蘊內涵重能力促發展
——一道中考壓軸題的亮點賞析及教學啟示

☉江蘇省邳州市運河中學初中部　許　彬

蘊內涵重能力促發展
——一道中考壓軸題的亮點賞析及教學啟示

☉江蘇省邳州市運河中學初中部許彬

一、試題呈現

題目（2014年徐州卷第27題）如圖1，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數y＝圖像的兩支上，且PB⊥x軸于點C，PA⊥y軸于點D，AB分別與x軸、y軸相交于點E、F，已知B（1，3）.

（1）k＝_________；

（2）試說明AE＝BF；

圖1

二、試題探析

縱觀近幾年徐州市中考試卷不難發現，圍繞反比例函數的圖像及其性質考查的題目為數不少.如2012年卷第13題“已知交點（1，2），求反比例函數中k的值”；壓軸題第28題“圓與反比例函數”綜合應用；2013年卷第15題“反比例函數圖像經過點（1，-2），求k”；2014年卷第27題更是將直角三角形與反比例函數圖像結合起來，依托反比例函數圖像的性質，綜合考查平行四邊形、相似三角形等諸多初中重點知識.解決本題首先要從“B（1，3）”著手，根據反比例圖像上的點的坐標，利用待定系數法求k.反比例函數問題中的系數k往往是解決問題的突破口、入手點，當然此題也不例外.我們可以借助問題（1）中的k和直角三角形的邊與坐標軸垂直設出P點坐標，從而表示出點A的坐標，利用數形結合表示較關鍵的線段PA、PB等，再靈活運用比例線段推導出平行，通過添加輔助線便順利解決問題（2）、（3）.該題以數貫穿始末，再以形助數、數形結合，在對反比例函數等知識的考查中具有很強的綜合性、典型性.

三、亮點賞析

亮點1：考點豐富，凸顯試題引領價值

本題是一道以反比例函數為背景的綜合性試題，首先模擬數學活動的形式“將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限”，再結合反比例函數圖像的幾何意義，考點豐富，主要涉及點的坐標、反比例函數圖像及性質、一次函數、待定系數、相似三角形、平行線、直角三角形、平行四邊形、分式方程等.像函數、相似三角形知識均是初中數學重點學習內容，本題針對重點知識重點考查，體現中考對數學學習的導向意義.問題（1），依據題干中“已知B（1，3），求k的值”，這與蘇科版教材八（下）“反比例函數的圖像與性質”中的例1相似度較高，考生解決問題（1）時如同面對熟悉的課本，倍感親切.雖是壓軸題，但考查起點低，容易上手，有利于增強考生的信心，能激發考生思維的積極性，對解決問題（2）（3）十分有利.本題依據課標靈活巧妙地考查關鍵性考點，能面向全體考生體現了數學課程的基礎性；取自教材而高于教材，又體現了數學課程的發展性.本題以標取“材”，以本為“本”，試題考查的知識點豐富，凸顯了中考對課堂教學、學生學習“有標可依，有章可循”的引領價值.

亮點2：瞄準“四基”，凸顯課改方向

《課標（2011年版）》將“雙基”發展為“四基”，即“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”.初中數學課堂教學也因此進行了改革與提升，而作為檢測學業水平的中考更要順應課改需求.本題較好地實現了對“四基”的合理考查，凸顯了數學課堂的改革方向.其中考查的基礎知識有：點的坐標、反比例函數圖像、相似三角形、平行四邊形判定、分式方程.基本技能有：根據點的坐標求k的值、圖形的分割、由比例線段確定平行線、平行四邊形判定、列（解）方程等.數學思想是數學知識的靈魂，本題同樣注重考查數學思想，如：函數思想、建模思想、轉化思想、數形結合思想等.當解題要求你必須將所掌握的知識巧妙組合時，這就需要基本的數學活動經驗發揮作用，本題考查的基本活動經驗有：數學實驗活動、結合圖形運用“幾何直觀”思考、通過探索和作圖解決問題等.

亮點3：思路多元，彰顯個性解題需求

本題解題思路較廣，有多種解法供考生選擇，能充分考慮考生的個性解題需求，彰顯試題人性化、多元化.其中既有考生均可選擇的通性通法，如問題（2）的方法1或2，以及問題（3）的方法1；也有供思維靈活的考生選擇技巧性的解法，如問題（2）的方法3、問題（3）的方法2，較好地實現了該題的效度和區分度.

問題（2）的解法（由DC∥AB即可得AE=BF）簡述如下：

圖2

方法1：（相似法）如圖2，根據題意，設P（1，m）（m＜0），則D（0，m），），C（1，0）.可得PA=， PB=3-m，PD=1，PC=-m.因為=，進而△PAB∽△PDC，從而可得DC∥AB.

方法2：（一次函數系數法）如圖2，設P（1，m）（m＜0），則D（0，m），C（1，0）.設直線AB的解析式為y1= k1x+b1（k1≠0），將A、B的坐標帶入得k1=-m.同理，設直線CD的解析式為y2=k2x+b2（k2≠0），將C、D的坐標帶入得k2=-m.由k1=k2得直線DC∥AB.

