從等式基本性質2表述異同說起

☉山東省日照市新營中學　田獻增

☉上海教育出版社劉祖希

從等式基本性質2表述異同說起

☉山東省日照市新營中學田獻增①

☉上海教育出版社劉祖希

①田獻增（1963-），男，山東日照人，DYQ學習策略創(chuàng)始人，中學高級教師，主要從事教育教學研究.

比較國內11個版本義務教育數學教科書中等式基本性質2的表述形式，可以發(fā)現：“等式兩邊同時乘同一個數”時，這個數是否可以為0，出現了兩種不同的觀點.調查發(fā)現，這一現象的出現，對教師教學和學生學習帶來了思想的混亂，同時也影響了相關教科書自身體系的完備性.

一、蘇科版與人教版等11個版本教科書對等式基本性質2表述形式的比較

1.蘇科版教科書中的表述形式

等式兩邊都乘（或除以）同一個不等于0的數，所得結果仍是等式.（鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F，江蘇科學技術出版社數學七年級上冊，2012年6月，簡稱蘇科版）

顯然，這里認為：等式基本性質2中等式兩邊都乘同一個數，條件是“這個數不能等于0”，并且“所得結果”中“結果”的含義是指含有等號的新的數學表達式.

2.人教版等10個版本教科書中的表述形式

（1）人教版教科書中的表述形式.

等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等.（人民教育出版社數學七年級上冊，2010年5月，簡稱人教版）

首先，從等式基本性質2的表述中可以看出，等式兩邊都乘同一個數，條件是這個數是任意數，就是說“這個數可以等于0”.這與蘇科版的觀點是不一致的.

其次，“結果仍相等”中的“結果”是指等號左、右兩邊的兩個“新”的代數式（與蘇科版“所得結果”中的“結果”含義不一致.此問題與本文無關，不作討論）.同時“結果仍相等”中的“相等”，含有強調兩個代數式的值“一定”相等之意.

（2）華師大版等8個版本教科書中的表述形式.

①等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式（.華東師范大學出版社義務教育教科書數學七年級下冊，2012年7月，簡稱華師大版）

②等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式（.北京師范大學出版社教科書數學七年級上冊，2013年3月）

③等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式（.山東教育出版社義務教科書數學六年級上冊，2012年7月）

④等式兩邊都乘（或除以）同一個數（或式）（除數或除式不能為0），所得結果仍是等式（.湖南教育出版社義務教育教科書數學七年級上冊，2012年6月）

⑤等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式（.河北教育出版社教科書數學七年級上冊，2012年7月）

⑥等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式（.上海科學技術教育出版社義務教育教科書數學七年級上冊，2012年6月）

⑦等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式（.青島出版社義務教育教科書數學七年級上冊，2012年6月）

⑧等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式（.浙江教育出版社義務教育教科書數學七年級上冊，2012年7月）

比較以上8個版本教科書對等式性質2的表述形式可以看出，其共同點如下所示.

①等式兩邊都乘同一個數（或式），這個數（或式）可以等于0.這一觀點與人教版觀點是一致的，與蘇科版觀點是不同的.

②“所得結果”中的“結果”是指含有等號的新的數學表達式.因為“等式兩邊都乘同一個數（或式）”時，這個數（或式）的限制條件差異，導致這一觀點與蘇科版表述形式相同，但本質不同；與人教版表述形式不同，本質相同.

（3）京教版教科書表述形式分析.

如果a=b，c為任意數，那么ac=bc；如果a=b，c≠0，那么a/c=b/c.（北京教育科學院、北京出版集團公司義務教育教科書數學七年級上冊，2013年6月））

這里的等式性質2是用符號表述的，它與華師大版等8個版本教科書表述形式不同，但本質是相同的.

2.結論與思考

通過上述比較可以發(fā)現以下幾點.

（1）蘇科版教科書認為：在等式基本性質2中，等式兩邊同時乘一個數，這個數不能是0；人教版及華師大版等10個版本教科書認為：這個數可以是0.顯然，這是兩種對立的觀點.

