以函數典型題觀中考

☉江蘇省南通市通州區川港中學　張建群

以函數典型題觀中考

☉江蘇省南通市通州區川港中學張建群

本文將以綜合題為例，旨在拋磚引玉，談談與函數相關的綜合題的解題方法以及相關題目的分析方法.

一、一次函數常見綜合題

圖1

例1有甲、乙兩個容器，均裝有進水管和出水管.初始時，兩個容器同時只開進水管，8分鐘時，甲容器關閉進水管，打開出水管；到16分鐘時，再打開進水管，此時進水管與出水管同時打開，既進水又出水；到28分鐘時，同時關閉兩個容器中的所有水管.兩容器中的各種水管每分鐘的進水量和出水量均為常數，容器內的水量y（升）與時間x（分）之間的函數關系式如圖1所示，解答下列問題.

（1）甲容器的進水管每分鐘進水______升，出水管每分鐘出水______升.

（2）求乙容器內的水量y與時間x的函數關系式.

（3）求從初始時刻到兩容器最后一次水量相等時所需要的時間.

分析：這是一道典型的考查一次函數的題型.通過圖像可以看出，在一定范圍內，y與x剛好能構成一次函數的關系.由已知可得到在甲容器中進行了多次變換操作，因此對甲的分析可以先分段，在特定的時間段進行分析.

在第一問中，求甲容器的進水速度和出水速度，只需要得到一定時間內的進水量或出水量，就可以利用水量與時間的比來得出進出水的速度.從原題中“兩個容器同時只開進水管”，此時，甲容器只開進水管直至第8分鐘，對應的圖像中，我們可以看到，x軸上的時間為8分鐘時對應的y值水量為40升，那么進水速度就是每分鐘5升.同樣的道理，求甲容器中出水管出水的速度，則根據圖中8分鐘至16分鐘時，關閉了進水管，只開出水管，這段時間內的水量變化及時間，得出出水量為（40-20）升，所耗時間為（16-8）分，出水速度為每分鐘2.5升.

在第二問中，要求的是乙容器中水量y與時間x的函數關系式，可以直接使用待定系數法，從圖中找到相應的點，容器中原有10升水，5分鐘時有15升水，代入求解.

設乙容器內水量y與時間x的函數關系式為y＝kx+ b（k≠0）.

所以y＝x+10.

在第三問中，由圖像可知：兩個容器最后一次水量相等是在16至28分鐘之間，此時甲容器的狀態是進水管與出水管都打開了，每分鐘的進水量為2.5升.在16至28分鐘之間，甲容器中水量y與時間x的關系式為y＝2.5x＋b，把點（16，20）代入，得b＝-20.所以y＝2.5x-20.要求兩容器水量相等時的時間，可以令這兩個函數的y相等，直接求出x.即x＋10＝2.5x-20，解得x＝20.也就是在20分鐘時，兩容器內的水量相等.

總結：這是一種結合函數圖像綜合考查的一次函數題型，是一種非常典型的問題.在解決這類問題的時候，最重要的就是結合題目中的已知，充分挖掘出圖像中的信息，把函數圖像中隱含的所有信息找出來，明確圖像中不同線段所表示的意義.能把圖像看懂，就可以說大致上沒有問題了.而在看圖的時候，也一定要養成良好的習慣，先確定x軸和y軸分別表示什么，再結合已知條件細心研究圖像.

二、反比例函數常見綜合題

例2如圖2所示，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點A、B.四邊形ABCD是正方形，雙曲線y=在第一象限經過點D.

圖2

（1）求雙曲線表示的函數解析式.

（2）將正方形ABCD沿x軸向左平移______個單位長度時，點C的對應點C′恰好落在（1）中的雙曲線上.

分析：反比例函數相對來說還是比較簡單的，因此常與其他的相關知識點結合在一起考查，在考試中常常會考查k值的求解方法.

