一道模擬壓軸題的“高仿”與“高度”

☉江蘇省揚州市江都區楊莊中學　肖世兵

·江蘇省揚州市江都區李維奇名師工作室·

一道模擬壓軸題的“高仿”與“高度”

☉江蘇省揚州市江都區楊莊中學肖世兵

2014年4月，筆者有幸為江都區命制了一份中考模擬試卷.全卷的第18題高仿于揚州市2013年中考試題第18題（填空壓軸題）.從閱卷情況來看，此題“高三度”（即高效度、高信度、高區分度），是一道“高度”成功的改編試題.下面結合第18題的命制過程，談談試題何來高仿，何以高度，以期對大家的命題有所幫助.

一、試題與解答

1.試題呈現

如圖1，在Rt△ABC中，∠CAB= 90°，AB=AC=2，點D、E是斜邊BC的三等分點，點F是AB的中點，則AD+EF= ________.

圖1

2.試題解答

解法1：先求出EF（或AD），再利用中位線定理求出AD（或EF）.

如圖2，過點E作EH⊥AB于H.

圖2

解法2：如圖3，將等腰三角形補成正方形，延長AD交正方形的邊于H.可利用全等證明CH=BF=1，DH= EF.在Rt△ACH中，由勾股定理可得AH=

圖3

解法3：如圖4，分別取DE、AF的中點M、N，連接MF、MN.易得△MNF是直角三角形，且MF=1，NF=，所以MN=，所以AD+EF=

圖4

解法4：如圖5，延長BA到點M，使得AM=AF，連接CM.

圖5

二、何來高仿

1.原型說明

試題的命制在選材上通常取材于課本中的例、習題，中、高考試題，競賽題等.本題的原型是揚州市2013年中考試題第18題（填空題的壓軸題）.

原型：（2013·揚州）如圖6，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點，M、N為上兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=_________.

圖6

本題主要考查初中數學中圓的垂徑定理，解直角三角形的核心知識，以及轉化思想.其解法靈活多樣、解法1是整體求解策略，如圖7，巧妙利用圓的中心對稱性，將FN繞點O旋轉180°后，與EM形成一條完整的弦，從而將陌生的“EM+FN”的計算轉化為熟悉的圓內弦MG的計算，靈活地考查了轉化能力和幾何直觀.解法2是直接求解策略，即直接求解ME、NF的長.從圓的視角考慮，可構造垂徑定理求解；從三角形的視角考慮，可通過作高線，轉化為解直角三角形求解，如圖8.

圖7

圖8

2.原型命制技法

此題是揚州中考試題中近年來不多見的創新型試題，在傳統的基礎上，有所突破，求變求新.

從命制技術角度看，本題運用了圖形變換思想，在圓的相交弦基本圖形上，進行了分離、變換（旋轉）、組合的創新技術處理.處理后的試題，既有常規題、基礎題的影子，又給人耳目一新的感覺.

演變過程大致如下：

圖9

值得借鑒之處：本題在核心知識處立意，巧用旋轉，化常規為新穎，且解法靈活多樣，既有巧妙轉化的技法，又有常規通解通法，不失為一道考查學生能力的好題.

3.高仿改編

在學習研究中考題的命制之后，筆者深感此命制方法的獨妙之處，遂類比此法，如法炮制了一道試題.

高仿試題背景：原題是以圓為背景，圓既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.正方形是完美的四邊形，它既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.基于這樣的類比，筆者將原題中的圓改換成正方形，同時將圓中的直徑改換為正方形的對角線，將圓中兩條相交弦改換為正方形中的兩條相交的線段.

