函數與方程：辯證與統一的數學藝術

李剛

函數與方程思想，同分類討論、類比、化歸、數形結合等思想一起被列為高中數學的幾個重要的基本思想之一，函數與方程貫穿了整個高中數學的教學始終。無論是在求自變量值域、不等式求解、求極值、以及數列的問題中，函數與方程思想都發揮著重要的作用。通過對所給數量的關系仔細觀察、分析、判斷、發現數量間由此及彼的聯系，建立起函數模型，能夠更好地解決相關數學難題。函數與方程，二者相互聯系又相互轉化，辯證又統一地存在于高中數學教程中，在答題和解題技巧中發揮著不可或缺的作用。

數學教學函數思想函數與方程函數與方程是兩個不同的數學概念，二者緊密聯系，又不可分割。在高中數學中，函數與方程涉及到多個知識面的考查與運用，每年在高考中都占有固定的分額，是高考的必考和熱門項目。因此，學生在高中數學的學習中，必須熟練地掌握函數與方程和性質與特性，靈活地運用函數與方程的思想到解題當中來，才能在這塊必考知識點上穩操勝券。

在數學解題中，函數與方程思想可以將復雜的問題簡單化，巧妙轉化變量之間的關系，以函數圖形代替抽象數量關系，搭建解決抽象問題的橋梁。化繁為簡，化無限為有限，是函數與方程思想的精妙所在。

一、函數的思想

函數描繪了定量與變量間的抽象關系，函數思想即通過已知的數量關系，構建相關的函數模型，并通過函數模型的建立來研究、分析問題，最終解決問題的數學思想策略。函數是一個工具，是描繪客觀世界變化規律的基本數學模型，在高中數學中，函數思想是高中數學教學的核心主線之一。函數的單調性、周期性、奇偶性、函數的最值和圖像變換等性質在解題應用中無處不在。利用函數思想，總是可以將紛雜的問題條理化，化繁為簡，化無形為有形，巧妙地將問題化解。

例如，2011年陜西省高考數學試卷中有這樣一道題目：

可見，熟練地了解一次函數、二次函數、指數函數、對數函數，以及三角函數等各函數的特性，是利用函數思想解決問題的基本條件。在了解函數特性的基礎上，挖掘各變量的隱含條件，構建出相關的函數模型，是解題的關鍵。

二、方程的思想

方程是建立等量的關系，并由這些已知的等價關系進行推斷，得出未知的解的過程。方程可以看作是函數值為零的特例，方程組的解可以看作是函數圖形的交點。方程的思想是利用方程的性質來分析數學問題中的變量關系，構建相關的方程或方程組，并利用其去研究、分析、解決問題的思想策略。作為一個數學思想，方程思想在數學發展史上有著重要的作用。與函數思想相比，方程思想是一種動中求靜的思想，在動態變量中研究等量關系，從而未知轉化為已知，解決相關難題。

利用方程思想，便是要在表面的關系中挖掘隱藏條件，尋找變量中的代數關系，建立方程組，解決方程中的未知變量。方程思想在代數、解析幾何中都有著廣泛的應用。數學教師在授課中要培養學生建立方程的思想意識，將方程思想運用到現實的數學問題當中去。

三、函數與方程思想的運用

函數與方程知識涉及的知識面廣、范圍大，在方程的求解、函數的值域、不等式和數列問題等知識點中都具有廣泛的應用：

1.方程的求解。有一些方程的求解，也即是函數圖象有相交點，方程求解的問題可頃刻間轉化為函數圖象的交點問題了，這就是方程問題的函數化，其本質也是數形結合思想，所以數學幾個基本思想在本質上是相通的。

2.函數的定義域求解。函數本是描述變量與參量的一個數學模型，探索變量之間的取值范圍和最值是常見的運用函數方程思想的案例。在求解的過程中，充分利用函數特性，靈活轉換方程與函數的關系，才能準確求解。

3.幾何圖形的圖象關系。方程思想在解析幾何中處于主導地位，在求曲線方程，判斷直線與曲線，曲線與曲線的位置關系上，方程是重要的解題思想。有些直線與圓、曲線的位置關系，需要通過解二次元的方程得到求解，而有些求直線與曲線的最值問題時，往往也需要構建函數，利用其性質來求解。

4.不等式求解問題。在處理不等式的恒成立、求解問題時，通常采用建立相關函數，通過函數性質確定變量的取值范圍與最值，從而解決問題。

5.數列問題。從映射、函數的觀點來看，數列可以看作是一個定義域為正整數集的函數，而數列的通項公式也即函數和解析式，所以說，數列問題的本質仍然是函數問題，數列的問題也即函數的問題，運用函數來解決數列問題是首當其沖的不二選擇。

四、函數與方程的相互轉換

函數與方程二者相互聯系，辯證統一，完美地棲身于高中數學的框架之中。函數問題可以轉化為方程問題，方程問題亦可以轉化成函數問題，二者互為工具，互相轉化，而數形結合是實現這種轉換的橋梁。把數量關系和幾何圖象結合起來，實現二者的靈活轉換，可以將抽象的數學難題輕松解決。學生在遇到相關難題時，要熟練掌握函數與方程思想的精髓，靈活運用二者的轉換關系，只有這樣，才能在考試中起到事半功倍的作用。

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