（2）華師大版等8個版本教科書中的結論（所得結果仍是等式）與人教版教科書中的結論（結果仍相等），盡管表述形式不同，但由于變形條件一樣，可以推斷，結論的本質是一樣的，即：都是指等號兩邊的兩個代數式的值“一定”相等.

（3）因為蘇科版等式基本性質2中的條件要求乘同一個數時，“這個數不能是0”，所以在這里，不但不能確認“所得結果仍是等式”中，等號兩邊的“兩個代數式的值”一定相等.相反地，可以確認等號兩邊的“兩個代數式的值”不一定相等.理由是假如該教科書意在強調等號兩邊的兩個代數式的值“一定”相等，就可以像人教版等10個版本教科書一樣，無需在“等式兩邊同時乘一個數”時，排除數字0了.當等式兩邊同時乘0時，等號兩邊的“兩個代數式的值”都是0，這是一定相等的.

為此筆者思考：為什么同一個數學原理——等式基本性質2，在不同的教科書中變形的條件不同，問題的根源是什么？

二、“等式基本性質”的含義以及表述形式差異形成的原因

數學概念的性質是指從數學概念直接推導得出的運算法則或者運算公式等延伸的知識，數學的概念和性質具有緊密的銜接關系.因此追溯上述教科書對等式基本性質2表述出現觀點差異的原因，還需從什么是等式說起.

1.等式的定義

國家新課程標準頒布實施后，義務教育教科書把等式作為一個不加定義的數學概念.盡管如此，但不是說它沒有確定的含義.

（1）等式的定義及其含義.

1989年8月第2版人民教育出版社初級中學代數第120頁中對等式定義是：“…（像這種）表示相等關系的式子叫做等式.”

顯然，這里沒有明確等號兩邊的數值“一定”相等，即等號左、右兩邊的值不一定相等.其內涵僅是含有等號的數學表達式.

事實上，“等式（equality）是數學的基本概念之一，指表達相等關系的式子.在等式中通常用‘=’把認為相等的兩個對象連接起來［1］”這里僅指把“認為”相等但不一定相等的兩個對象連接起來.

我們知道，常見的用“等號”連接起來的式子，有以下幾種，如：“1+2=3①”“a+b=b+a②”“x-6=13③”“x2+1=2④”“3+1=0⑤”“m2+1=0⑥”“=0⑦”等.

一般地，像①②這樣的等式，稱為恒等式.恒等式是“一種常見的等式，表示兩個解析式對所含變數字母的全部取值都相等的等式［3］”

因為等式③只有在x=19這個條件下才成立，等式④也只有在x=1或x=-1的條件下才能成立，所以像③④這樣的在一定條件下成立的等式稱為條件等式.即：“若一個等式在所討論的范圍內僅當滿足某些條件時才能成立［2］”，這個等式就是條件等式.

而等式⑤中，顯然3+1=4，而4≠0，等式⑥中也不存在這樣的實數m使m2+1=0，同樣地，等式⑦中也不存在這樣的實數x使=0，所以我們把像⑤⑥⑦這樣的等式稱為矛盾等式.

由此可見，等式的外延是指恒等式（identity）條件等式（conditionalequality）或矛盾等式（contradictoryequality）等等式［3］

（2）從方程的定義看等式的含義.

“方程是含有未知數的等式.”（人民教育出版社義務教育教科書數學7年級上冊，2012年6月）“方程（equation）亦稱方程式.數學的一個重要概念和研究對象.一般只含有未知數或變數的等式［4］”，在初等代數中，只論代數方程，含有未知數的代數式稱為方程.按方程解的情況常把方程分為三類，即：條件方程、矛盾方程和恒等方程［5］.從以上可以看出：方程是等式，條件方程屬于條件等式，矛盾方程屬于矛盾等式，恒等方程屬于恒等式.

