基于“整體觀”的幾何教學與反思
——以“平行線的判定”教學為例

☉江蘇省常熟市白茆中學　章志霞

基于“整體觀”的幾何教學與反思
——以“平行線的判定”教學為例

☉江蘇省常熟市白茆中學章志霞

章建躍教授在《數學教育之取勢明道優術》一文中指出：“教好數學”的內涵應該是“為學生構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”.并進一步指出“在面對一個新的數學研究對象時，要有‘整體觀’，要先為學生構建研究的整體框架”.基于上述“整體觀”理念，筆者最近開發了“平行線的判定”教學設計，并且取得較好的教學效果，本文先呈現該課的教學設計，并給出課后反思，與大家研討.

一、“平行線的判定”教學設計

（一）學習目標

（1）掌握平行線的判定方法（一個公理，兩個定理）；

（2）能書寫規范的平行線判定的幾何語句解決簡單問題；

（3）梳理和辨析不同的平行線判定方法；

（4）在平行線的判定學習中，感受轉化、從特殊到一般等數學思想.

（二）學習流程

活動1：從無到有，研究平行.從平面上一個點出發，……

預設：從一個點出發，生成平面內兩直線相交、平行兩種狀態，進一步復習對頂角、鄰補角概念，為后續平行線的判定做好相關知識或概念上的準備.也為引入截線，引出三線八角服務.三線八角為什么要定義，在這兒可以跟學生做些解讀，主要就是為了研究平行線的判定和性質，方便探索線段的位置關系與角的大小關系.

活動2：公理、定理，判定平行.

基本事實（公理）：同位角相等，兩直線平行.

定理：內錯角相等，兩直線平行.

定理：同旁內角相等，兩直線平行.

預設意圖：從基本事實出發，證明兩個定理，規范幾何語句的表達，如果學生能規范書寫，則快速向后推進.接著可進一步將圖形特殊化如下，垂直狀態時會有怎樣的情形呢？師生共同歸納出相關推論：垂直于同一直線的兩直線平行，并指出這是一個真命題，有些教材上也把它作為平行線的判定依據.

活動3：應用新知，證明問題.

工具智慧

例1木工師傅經常用一把直角尺畫出兩條平行的直線a和b.你知道這樣做的道理嗎？

例2有人認為，可以用兩個相同的三角尺畫出平行線？你知道其中的道理嗎？

生活現實

例3蜂房的頂部由三個全等的四邊形圍成，每個四邊形的形狀如圖所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′.試確定這些四邊形對邊的位置關系，并證明你的結論.

數學現實

下列推理是否正確？為什么？

（1）如圖，由∠1＝∠2，得l1∥l2；

（2）如圖，由∠4＋∠5＝180°，得l3∥l4；

（3）如圖，由∠2＝∠4，得l3∥l4；

（4）由∠3＋∠6＝180°，得l1∥l2.

預設意圖：本環節首先圍繞著“工具”展開，分別以“一把直角尺”和“兩個三角尺”的實際操作圖示，幫助學生在應用新知的初步階段形成清晰的形象認知，為后繼進行“蜂房”的驗證思考以及推理練習奠定了感性基礎.在練習時，教師通過安排例、習題練習，鞏固新知，同時講評時注意引導學生判斷，如果正確，要求學生說明判定的依據.

活動4：變式拓展，指向生長.

預設意圖：“道生一，一生二，二生三”.引領學生再從另外的角度思考，再思考一種需要添加輔助線的問題，主要涉及平行線的又一種判定方法“平行于同一直線的兩直線平行”.當然問題的思考過程中，還會涉及平行線的性質，這里可以輔助思考，并不能因為下一節才主要學習這個性質，這一節就回避這類問題，注重側重點和平衡是很關鍵的，不涉及就是封閉的，涉及就是開放的.重要的是，這種變式可以使得平行線的判定得到進一步的系統化，比如本課小結時除了呈現上面的結構圖之外，還可幫助學生將平行線的判定方法梳理如下.

（1）平行線的定義：同一平面內，不相交的兩條直線一定平行.

（2）平行公理與推論.

①平行公理（基本事實）：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

②推論（真命題）：平行于同一直線的兩直線平行.

（3）基于“三線八角”的研究.

①公理（基本事實）：同位角相等，兩直線平行.

②定理：內錯角相等，兩直線平行.

③定理：同旁內角互補，兩直線平行.

④推論（真命題）：垂直于同一直線的兩直線平行.

二、教后反思

1.先構建整體框架，再展開具體探究

本課的教學目標和預設的側重點并不在具體的推理，而是幫助學生先構建平行線及其判定的整體框架，然后通過相關題例認識平行線判定的作用，后面可以跟進習題課，示范并輔導推理語句和相關的證明題.這里也可提及江蘇南通李庾南老師倡導的“單元教學”，即結合初中學生數學學習特點，在研究教材的基礎上，重組教材內容，實施“單元教學”，即根據數學知識發生的規律、內在的聯系，將數學知識分為單元或模塊，然后利用1～3個課時開展單元教學.這不同于數學教材上按某些小的知識點細分課時的做法，而是整體呈現單元內容，然后安排習題講評課、交流討論課，鞏固單元教學的效果.

2.注重數學整體性，提升系統思維水平

我們知道，數學是一個枝繁葉茂的參天大樹，各個數學知識點之間充滿關聯，基于數學的整體性開展數學教學，特別對新概念和性質開展整體單元教學，將有助于學生系統思維水平的提升.教師在教學實踐中，要有意識地運用“整體性”思維對教學內容和教學流程進行二次加工，使得課堂教學呈現鮮明的“整體性”特征，從而幫助學生將零碎、分散的數學知識鏈接起來，促進學生完成有意義數學學習的自我建構.學生系統思維水平提升之后，能極大地簡化他們對事物的認知，加深數學學習對象的整體觀、全局觀，有效地培養學生的邏輯抽象能力.

1.章建躍，陳向蘭.數學教育之取勢明道優術［J］.數學通報，2014（10）.

2.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

3.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.