高仿圖形變換：原題能實現化陳為新，最獨具匠心的是巧妙運用了圖形變換（即分離—旋轉—組合）.運用這一命題技法，筆者將正方形的背景也經歷分離—旋轉—組合的演變，演變過程如下：

圖10

考慮變化后的題圖與正方形的關聯并不大，故在原有變換的基礎上，通過再隱去正方形的另一半，使試題走向新穎、簡潔.此時，正方形的背景最終以等腰直角三角形的知識背景呈現，如此處理也體現出正方形與等腰直角三角知識的內在聯系.同時，也加大了試題的難度.如果選用圖形變換思想解題的話，首先，要具備等腰直角三角形與正方形內在聯系的知識儲備；其次，需要具備良好的圖形直觀能力和圖形變換思想.

條件賦值成題：構圖是本題成形的關鍵.考慮本題意在考查學生分析問題、轉化問題的能力，力求少算多思，因此，在圖形上，正方形內的另一條線段取為一邊中點和頂點的連線，利用相似知識，經過圖形變換后，不難得出對角線上的兩點恰好是對角線的三等分點；在數值上，以簡單易算為原則，取值為“AB=AC=2”.最后，根據圖形，組織語言，敘述成題.

本題綜合了初中幾何的基礎知識、核心知識（勾股定理、中位線定理、相似三角形的性質、等腰直角三角形的性質等），給學生提供了良好的思維發散的空間，有助于創新能力的培養，是一道“高三度”的改編題.

三、何以高度

縱觀此題，其具有良好的信度、效度和區分度，主要得益于以下幾點.

首先，題圖變化大.改編后的試題，雖源于中考題，且問法都是求兩條線段的和，但改編后的題圖與原題圖相去甚遠，即使有學生做過原題，如不領會解題本質，解決此題依然困難.

其次，條件變化大.雖然改編前后試題中都出現了三等分點這一條件，但原題是通過角度來確定兩線段的位置關系和大小關系，而改編后的試題中，當“D、E是斜邊BC的三等分點”時，由圖形變換可確定此時“點F是AB的中點”.改編后試題通過等分點確定兩線段的位置關系和大小關系.

最后，解法區別大.改編試題的解法1利用解直角三角形的知識，構造直角三角形分別直接求解，這是通解通法，與原中考題有共同之處.而解法2雖可以利用原中考題的旋轉變換整體求解，但需要通過補形后，方能與中考題產生關聯，并不能直接求得，難度相比之前有所增大.改編后的中點條件會使學生聯想到中位線、相似等知識點，由此會想出除中考題解法之外的解法3和解法4，其中，解法4巧借等分構造相似求解，是在試卷講評課上學生提出的解法.

四、一點感悟

優秀的中考試題，是命題創作的源泉.一方面，許多中考試題是命題者精心打磨的，原創度高，創新性強，同時，它們還有一些再挖掘、再創造的空間.仿照優秀的中考試題，變式引申，既可以挖掘原題的價值，揣度命題者的意圖和想法，同時，又可以拓寬命題視角，提升命題能力.

眾所周知，為了確保試題的信度、效度和區分度，在用于大范圍考試的試題命制中時，壓軸題是必須要原創的.如何使改編題也具有“高三度”？

幾何改編試題可以從兩個方面考慮.一是形似神離，即取原題的幾何圖形背景，在縱向上挖掘圖形中新的性質、新的結論，力求在考查的內容、方向上有所突破.二是神似形離，即取原題中命制的技法、解題思想方法等，在橫向上，改換圖形，觸類旁通，以求在不同類型的問題中，尋求相同的解題本質.在仿題時，不是對試題形式的小改小變，更多的要關注試題的數學模型、數學本質和內在聯系.這樣仿照改編的試題，才具有生命力，才會賦予原題更多的內涵與外延.題在書外，根在書中.在改編試題時，是借而不是抄，是仿而不是搬，力求創新，不留痕跡，雖是“高仿”，卻似原創，不失“高度”.

1.夏再迅.試題改編需要理解深層結構——由一道幾何考題的求解說起［J］.中學數學（下），2013（12）.

2.肖世兵.一道中考原創填空壓軸題的命制與感悟［J］.中學數學（下），2013（5）.

3.季麗娟.研究、模仿、創新——淺議中考模擬試卷命制的三部曲［J］.中學數學（下），2013（5）.