基于低秩分解的信號噪聲分離方法

林 勁 張長浩

基于低秩分解的信號噪聲分離方法

林 勁 張長浩

在處理隨機平穩信號過程中通常要進行噪聲分離。基于低秩分解的噪聲分離算法，通過將一段目標信號截斷構造信號矩陣，并將信號矩陣分解成代表噪聲的稀疏矩陣和代表去噪后信號的低秩矩陣，即信號矩陣的低秩逼近，完成信號的噪聲分離。該方法需要經過幾何校正和低秩分解兩個步驟，在幾何校正的過程中同時完成低秩分解。實驗表明該算法收斂性好，耗時少，有較高的精確度和效率。

應用背景

在圖像信號處理中，常見的處理手段是將二維的圖像信號直接轉換為圖像矩陣，進行各種代數變換或矩陣分解提取圖像特征。經典的基于低秩分解的圖像信號噪聲分離方法采用的就是奇異值分解的方法，利用奇異值這一代數特征作為圖像的唯一特征。該方法只進行奇異值分解，省略了特征提取和匹配的步驟，而是利用數學的降維思想，直接實現特征提取，同時分離噪聲。實踐證明該算法耗時少，收斂性快，對于大塊的稀疏噪聲有較強的檢測和校準能力，目前在圖像處理領域已得到廣泛應用。受此啟發可將該算法從傳統的圖像信號處理延伸到一般的平穩信號處理中，驗證其適用性。

對于一段隨機平穩信號，算法的研究對象是該信號截斷之后的一系列子信號。不同于基于信號的內容或者信息的某些局部表征，算法試圖從信號的全局出發，以數學的角度看待信號矩陣，從高維數據降維這一基本數學思想出發，研究信號的代數特征。具體實現上，它用一個低秩的模型去逼近信號矩陣所代表的高秩模型。通過低秩分解實現信號的噪聲剔除，最后用低秩模型恢復原始信號。

低秩分解模型

模型建立

將原始信號均勻截斷成由若干子信號組成的集合，并表示成一個矩陣，矩陣的每一列代表每一子信號。在極端理想的情況下，子信號集合中每一子信號都是一樣的，那么得到的矩陣的秩應該為1。換而言之為了使得信號矩陣的秩盡可能逼近為1，需要對信號矩陣作幾何校正以排除各種畸變影響。同時對信號矩陣進行奇異值分解，并進行奇異值壓縮降維，用被保留的奇異值重新生成一個新的秩比較低的矩陣來代替原始矩陣，用新的低秩矩陣重新構造原始信號以達到噪聲分離的目的。由于不同信號之間差異總是存在的，理想條件總是不能達到，但是這不妨礙選擇矩陣的秩作為衡量子信號相似性的原則。即使達不到理想條件，仍然可以用一個低秩矩陣去表示一個經過良好噪聲分離的信號。因此各子信號之間差異性越小則原始信號矩陣D的秩越低，而這一點也即判斷信號是否完成噪聲分離的標準。

要用一個低秩模型去逼近一個高維的數據模型，也即矩陣D的降維：

算法所討論的低秩分解模型，是基于幾何校正的低秩分解。因此在降維之前，有必要對子信號進行校正。我們先定義算子“?”表示矩陣的幾何校正運算，并假設A表示經過校正之后的信號矩陣，那么問題（1）可以轉化為如下形式：

對于式（2），矩陣A代表的經過幾何校正的信號矩陣，而不是最終完成噪聲分離的低秩矩陣。在低秩分解實現噪聲分離過程中，假設ej代表任意一個子信號Ij的噪聲，即可代表經過噪聲分離之后的n個子信號，把這樣的噪聲ej統一到一個矩陣E中，將式（2）改寫成如下形式：

引入參數γ的目的是為了平衡該目標函數。為了避免該問題最終轉化為半定矩陣的求解，引入奇異值分解理論，用奇異值分解替代廣義拉格朗日乘子法中的迭代計算，最終實現拉格朗日函數局部極小點的求解，進而求解該凸優化問題，實現低秩分解，達到信號噪聲分離。

