程，通過概括了解一般人的學習過程，通過歷史了解人類的學習過程”[9]，即在特殊的學習活動中增強經驗普遍化意義.

4 構建經驗性思維的教學策略

4.1 營造數學活動情境并揭示數學知識內在的思維因素

數學基本概念、命題是數學的核心實體——教學內容知識[10]，掌握知識就是把知識形成的原因、背景以及思維的價值弄清楚，構建屬于自己的知識系統——學生水平知識.

揭示數學知識的內在思維因素，需要營造數學活動情境，一般通過“基本知識的掌握——練習獲得基本技能——通過反思獲得基本數學思想方法”[3]3個過程，讓學生在整個學習過程中收獲數學基本經驗.首先要引導學生充分感知，通過觀察、鑒賞等，激發保存的“記憶”對知識進行識別、比較、概括，并在教師的指導下，探析知識的背景和意義.其次在訓練中內化，在特定環境下獲得基本技能.最后通過變式，體驗知識的思辨性，從而獲得基本數學活動經驗.

案例4：復數概念的教學.這一內容由于學生沒有過去的活動經驗必然會出現理解上的障礙，教學中要從學生已有的實數“記憶”上著手.在實數集中，x2?2=0是有實際背景的[11]，即單位正方形對角線長度.但x2+1=0的背景是什么呢？如果直接按實數法則給出：x=，那么知識存在的思維環境就是個偽環境.此時教師可引入卡當方程作為背景呈現.卡當問題：如何將10分成兩數，使這兩數之積為40，即求方程x(10?x)=40的根，這個方程沒有實數解，但5±確實滿足原方程，負數開平方在實數集里不能表示，說明實數集不夠用，因而引進虛數單位i=.教學過程中，同時結合由自然數集擴充到實數集的過程和基本的數學練習，形成新知識意義的建構，讓學習結果產生“新”的“意義上的理解”.

揭示知識內在思維因素還可利用數學文化、數學歷史、數學演繹結構給學生呈現真實背景，使學生的學習過程變得充實有效，學生則能不斷轉化和修正教師所提供的信息，以一種具有個人特點的、有意義的方式來獲得知識的意義，形成具有鮮明個性特點的經驗性思維.

4.2 呈現知識的特殊表現活動并揭示數學關系的內在思維因素

數學命題、原理盡管各自獨立，生成的環境也有所區別，但它們所表現的思維活動是相似的.數學思維中的聯想、類比、歸納和猜想等都是運用相似性探求數學規律、發現數學結論的主導方法.加強數學對象內在聯系的理解，要特別注意用知識的特殊表現活動來揭示各種關系的性質特征，讓學生充分感知、獲得數學活動經驗.教學中用質疑的方法來揭示數學內在關系具有很好的效果.

案例5：幾何證明選講中，關鍵有4個定理，即相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理.在圓O中，設弦AB與CD相交于P，通過對P點位置的變化，來建立這4個定理之間聯系.P點的特殊表現方式決定了這4個定理的內在聯系：當點P在圓內時，就是相交弦定理；當點P運動在圓外時，就是割線定理；當點P在圓外，且讓弦CD縮小為一個點（C、D重合）時，就是切割線定理；既使弦CD縮小為一個點，同時又使弦AB縮小為一個點（A、B重合）時，就是切線長定理.通過這樣的情境設計（借助電腦演示），有目的地對P點的特殊位置進行比較、質疑，讓學生真正感受到知識特殊的表現活動，提高對知識理解、掌握的效果.讓學生在真實的數學活動中體驗，親歷感受到知識特殊的表現活力，既能快速掌握這些定理在特定環境下的應用，又能遷移掌握這些定理在變化環境中的應用，更能輻射到掌握其它知識的學習環境中，增長經驗對環境的調控能力.在這個比較、質疑的過程中，包含了基本知識、基本技能、基本數學方法和基本數學活動經驗的積累，把知識、技能、活動經驗結合成塊，通過必要的解題活動獲得經驗，不斷地將之提升為數學思想方法，形成一個“四基”數學模塊.

數學教學中要培養學生“有條件的質疑精神，讓學生認識到理性不是萬能的”[12].比較、質疑作為一種特殊的活動，是師生之間的雙邊活動和情感活動，它既有預設性，也有生成性，能夠提升學生先前知識和經驗的整合效果.同時質疑也體現了“追問思想”，能夠調動知覺的胃口、激發思維活動，刺激語言形成，促進思維的深刻反思，拉近與學生經驗的距離，增強學生回憶經驗的表象，更準確理解知識的特殊表現活動.

4.3 呈現真實的描畫模擬活動并揭示知識應用的思維價值

數學應用客觀反映了數學描述實踐活動的功能，把原本從生產實踐或已有經驗中獲得的數學關系重新回歸到具體實踐活動中去，用典型問題對數學關系或模型進行包裝，組織這種問題的教學就是數學應用教學.

如函數的應用是高中數學教學中一個重要內容，這是因為“世間萬物皆是不斷變化的，…，如何表述各種現象的變化規律？如何預測其變化趨勢？反映這些客觀現象的主要模型就是函數”[13]，函數應用教學中，組織的具體問題盡管多樣，對現實的描述各不相同，但分析的思維程序是相似的，這為思維的有序活動提供了方向和動力.在數學學習中，特別要關注把已掌握的知識從多種角度應用到解決具體的數學問題.

案例6：已知函數f(x)=在(2, 3)上不單調，求實數k的范圍.

該問題可轉化為研究導函數f′(x)=在(2, 3)上不單調，有兩種情況：

在(2, 3)上連續，則f′(x)=0有根，即f′(2)f′(3)＜0，得?2＜k＜ ?1；在(2, 3)上間斷，由x+k=0及2＜x＜3，得k∈(?3,?2).所以k的取值范圍是k∈(?3,?2)∪(?2,?1).

此問題是從另一個角度描畫知識的應用并用來反映知識應用的思維價值，通常情況下，是研究函數的單調性（在某區間上單調、求單調區間），對于某函數在給定區間上不單調，學生基本上沒有這方面活動經驗，這一角度知識的應用更能促進學生經驗的增長.顯然，這一應用“過程”是一種新舊經驗的“整合”過程，從而幫助學生完成新經驗的建構.

數學知識掌握是一個積累過程，這個積累反映了數學思維的成果，也反映了數學經驗再創性的本質.數學創造的本質就是在已知的數學事實所可能造成的新組合之中作出正確的選擇[14].學生數學學習，其對信息的處理與加工是將自己已經掌握的事實應用于新的情境，通過新舊信息的選擇和不斷組合尋找解決問題的辦法.同時學習主體所關心的不僅僅是信息的利用，且還要建立一種用于辨認經過內外環境過濾的新信息的線索和辨認從記憶中檢索出來的與問題要求相吻合的舊信息的線索的模型（經驗性思維）.所以數學思維創造性的表現，就在于主體能夠從記憶的部分線索中有選擇地檢索出舊信息以及根據新的情況改變對這個信息的利用，靈活地對記憶中組織好的知識重新解釋和建構，其中體現了學生經驗性思維應用于新情境的轉化能力.數學教學應當讓學生不斷積累數學活動經驗，在問題解決和語言轉譯的學習活動中，來豐富或改組已有的經驗，增加經驗的意義并增長指導和控制后來經驗進程的能力（杜威）.

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