拋物線是極限狀態的橢圓

張青山,李鳳清（四川職業技術學院應用數學與經濟系,四川　遂寧　629000）

拋物線是極限狀態的橢圓

張青山,李鳳清
（四川職業技術學院應用數學與經濟系,四川遂寧629000）

本文給出結論：拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+=1(a>p>0)當a趨于正無窮大時的極限狀態.并舉例說明如何從由橢圓的性質來探求拋物線的性質.

拋物線；橢圓；極限；性質；探究

因此我們說，拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+=1(a>p>0)當a趨于正無窮大時的極限狀態.故我們可以把拋物線y2=2px(p>0)描述為一個長半軸為a，短半軸為，中心為（a，0）,左焦點為（，0），右焦點為（2a-,0），左準線為x=-，右準線為x=2a+，且a為無窮大的橢圓.那么橢圓與拋物線應該具有一些共性，我們就可以運用類比的方法從橢圓的一些性質來探求拋物線的性質.下面略舉幾例.

1橢圓的光學性質為：由橢圓的一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波,經該橢圓反射后會經過另一焦點.由于拋物線是極限狀態的橢圓，其另一焦點在焦點所在對稱軸上的無窮遠點，即可推出拋物線的光學性質：由拋物線的焦點射向拋物線上任一點的光波或聲波,經該拋物線反射后會沿平行于拋物線的對稱軸射出.

2由文[1]命題一可得橢圓的一個性質：P(x0,y0)是橢圓+=1(a>p>0)上任意一點，PA,PB是兩條互相垂直的弦，則動弦AB過定點

收稿日期:2015-05-28

作者簡介：張青山（1962-），男，四川蓬溪人，四川職業技術學院副教授。研究方向：初等數學，數學教育。

拋物線的性質1（文[1]命題二）：P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，PA,PB是兩條互相垂直的弦，則動弦AB過定點P′(2p+x0,-y0).

由于拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+

拋物線的性質2：拋物線y2=2px(p>0)，過x軸上的定點P(t,0)(t>0)的直線交拋物線于A,B兩點，以點A,B為切點分別作拋物線的切線，它們交于點C,則C必在直線x=-t上.

4.大家知道，圓有一個簡單性質：對圓O及其圓O中異于圓心的定點P，過點P的弦AB與圓圍成的弓形面積最小時，必然有PA=PB.

我們將圓O通過壓伸變換成為橢圓，根據壓伸變換不改變線段比、不改變面積比的性質即可得到下面結論.

橢圓的性質：對橢圓及其橢圓內異于中心的定點P，過點P的弦AB與橢圓圍成的弓形面積最小時，必然有PA=PB.

由于拋物線是極限狀態的橢圓，我們可得出下面結論.

拋物線的性質3：對拋物線及其拋物線內的定點P，過點P的弦AB與拋物線圍成的弓形面積最小時，必然有PA=PB.

我們也可以說，拋物線y2=2px(p>0)是雙曲線(x

a-2a)2-ayp2=1(a>0,p>0)的實半軸a趨近于正無窮大時的極限狀態.本文對此不作贅述.

[1]季福根.圓錐曲線中伴隨曲線與相關點線問題再探討[J].數學通報，2013,(11).

責任編輯：張隆輝

G 633.6

A

1672-2094（2015）04-0167-02橢圓C+=1(a>p>0)的中心為(a,0)，左焦點為(a-，0)，右焦點(a+，0)，左準線方程為x=a-，離心率為.