因此，從方程的定義也可以看出：等式的定義是一個側重于形式化的定義，其內涵是含有“等號”，其等號兩邊數值是不一定相等的.或者說方程概念對應的等式的外延是指恒等式、條件等式或矛盾等式.

反過來，若等式的本質要求“等號兩邊數值一定”相等，數學內部體系會產生如下邏輯錯誤.

因為方程是等式，等式必須滿足“等號兩邊數值一定相等”，所以方程必須滿足等號兩邊數值相等.又因為無解的方程或矛盾方程等號兩邊數值一定不相等，所以無解的方程不是等式.因為無解的方程不是等式，所以無解的方程不是方程.

（3）對11個版本教科書等式基本性質2中等式的屬性比較.

由上可知，等式基本性質2中前提中的等式外延是：恒等式或條件等式或矛盾等式.結論中等式的外延如下所示.

①蘇科版教科書因在表述等式兩邊同時乘同一個數時，強調這個數不能是0，因此“所得結果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式或條件等式或矛盾等式”.即利用等式基本性質2對等式變形后，變形前后等式屬性變化如表1所示.

表1

②人教版教科書中的“結果仍相等”對應的等式外延是“恒等式”.

③華師大版等8版本教科書中“所得結果仍是等式”里的“等式”外延是“恒等式”.

④京教版同③.

以上10個版本利用等式基本性質2對等式變形后，變形前后等式屬性變化如表2所示.

表2

2.“等式基本性質”的意義與等式基本性質2表述差異帶來的困惑

（1）等式基本性質2與方程同解原理的比較.

國家義務教育課程標準實施后，為了降低數學課程的難度，在解方程中，將過去數學教科書中的“方程同解原理”或“遍乘定理”以“等式基本性質”代替，“等式基本性質”在解方程中的作用相當于“方程同解原理”或“遍乘定理”.

從數學體系上說，等式基本性質是“方程同解原理”或“遍乘定理”的依據.具體地說，等式基本性質2是方程同解原理2的依據.方程同解原理2“方程的兩邊都乘以（或除以）不等于0的同一個數，所得的方程與原方程是同解方程.”（見人民教育出版社初級中學代數1989年8月第2版第123頁）顯然，與等式基本性質2變形條件不一致.或者說，等式基本性質2是遍乘定理的依據.“如果h（x）≠0，且h（x）對方程f（x）=g（x）的未知數的一切可能值都有意義，那么與方程f（x）·h（x）=g（x）·h（x）同解.因此，方程的兩邊都乘以（或者都除以）不等于0的同一個數，所得的方程與原方程是同解方程.”［6］這里同樣與等式基本性質2變形條件不一致.

“方程同解原理2”或“遍乘定理”都要求：方程的兩邊都乘以同一個數或式時，這個數或式都不能等于0.目的是保證變形前后的方程本質屬性不變.如表3所示.

表3

當方程（等式）的兩邊都乘0時，所得新方程與原方程不同解，改變了方程的本質屬性，條件方程（等式）、矛盾方程（等式）都變?yōu)楹愕确匠蹋ǖ仁剑┝?如表4所示.

表4

比較上述分析可知，方程是等式，方程應滿足等式的性質，作用等同于“方程同解原理2”或“遍乘定理”，本質應該與“方程同解原理的2”或“遍乘原理”是一致的.

（2）等式基本性質對等式變形的意義.

等式基本性質屬于數學原理范疇，它是等式恒等變形或推理的依據.等式基本性質這一數學原理表述的正確與否，直接關系到利用等式基本性質進行等式變形或經推理所得結論正確與否.具體地說，既關系到解方程的正確與否，也關系到解決相關數學問題時，所做的等式變形后所得結論的正確與否.

利用等式基本性質將等式變形或推理時，像將一個條件等式或矛盾等式變形后得到一個恒等式是毫無意義的（如表2）.利用等式基本性質將等式變形或推理，必須保證變形前后等式的“屬性”不變，即原來是矛盾等式（條件等式或恒等式），變形后還應該是矛盾等式（條件等式或恒等式）（如表1），并且對于條件等式來說，變形前后所得等式的條件應該完全相同.

