“不等式”起始課的教學與思考

☉江蘇省如東縣實驗中學　茅玲玲

“不等式”起始課的教學與思考

☉江蘇省如東縣實驗中學茅玲玲

筆者最近在一次教學觀摩活動中執教“不等式”起始課，受到觀摩教師的好評，本文展示該課的教學預設，并給出教后反思，與更多同行研討.

一、“不等式”起始課的教學預設

（一）學習目標

（1）類比方程學習不等式.

（2）以章前圖“甲、乙兩商場”的生活問題為主線，引導學生自主定義、探究、建構不等式新知.

（3）理解不等式學習“基本路徑”，為后續不等式具體內容的學習打好基礎.

（4）經歷情境問題的求解，感受模型思想，積累分類討論方法，思辨獨立思考與團隊合作.

（二）重點、難點

理解不等式學習的“基本路徑”，初步探索不等式的性質，會解簡單的一元一次不等式.

（三）學習過程

1.情境問題

引例：甲商場購買某種商品超過100元后，超出100元的部分按90%收費.

（1）若累計購物200元，則實際花費多少元？

（2）若實際花費190元，則累計購物多少元？

預設：

（1）實際收費100+0.9（200-100）=190（元）.

（2）100+0.9（x-100）=190，即0.9x+10=190，解得x= 200.

追問1：這是一元一次方程，定義是：含有一個未知數，并且未知數的次數為1的整式方程叫做一元一次方程.

追問2：怎樣解一元一次方程？

預設：去括號、移項、系數化為1.

移項的依據是什么？系數化為1的依據呢？

預設：等式的基本性質1、2.

例題：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費.顧客到哪家商場購物花費少？

預設：

針對三種情況進行討論.

（1）什么情況下，到甲商場購物花費少？

預設：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）.

（2）什么情況下，到乙商場購物花費少？

預設：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.

（3）什么情況下，到兩商場花費一樣？

預設：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.

引入不等式的學習、定義、舉例、探究性質、解法等.

2.新知學習

類比方程自主探究、建構不等式的概念、性質、解法等（板書規劃如下）.

學法指導：閱讀學生寫作.

“實驗發現”不等式的性質

七年級小陳

學習不等式的性質時，我模仿七年級上學期學習等式的性質的方法，也選了一些特殊數據進行“實驗”.

計算：

（1）5＞3，5+2________3+2，5-2________3-2；

（2）-1＜3，-1+2________3+2，-1-3________3-3；

（3）6＞2，6×5________2×5，6×（-5）________2×（-5）；

（4）-2＞-3，（-2）×6________3×6，（-2）×（-6）________3×（-6）.

于是，我發現：……

預設意圖：安排學生跟進計算、填空，猜想、發現不等式的性質，并質疑性質，從而引導學生發現不等式性質3；最后歸納出如下的不等式性質1～3.

不等式性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變.

不等式性質2：不等式兩邊乘（或除）以同一個正數，不等號的方向不變.

不等式性質3：不等式兩邊乘（或除）以同一個負數，不等號的方向改變.

符號表達：

不等式性質1：如果a＞b，那么a±c＞b±c.

進一步，安排學生舉例解簡單不等式.如x-7＞26，3x＜2x+1，-4x≥3等.

3.解決問題

情境問題繼續解決.分三種情況討論.

（1）累計購物不超過50元；

（2）累計購物超過50元而不超過100元；

（3）累計購物超過100元時，設累計購物x（x＞100）元，又可分三種情況進行討論.

①什么情況下，到甲商場購物花費少？

預設：100+0.9（x-100）＜50+0.95（x-50）通過數軸“數形結合”表示后，記作x＞150.

②什么情況下，到乙商場購物花費少？

預設：100+0.9（x-100）＞50+0.95（x-50）.通過數軸“數形結合”表示后，記作100＜x＜150.

③什么情況下，到兩商場花費一樣？

預設：100+0.9（x-100）=50+0.95（x-50）.當x=150時，到兩商場花費一樣.

4.課堂小結，變式設問

引導學生小結本課所學知識，進一步給出開課情境問題的變式問題，提供給學生課后繼續思考.

變式追問：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費.

設累計購物x元，

（1）當到兩商場花費一樣時，求x的取值范圍；

（2）當到甲商場花費較少時，求x的取值范圍；

（3）當到乙商場花費較少時，求x的取值范圍；

（4）……

預設意圖：滲透數學建模思想，體現分類討論思想，傳遞數學問題在數學發展過程中的推動作用（如費馬大定理歷經358年的證明過程，更重要的不是問題的最終攻克，還在于為了解決這個世紀難題，推動了數學諸多分支的發生和發展）.

二、教后反思

1.基于“整體觀”，追求“前后一致，邏輯連貫”的教學

章建躍在《數學教育之取勢明道優術》一文中指出：“教好數學”的內涵應該是“為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”.并進一步指出“在面對一個新的數學研究對象時，要有‘整體觀’，要先為學生構建研究的整體框架”.基于上述“整體觀”理念，我們從一個熟悉的情境問題出發，引導學生類比方程學習不等式；類比等式的性質發現不等式的性質；類比方程的解法學習不等式的解法等.目的就是向學生滲透“前后一致，邏輯連貫”的不等式學習.

2.基于“生活情境”，引導學生經歷“數學建模”的全過程

數學教學需要不斷追求數學的本質，包括數學是什么？為什么進行數學教學？價值定位是什么？數學育人，如何讓學生形成自己的數學素養？史寧中教授說，數學的基本思想包括抽象、建模、推理.如果把握不住就是“燒中段”（去頭、掐尾、燒中段）.我們開課階段安排的情境問題是一個熟悉的生活情境，整節課都是圍繞這個生活情境開展，其求解過程就是引導學生經歷了數學化、選擇工具、解決問題的數學建模過程.

1.章建躍，陳向蘭.數學教育之取勢明道優術［J］.數學通報，2014（10）.

2.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.