PVDF 觸覺傳感器動態補償器的設計

葛維冬，許德章?

PVDF 觸覺傳感器動態補償器的設計

葛維冬1，2，許德章1，2?

（1.安徽工程大學機器人產業技術研究院，安徽蕪湖 241000；2.安徽工程大學先進數控和伺服驅動技術安徽省重點實驗室，安徽蕪湖 241000）

為了解決PVDF壓電薄膜測量低頻信號失真大、泄漏快和阻抗匹配難等問題，首先探討了PVDF的工作機理，繼而在頻域內使用高效的最小二乘算法設計了一款Hammerstein動態補償器模型.仿真結果表明，該動態補償器模型能快速有效地補償PVDF傳感器低頻失真，使PVDF壓電膜在低頻領域的應用成為可能.

動態補償器；PVDF；傅立葉變換；多項式；最小二乘算法

近年來，對于多指靈巧手的研究日漸深入，在控制策略和機電結構方面取得了一定的成就［1］.然而，在實現可靠的抓取過程中，除了視覺導引和位置反饋，還需要對所施加的力、力矩和滑動信號進行測量反饋［2］.對于未知物體還需要獲得關于物體的形狀、尺寸、表面狀態和組織等信息，這就需要觸覺傳感器［3］.

實現觸覺傳感的敏感材料有很多，壓電薄膜PVDF（Polyvinylidene Fluoride）就是一種比較理想的材料［4］.它具有很高的壓電能力，具有寬頻帶、高介電強度等特性，同時還具有柔韌、極薄、質輕和高韌度等機械特點，可以制成多種厚度和較大面積的陣列元件.在觸覺應用中，存在的主要問題表現為：不能測量純靜態信號，頻帶下限為0.001 Hz.特別是對于低頻信號，由于不同頻率分量對應有不同的幅值失真，在時域上表現得失真嚴重.

針對上述缺陷，設計了一款動態補償器，能有效補償信號通過PVDF后引起的低頻失真，使PVDF壓電膜在低頻領域的應用成為可能.

1　PVDF的工作機理

根據PVDF壓電膜的技術資料可知，一個PVDF傳感器的等效電路可表示為1個電壓源同1個電容串聯，如圖1所示.該電路的幅頻特性關系如式（1）所示，其特性曲線如圖2所示.

根據式（1）和圖2可以看出，該幅頻特性曲線其實是1個高通濾波器，其中，ωn為頻率變量，ωc是高通濾波器下限截至頻率，該值是由傳感器本身的電容值C0和后續放大電路的輸入阻抗RL決定.這里的電容值C0是根據壓電膜的厚度、面積和介電常數決定的，其值是3.98 p F，輸入電阻即是后續放大電路的輸入阻抗，其值大小為2?109Ω，因此可以確定該PVDF的下限截至頻率是20 Hz.

式中，U（t）為階躍信號；d33為壓電應變常數；τ=RLC0是PVDF生成的力激勵響應電荷的時間常數. PVDF產生的電荷量隨時間常數τ=RLC0以指數規律衰減，這是由放大器和傳感器的泄漏造成的，因此，

為了直觀地了解PVDF的輸入輸出特性，在PVDF垂直方向加載階躍信號作為輸入信號，此時可以得到輸出電荷與時間的關系為［5］：PVDF做靜態力測量具有缺陷，但并不意味著對此無能為力.準靜態力的電荷放大器可用極高的輸入阻抗RL與傳感器內阻進行匹配，匹配的原理就是使τ=RLC0在較高的值上，降低傳感器高通濾波器的下限截至頻率［6］.根據式（2），增大時間常數可以使傳感器信號泄漏得更慢，以便后續電路的采集與測量.

但極高的輸入阻抗會給測量系統帶來更大的噪聲干擾，影響測量精度.另外一種更好的方法是數據處理時進行補償.

