同課異構精彩紛呈，教學立意引人入勝
——以一元二次方程（第1課時）為例

☉江蘇省張家港市合興初級中學　高建東

同課異構精彩紛呈，教學立意引人入勝
——以一元二次方程（第1課時）為例

☉江蘇省張家港市合興初級中學高建東

筆者近期在一次初中數學教研活動中，觀摩了四位老師執教“一元二次方程（第1課時）”，總體感覺享受了同課異構的精彩紛呈，執教老師的教學風格、教學立意也值得反思回味，本文記錄兩種截然不同的教學設計，并嘗試解讀他們的教學立意，與同行研討.

一、“兩種”教學設計

（一）第一種教學設計

1.學習目標

（1）知道一元二次方程的概念，以及一元二次方程的項和系數的概念，會準確判斷一個方程是不是一元二次方程.

（2）會把一元二次方程化成一般形式，并能準確地說出它的項和系數.

（3）能運用一元二次方程的概念進行解題.

2.教學流程

情境引入：一個長方形的長比寬多2，面積是100，求長方形的長.設長方形的長為x，則所列方程為：_________.

這是一個什么方程呢？（小組討論，個別發言）

活動一：自學概念并進行簡單運用.

針對目標，自學課本內容，然后回答下列問題：

（1）什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？（請在課本上畫出來，并在關鍵詞下做上記號）

（2）在下列方程中，一元二次方程的是_________.（不是一元二次方程的需說明理由）

①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③（x-2）（x＋5）＝x2-1；④3x2-＝0.

（3）將方程2x2＝3（x-6）化為一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.（將過程展示在小黑板上，小組交換檢查展示內容，并用紅色粉筆批閱）

完成后小組內進行交流，特別是你還有什么疑惑？

思考：在寫一元二次方程的項和系數時要注意什么？

活動二：鞏固概念并利用概念解題.

（1）課本練習（完成后組長組織組內互相交流批改，找出錯誤原因.組長將其中錯誤的解題過程展示到小黑板上并用彩色粉筆改正，全班共享）.

（2）關于x的方程（m-1）x2-8x+5=0是一元二次方程，則m的取值范圍是_________.

（3）一個一元二次方程的未知數為y，二次項系數為-1、一次項系數為3、常數項為-6，請你寫出它的一般形式（.完成后小組進行交流）

課堂小結：本節課你學到了什么新的知識，有什么體會或收獲？還存在哪些疑惑？

3.檢測反饋

（1）將下列方程化為一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項.

①5x2-1＝4x；②4x2＝81；③4x（x＋2）＝25；④（3x-2）（x-1）＝8x-3.

（2）根據下列問題，列出關于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：

①4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；

②一個矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x；

③把長為1的木條分成兩段，使較短的一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長度x.

（二）第二種教學設計

1.教學目標

（1）了解一元二次方程的應用價值，掌握一元二次方程的定義及一般形式.

（2）建立解一元二次方程的基本思想、具體方法和理論依據的知識體系框架.

（3）激發自主探索學習的意識、興趣，培養自我獲取、構建、發展、超越的精神態度和能力.

2.教學流程

活動一：提出實際問題，激發研究的興趣，培養數學意識，引入課題.

（1）如何用一張長16厘米，寬12厘米的硬紙片做成一個底面積為96平方厘米的無蓋的長方體盒子？（由課本引例中的數據改編而成）

預設意圖：在紙片的四個角上剪去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就可以做成無蓋的紙盒.問題是要使做成的盒子的底面積必須是96平方厘米，因而實際問題轉化為數學問題，即是要求出截去的小正方形的邊長.

活動二：全班研究：如何用列方程的方法求解？

解析：設截去的小正方形的邊長為x厘米，則盒子的底面的長及寬分別為（16-2x）厘米和（12-2x）厘米.

由題意，得（16-2x）（12-2x）=96.

整理后，得x2-14x+24=0.

學生發現，方程x2-14x+24=0不是已學的一元一次方程，不會解.

活動三：教師給出一元一次方程3x-5=0，引導學生比較兩個方程的異同點：

①3x-5=0；②x2-14x+24=0.

相同點：都是整式方程，合并同類項后，兩方程都是只含一個未知數.

不同點：新方程中，未知數的最高次數為2，而一元一次方程中未知數的最高次數是1.

通過比較，學生由學習一元一次方程的經驗，自覺地給新方程命名為“一元二次方程”，明確了本節課研究的課題.

活動四：引導學生由概括一元一次方程的定義和一般形式的經驗，自主地概括一元二次方程的定義及一般形式.

教師根據學生的學習水平，編制練習題，引導學生練習和討論.

（1）關于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？說明判斷的依據（意在突出一元二次方程一般形式中的條件“x≠0”，強化對一元二次方程的定義的認識）.

（2）將下列方程化成一元二次方程的一般形式后，說出各項及二次項、一次項的系數：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5→x2-4=0；①

3x（x-1）=2（x+2）-4→3x2-5x=0；②

（x+2）（x-4）=7→x2-2x-15=0.③

活動五：引導學生探討解方程①、②、③的基本思想和具體方法.

（1）研究由已有知識能否求得方程①x2-4=0的解.

（2）小組研究方程②、③的解法.

（3）教師引導學生進一步研究、概括解一元二次方程的基本思想：降次，轉化為一元一次方程來解.降次方法：直接開平方法，因式分解法.

教師提出新的研究課題：方程x2-2x-15=0可否通過適當變形，運用直接開平方法來解？

活動六：回到開課情境，請同學求出引例做無蓋盒子需要在四個角截去的小正方形的邊長.

學生選用因式分解法求得了問題的解，即截去的小正方形的邊長為2厘米.

課堂小結：師生共同回顧學習過程，總結學習體驗.

對照板書（見圖1），小結本節課研究的知識結構.

圖1

二、兩點思考

1.“尊重”教材，穩扎穩打，有序推進

我們都知道，教材不同于一般的數學教輔資料，“教材的結構體系、內容順序是反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的.”可以發現，第一種設計遵循了教材上的進度安排，穩扎穩打，有序推進一元二次方程的第1課時，主要精力在一元二次方程的定義、概念、識別等訓練上，不急于向前推進，追求了夯實基礎，做好充足的準備工作之后再“迎上去”，開始探究和發現一元二次方程的解法.

2.理解數學，整體建構，立意高遠

近讀專業刊物發現，章建躍教授近年來倡導“三個理解”得到一線教師的積極響應，并積極踐行.特別是作為“三個理解”之一的“理解數學”也得到2013年弗萊登塔爾獎得主梁貫成教授的積極回應，比如文2，梁教授在回應數學教師專業發展時就曾指出：“對數學知識的理解是很重要的.如果你自己的數學根底不好的話，教學效果肯定不會很好.”可以發現，上文中的“第二種教學設計”就站在了理解數學的高度，整體建構一元二次方程的起始課，追求了高遠的立意，引導學生經歷了一元二次方程的歸納定義、解法探究、問題解決等全過程，雖然涉及知識點眾多、方法與思想多樣，但是全課又顯得自然生長，是一節引導學生“探索未知世界”的好課，值得我們玩味、深思.

1.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3-5）.

2.陳漢君，童莉，佘文娟，黃倩.儒家文化視角下華人數學教育的發展——專訪2013年弗萊登塔爾獎得主梁貫成教授［J］.數學教育學報，2014（3）.

3.【日】佐滕學.21世紀學校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

4.王光明，廖晶.“探索世界”范式及其對數學教育的啟示——ICME12獲獎報告述評［J］.課程·教材·教法，2013（12）.

5.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.