模型求解

幾何校正的實質是信號變換，目的是去除信號畸變影響和其他干擾混疊。假設

Ji是第i個子信號的雅克比式子。｛εi｝是一個列向量，它是n維空間的一個基向量。

于是問題（4）可以表示成為：

至此，我們就將該優化問題的約束條件通過高斯線性迭代，實現了線性逼近。

對（6）的目標函數進行凸性松弛，簡化成易于優化的凸性問題：

這樣，我們就將問題（8）轉化為如下的：

問題9）變成一個含三個變量的無約束最優化問題。可分解為如下問題：

可以將問題（10）就從一次迭代計算三變量的問題分解為三次迭代計算單變量的問題，最后采用奇異值分解將問題簡化。此處給出完整算法的流程。

Step1 有n個子信號I1,...,In，各子信號所對應的初始化幾何變換τ1,...,τn，比例系數λ〉0；

Step2 首先進入外部主循環，判斷收斂條件是否達到，如果不收斂，轉Step3；否則結束循環，輸出式（4）的解A?, E?,τ?。

Step3 計算各子信號進行幾何校正的雅克比式：

Step5 進入內部循環，判斷內部循環是否收斂達到，如果不收斂，轉Step6；否則結束內部循環，輸出（4）式的解A?, E?,τ?，轉到Step8。

Step6 令k等于0，進行第一次迭代運算。給出Ak, Ek,Δτk的初值。對當前迭代中A的估計進行奇異值分解：

從分解得到的奇異值中選擇符合要求的若干奇異值，重構低秩矩陣形成Ak+1；并得到：

Step7 更新拉格朗日算子，Yk+1=Yk+ukh( Ak+1,Ek+1,Δτk+1)，轉到Step5；

Step8 更新幾何變換算子τ?，轉到Step2。

算法試驗驗證

驗證1

為了對算法的效果有直觀認識，首先將該算法應用在經典的圖像處理上。

圖1是輸入圖像集，該圖像集是同一個人在不同光照背景、角度下拍攝所得，并將每幅人物頭像作不同角度輕微旋轉。圖1中第1行第1列頭像右眼被噪聲覆蓋，第4行第9列面部被噪聲覆蓋，第7行第1列頭像被上下顛倒等等。圖2是經過算法噪聲分離之后的圖像。圖3是所分離的噪聲。在圖3中可以清晰地看到被噪聲所覆蓋的眼睛、嘴巴等，均可在圖1中找到清晰的對應關系。由此可見該算法具有很強的噪聲分離能力。

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

圖5　

圖6　

圖7　

驗證2

在驗證1的基礎上考慮對一般信號進行算法驗證。

（1） 圖4為含高斯白噪聲的單頻正弦信號，長度160000點，將其截斷成4000*40的矩陣，利用以上公式中的求解算法進行噪聲分離，將算法輸出的低秩矩陣拼接重新生成信號，如圖5所示。

（2） 構造線性調頻信號，起始頻率100Hz，帶寬200Hz，添加高斯白噪聲，其時域信號和頻譜分別如圖6和圖7所示。

經過算法處理之后的時域信號和頻譜如圖8和9所示。

對比圖6和圖8，信號經過算法處理后，噪聲分離效果良好，在100Hz到300Hz范圍頻譜明顯得到增強，可見該算法具有較好的噪聲分離能力。

圖8　

圖9　

結語

從圖像處理領域延伸而來的基于低秩分解信號噪聲分離算法，拓展到一般的信號處理上，仍然具有一定的適用性。使用經典的圖像信號進行算法驗證時，其效果一目了然。使用正弦信號驗證時，經過算法過濾后的信號波形清晰，使用線性調頻信號驗證時，對比算法處理前后，其頻譜具有明顯改觀，可見算法效益明顯。當然對于更一般的隨機平穩是否扔具有如此強的效果值得進一步探討，乃至對于非平穩的信號算法是否依然可用都值得作進一步探討。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.21.004