2　PVDF壓電傳感器動態補償器的工作原理

增大τ雖然能降低傳感器的下限截至頻率，但在實際應用中，由于觸覺傳感器通常的工作是對物件的抓取.此處用梯形信號仿真抓取過程，梯形信號的上升沿、保持、下降沿分別對應靈巧手抓取、夾持、釋放3個狀態.

梯形信號經過PVDF壓電膜前后的頻譜圖如圖3所示.其中，右三角標記的曲線為梯形信號的頻譜曲線，可以看出，抓取產生的信號大部分是低頻信號.點畫線是PVDF傳感器的幅頻特性曲線.左三角標記的曲線則是信號經過PVDF傳感器后的頻譜曲線.在頻域中可以看出，梯形觸覺信號在經過PVDF傳感器后，丟失了絕大部分的低頻成份.

梯形信號經過PVDF壓電膜的仿真結果如圖4所示.其中實線是原始信號，點畫線表示信號經過PVDF傳感器后的失真信號.在時域中可以發現梯形觸覺信號在通過下限截至頻率為20 Hz的高通濾波器后，造成了極大的失真.

基于上述仿真結果，本系統采用動態補償器對其信號進行矯正.

借鑒Hammerstein預失真器模型，從數學建模角度進行探索［7］.記輸入信號x（t），輸出信號為z（t），t為時間變量，則PVDF輸入輸出非線性在數學上可表示為z（t）=G（x（t））.其中，G為非線性函數.動態補償的基本原理是：在PVDF傳感器薄膜后設置一個動態補償處理模塊，兩個模塊的合成效果使整體輸入-輸出特性線性化，消除高通濾波器帶來的影響.原理框如圖5所示.

其中，x（t）和z（t）分別代表信號輸入和輸出，Y（s）為信號經過PVDF后的輸出頻譜.設PVDF輸入-輸出傳輸特性為G（），動態補償器特性為P（），那么動態補償原理可表示為

P·G=L表示P（）和G（）的復合函數等于L（）.線性化則要求：

式中，常數g是信號頻譜的輸入輸出線性關系.因此，若系統幅頻特性G（）已知，則動態補償技術的核心是尋找動態補償器的特性P（），使得它們復合后能滿足

式中，G（）是PVDF高通濾波器的輸入輸出特性曲線，其表達式為：

Amp（ωn）則是高通濾波器的幅頻特性曲線，也是G（）函數的斜率，如圖6所示.根據式（7）可以求得P（）.動態補償器的具體原理如圖7所示.

Step 1：1.X（s）→2.G（X（s）），此處取X（s）=16 Hz，此時系統輸出G（X（s））=9.995，說明PVDF高通濾波器在16 Hz時，輸出幅值和輸入幅值的比值k如式（9）所示.其k=0.672＜1，說明16 Hz這個頻率點上，輸出幅值小于輸入幅值.

Step 2：將第一步得到的結果2.G（X（s））作為動態補償器的輸入，得到經過動態補償器后的信號輸出，其關系為：

Step 3：將前兩步的結果映射到系統線性輸出特性曲線上，得：

也就是說，加入動態補償器后，整個系統在頻域上是個線性系統，輸出和輸入的比值始終保持在g=0.795，此時，只要將Z（s）除以g，再進行傅立葉逆變換（見式（12）），就能補償信號經過高通濾波器所帶來的失真.

3　動態補償器模型的建立

根據式（6），模型的目標誤差函數為

考慮到動態補償器的模型輸出幅度應小于或等于給出的系統輸入頻率最大值，則得出優化問題為：

目標函數是使誤差函數極小，在分析這個優化問題時，可以先假定目標函數能夠取到最小，即：

記H：G（ω）→x，ω→y，則y=H（x）=G-1（x），所以

由于G是高通濾波器的特性是確定的（見式（8）），其反函數的模型可以用多項式擬合，即：

其中

考慮到動態補償器是凸函數，如圖7所示，故取擬合冪級數如式（20）所示，N為曲線擬合點數，式（17）可采用最小二乘方法進行擬合.