第一問直接是求反比例函數的解析式，也就是要求出k的值，我們知道，k＝xy，也就是求出雙曲線上任一點的坐標即可求出函數的解析式.如圖2，D點在雙曲線上，可以先求出D點的坐標.

先過點D作DE⊥x軸于點E.

由四邊形ABCD是正方形，得∠BAD=90°，AB＝AD.

由∠BAO+∠DAE＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，得∠ABO＝∠DAE.

又∠AOB＝∠AED＝90°，AB=AD，則△AOB≌△DEA.則DE＝OA，AE＝BO.

根據直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點A、B，容易得到A（1，0）、B（0，2），即OA＝1，OB＝2.則DE＝1，OE＝3，即點D（3，1）.

在第二問中，同理可知點C的縱坐標為3，橫坐標為2，當點C′恰好落在（1）中的雙曲線上時，此時x對應的值為1，也就是由原來的位置向左移動一個單位即可.其實這個問題重點在于求出點C的坐標，其他方面倒是更簡單一些.

總結：在反比例函數問題中，k的值可以說是一個必考點，學生在平時的學習中要能夠理解k值并靈活地運用.在很多題目中k值還表示對應圖形的面積，這點也是要多加留心的.

三、二次函數常見綜合題

圖3

例3如圖3，將拋物線l1：y=-x2平移得到拋物線l2，且l2經過O（0，0）和點A（4，0）.l2的頂點為點B，它的對稱軸與l1相交于點C，設l1、l2與BC圍成的陰影部分面積為S.解答下列問題.

（1）求l2表示的函數解析式及它的對稱軸、頂點坐標.

（2）求點C的坐標，并直接寫出S的值.

分析：第一問中考查的是二次函數的基礎知識，首先是求二次函數的解析式.平移后的二次函數圖像的開口方向和開口大小是不變的；同時拋物線經過原點，也就是c＝0，所以我們可以設拋物線l2的解析式為y= -x2+bx，這里直接把另一個點（4，0）代入函數解析式中，得：-16+4b=0?b＝4.函數的解析式為：y=-x2+4x.

要求出函數的頂點坐標及對稱軸，可以用公式直接代入計算，也可以利用配方法來求出h和k，這兩種方式實質上也是一樣的.在這里，我們對函數進行配方，得y=-（x-2）2+4，可以看到，拋物線l2的對稱軸為直線x＝2，頂點B的坐標為（2，4）.

第二問中，C點剛好在拋物線的對稱軸上，也就是x＝2，代入計算得到C點的坐標為（2，-4），那么S＝8.

對于第三問，存在滿足題意的點P.

設直線AC表示的函數解析式為y=k1x+b1（k1≠0），把（4，0）、（2，-4）代入到函數解析式中，得解得所以y=2x-8.

設點P的坐標為（m，2m-8），則S△POA=

△POAm＝5，則2m-8＝2.所以點P的坐標為（5，2）.

綜上所述，點P的坐標為（5，2）或（3，-2）.

總結：在二次函數的綜合題中，一般會考查基礎知識和其他綜合性的知識，像這道題中，既考查了求解析式、頂點坐標及對稱軸，又考查點是否存在的問題.這是一類非常典型的二次函數綜合題.考生們一定要對相關的知識熟練掌握并能夠靈活運用到解題當中.

從上面三道例題不難看出，中考對函數的考查是重中之重，無論是什么類型的函數，都可以命制綜合題，題型的結構和模式不管怎么變，考查的知識點是不變的.學生們在備考的時候必須要從基礎抓起，把基礎知識掌握牢固了，解題時才會有更加靈活的思維.

1.張仲義.淺談二次函數在中考題中的綜合運用［J］.新課程學習（中），2013（8）.

2.劉勇華.例談中考動態題中圖形面積與運動變量的函數關系［J］.中學時代（理論版），2013（8）.

3.唐星.點擊中考反比例函數問題［J］.中小學數學（初中版），2013（7）.