具體到方程中，將一個條件方程或矛盾方程變形后得到一個恒方程是毫無意義的（如表4）.也就是說，利用等式基本性質將方程變形或推理，必須保證變形前后方程的“屬性”不變，即原來是矛盾方程（條件方程或恒方程），變形后還應該是矛盾方程（條件方程或恒方程）（如表3），并且對于條件方程來說，變形前后所得方程的條件應該完全相同，也就是說變形前后所得方程的解應該完全相同.這也是方程同解原理的意義所在.

三、等式基本性質2表述差異帶來的困惑

由以上分析可知：類似于“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式”的表述形式，因為乘以一個數時，這個數沒有排除0，導致前后兩個“等式”所表示的外延縮小，從邏輯的角度看，犯了“偷換概念”的錯誤.

1.對數學體系的影響

因為等式基本性質2“等式兩邊同時乘同一個數”時，這個數為0，會犯偷換概念的錯誤，從而導致數學自身體系出現了像類似上述問題中的“無解的方程不是方程”的邏輯錯誤或矛盾.

這一現象的出現是否是課程標準或課改能容忍的或允許的，在此無從考究.即使課程標準或課改對教材體系或邏輯體系沒有目標要求，但作為數學自身體系，也不應出現這樣的邏輯錯誤或矛盾.原因是數學本身就擔負著培養(yǎng)學生思維能力或邏輯思維能力的任務.

2.對數學教學和學習的潛在影響

像上面介紹的因為“等式兩邊同時乘以同一個數，這個數可以是0”而引發(fā)的邏輯問題，盡管在數學中“隱蔽”性很深，短時間內對學生學習造成的影響也不明顯，但從長遠看，對學生思維能力的培養(yǎng)有負面影響是毫無置疑的.對教師教學帶來的不便也是顯然的.筆者通過不全面調查獲知，教師對此理解非常混亂.特別是在2009年3月底，在日照市新營中學楊老師執(zhí)教的公開課（課題：人教版分式方程第一節(jié)）后的評課過程中，老師們針對課上問題“解分式方程為何要檢驗”，只能用“分母不能是0”來解釋.筆者認為這個解釋是勉強的.也與維果茨基最近發(fā)展區(qū)理論不一致.

但是若用相應教科書體系中的數學原理“等式基本性質2”就無法解釋清楚，甚至出現矛盾.原因是解分式方程過程中的第一步是“方程兩邊同時乘以最簡公分母”，按相應教科書體系中的“等式基本性質2”理解，“方程兩邊同時乘以最簡公分母，這個最簡公分母可以是0.既然可以是0，就沒有違背該數學教科書體系中的數學原理等式的基本性質2，后面的變形、計算步驟只要不違背其他數學原理，計算正確，所得結果應該是“真”的，無需進行檢驗.否則，這樣就會出現如下事實：如果說沒有違背數學原理的解題過程也需要檢驗，以此類推，那么解一元一次方程、一元二次方程同樣是需要檢驗的.事實上，數學教科書中只強調解分式方程必須檢驗，而解一元一次方程、一元二次方程時不需檢驗.

沒有違背數學原理的數學解題過程要檢驗不是數學的本意.數學活動過程中之所以要檢驗，只是因為解題過程中出現了違背數學原理的解題步驟，并且這里的“檢驗”是彌補前面違背數學原理“錯誤”的過程.

四、建議對“等式基本性質2”表述加以規(guī)范統(tǒng)一

綜上所述，建議數學中對等式基本性質2表述予以統(tǒng)一，即：“等式兩邊都乘（或除以）同一個不為0的數或式，所得結果仍是等式”，達到完善數學自身體系的目的.

1.數學辭海［M］．山西教育出版社，中國科學技術出版社，東南大學出版社，2006.