3.1最小二乘方法求解

最小二乘方法產生于數據擬合問題，它是一種基于觀測數據與模型數據之間的均方差最小來估計數學模型中參數的方法.輸入數據x與輸出數據y之間大致服從如下函數關系：

式中，c∈Rn為待定參數，要估計參數x的值，要進行多次實驗取得觀察數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），然后基于模型輸出值和實際觀測值的均方差最小求參數a，這就是最小二乘原理.

在本研究中，根據式（17）引入函數：

并記

則最小二乘問題即為：

如果最小二乘問題中的模型函數估計準確，那么最小二乘問題的最優值是很靠近零的.因此r（y）常稱作殘量函數.對于線性最小二乘問題，殘量函數可以表示為：

考慮到二次凸函數的穩定點即為最小值點，可以直接得到c的求解公式，即：

將其回代至式（16）和式（17），最終可以解得：

其中，W=（ω，ω1/2，ω1/3，ω1/4，ω1/5）.

另外，在約束條件中，要使‖P（ω）‖∞盡可能靠近‖ω‖∞，那么，約束條件都可歸為：

其中，e為盡可能小的正常數，下面就是解決該優化問題的算法.

3.2動態補償器迭代算法設計

初始化：j=2，g=1，給定一個判斷容限e；

Step 2：求y=H（x）和P（ω）=g·G-1（x）=g·ω；

Step 3：比較‖ω‖∞，‖P（ω）‖∞，若‖P（ω）‖∞≤‖ω‖∞則判斷

A2.否則stop，輸出gj；

階躍信號在加入動態補償器的前后對比圖如圖8所示.從圖8b可以看出，信號經過高通濾波器后失真嚴重.圖8c中左三角標記的是經過動態補償器后還原出的信號頻譜，跟原信號的頻譜（右三角標記的曲線）幾乎是一樣的，唯一有區別的就是零頻率點不同.那是因為信號經過高通濾波器后，零頻率點信號完全被濾掉，從而無法恢復.零頻率點是信號的直流分量，因此，從圖8d可以看出，信號形狀能有效地矯正回來，但由于丟失了直流分量導致了信號的上下平移.

圖9和圖10分別是動態補償器對低頻正弦信號和三角波信號的響應.

4　結論

設計動態補償器可以對PVDF傳感器已泄漏的信號進行有效補償，因此，在后續放大電路中運用可以不考慮傳感器阻抗匹配問題.該動態補償器具有下述特點：對于不包含直流分量周期信號，動態補償器能完全補償PVDF傳感器引起的失真；對于包含直流分量的非周期信號，動態補償器能恢復信號的形狀，但會引起信號的上下平移，即無法補償所丟失的直流分量.但在實際應用中，由于PVDF傳感器在不受力時，其輸出信號為零，即信號的最小值處于零點位置，據此可以將信號的最小值偏移至零點處.綜上所述，設計的動態補償器能有效解決PVDF傳感器信號低頻失真的難題，同時也可避免后續放大電路阻抗匹配的難題.

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Design of post-distorter about PVDF tactile sensors

GE Wei-dong1，2，XU De-zhang1，2?
（1.Institute for Robot Industrial Technology of Anhui Polytechnic University，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China；2.Anhui Key Laboratory of Advanced Numerical Control&Servo Technology，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Since the PVDF film has some problems like large distortion，fast leakage for low frequency signal measurement and difficulty in impedance matching，this paper firstly discussed the working mechanism of PVDF.Then，the post-distortion model has been designed by using the least squares algorithm in frequency-domain.It is confirmed by computer simulation that the Hammerstein post-distorter could efficiently compensate the low-frequency distortion conducted by the PVDF sensors，which makes it possible for PVDF film to be applied in the low frequency domain.

post-distorter structure；hammerstein post-distorter；polynomial；least squares algorithm

TP 212.1

A

1672-2477（2015）02-0048-07

2015-03-18

國家自然科學基金資助項目（51175001）

葛維冬（1989-），男，浙江臨海人，碩士研究生.

許德章（1964-），男，安徽蕪湖人，教授，碩導.