圖3

方法3：（等積法）如圖3，連接AC、BD.因為S△ACD=S△AOD，S△BCD=S△BOC，根據兩直線之間的距離相等可推出DC∥AB.

問題（3）當四邊形ABCD的面積為21時，求點P的坐標時，解題方法

4同樣靈活.

四邊形ABCD△PAB△PCD×（3-m）-（-m）×1=，所以m=-2，即P（1，-2）.

方法2：（轉化法）將四邊形面積轉化為三角形面積解決，思路簡明.如圖4，作BQ⊥y軸，則QF=OD，所以FD=OQ=3，因此S△ADF=S四邊形ABCD-S四邊形BFCD=，即，所以m=-2，有P（1，-2）.

圖4

亮點4：能力立意，關注學生終身發展

本題注重考查學生學習數學和應用數學知識解決問題的過程，特別是重要的數學理念、思想方法、基礎知識和常用技巧的運用，而沒有過分地追求知識點的覆蓋面.問題（1）是求k的值，屬最基礎的知識，因此考生得分率較高.然而問題（2）、（3）使試題難度急轉直上，對考生各方面能力要求較高，解題思路活而不難，顯然是為了把該題定位為壓軸題.試題以雙曲線中k的不變性引導探究，立意于考生能力的考查，要求考生具有較強的“幾何直觀”能力、分析問題能力、知識綜合能力、合情推理能力、圖形分割能力、方程建模能力、問題轉化能力、數形結合能力等.命題者設置這道綜合題的意圖就是要告訴教者，在數學教學中不能只強調做題，要注重開發學生的各種數學能力，要立足各種能力的提升，要關注學生的終身發展.

四、對初中數學教學的啟示

1.準確分析數學問題的本質

“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”章建躍博士也撰文說：“要大力提高概念教學的水平，在核心概念的教學上要做到‘不惜時，不惜力’.”可見，數學問題由數學概念、公式、定理、性質等構成，而學生大量做題其本質就是想靈活使用數學概念、公式等解決數學問題，假如數學教學只是一味地讓學生做題而不洞察問題本質，這樣只會浪費大量寶貴時間.例如本題中反比例函數中的k值是解決問題的本質，以上列舉的多種解法幾乎都是利用了反比例函數概念中k值的幾何意義，即k值一定時由反比例函數圖像上的點向坐標軸作矩形或直角三角形的面積始終不變.由此可見，只有準確地分析數學問題的本質，才能有效提高分析問題、發現問題、解決問題的效率，也能有創造性的解題方法.

2.教學要堅持數學思想的培養

日本著名數學家米山國藏說：“作為知識的數學出校門不到兩年就忘記了，唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想……這些隨時隨地地發生作用，使人終身受益.”作為授課教師不應該單純地教學生知識，而應當以數學知識、數學問題為載體，向他們傳授數學思想.數學思想是隱含在數學知識的形成、發展及應用的過程中的，因此，教師若想提升學生的數學素養，就要在數學教學中準確把握數學思想方法，重點引導學生從數學思想的角度分析問題、解決問題.本題作為2014年徐州卷的壓軸題，諸如：函數思想、建模思想、轉化思想、數形結合思想等均得到很好的體現，能從數學思想的高度考慮學生的長遠發展，值得稱贊.

3.努力實現基礎與能力并重

《課標（2011年版）》對學生的數學學習提出了“四基”要求，而“四基”與數學教學的關系被張奠宙先生描述為：“數學教學是數學活動的教學，學生通過無處不在的基本數學活動獲得的經驗，與數學基本知識、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數學學習過程中.”同時，數學是一門思維性較強的學科，數學教學就要通過“增強發現問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”來發展提高學生的思維能力.此題既“關注基礎”，又有“能力立意”，兩者并重的作用就是不斷地實現數學問題化難為易、化繁為簡，從而順利解決問題.

4.積極踐行“學為中心”理念

在有效的教學活動中，學生才是教學的中心、學習的主體，教師只是學習的組織者、引導者，即“學為中心”理念.徐州市一直致力于“學講”課堂模式，即通過教師指導下的全程自主學習，落實學生學習的主體地位，以自主學、合作學、質疑學、“講出來”、“教別人”的學習方式，邊學邊講，調動學生主動、自主學習的積極性，提高學生課堂教學的參與度、問題探討的深度，著力培訓學習方法，提高學生探索問題、解決問題的能力，從而形成個人能力，提高教學的有效性.“學講”模式正是踐行了“學為中心”的教學理念，作為一線教師要銳意革新，甘當課堂改革的踐行者，努力推進“學講”課堂高效實施，爭取早日實現地區教育的現代化.

1.邢成云.類比引領問題驅動方法促成［J］.中學數學（下），2014（1）.

2.許彬.挖掘教材資源凸顯試題導向［J］.中學數學（下），2014（6）.

3.馬敏，孫朝仁.中考試題的命題思想、特點及教學啟示［J］.中國數學教育（初中版），2012（7-8）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.