拋物線是極限狀態(tài)的橢圓

張青山,李鳳清（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川　遂寧　629000）

拋物線是極限狀態(tài)的橢圓

張青山,李鳳清
（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系,四川遂寧629000）

本文給出結(jié)論：拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+=1(a>p>0)當(dāng)a趨于正無(wú)窮大時(shí)的極限狀態(tài).并舉例說(shuō)明如何從由橢圓的性質(zhì)來(lái)探求拋物線的性質(zhì).

拋物線；橢圓；極限；性質(zhì)；探究

因此我們說(shuō)，拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+=1(a>p>0)當(dāng)a趨于正無(wú)窮大時(shí)的極限狀態(tài).故我們可以把拋物線y2=2px(p>0)描述為一個(gè)長(zhǎng)半軸為a，短半軸為，中心為（a，0）,左焦點(diǎn)為（，0），右焦點(diǎn)為（2a-,0），左準(zhǔn)線為x=-，右準(zhǔn)線為x=2a+，且a為無(wú)窮大的橢圓.那么橢圓與拋物線應(yīng)該具有一些共性，我們就可以運(yùn)用類比的方法從橢圓的一些性質(zhì)來(lái)探求拋物線的性質(zhì).下面略舉幾例.

1橢圓的光學(xué)性質(zhì)為：由橢圓的一焦點(diǎn)射向橢圓上任一點(diǎn)的光波或聲波,經(jīng)該橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn).由于拋物線是極限狀態(tài)的橢圓，其另一焦點(diǎn)在焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即可推出拋物線的光學(xué)性質(zhì)：由拋物線的焦點(diǎn)射向拋物線上任一點(diǎn)的光波或聲波,經(jīng)該拋物線反射后會(huì)沿平行于拋物線的對(duì)稱軸射出.

2由文[1]命題一可得橢圓的一個(gè)性質(zhì)：P(x0,y0)是橢圓+=1(a>p>0)上任意一點(diǎn)，PA,PB是兩條互相垂直的弦，則動(dòng)弦AB過(guò)定點(diǎn)

收稿日期:2015-05-28

作者簡(jiǎn)介：張青山（1962-），男，四川蓬溪人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授。研究方向：初等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育。

拋物線的性質(zhì)1（文[1]命題二）：P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，PA,PB是兩條互相垂直的弦，則動(dòng)弦AB過(guò)定點(diǎn)P′(2p+x0,-y0).

由于拋物線y2=2px(p>0)是橢圓+

拋物線的性質(zhì)2：拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)x軸上的定點(diǎn)P(t,0)(t>0)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，以點(diǎn)A,B為切點(diǎn)分別作拋物線的切線，它們交于點(diǎn)C,則C必在直線x=-t上.

4.大家知道，圓有一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)：對(duì)圓O及其圓O中異于圓心的定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的弦AB與圓圍成的弓形面積最小時(shí)，必然有PA=PB.

我們將圓O通過(guò)壓伸變換成為橢圓，根據(jù)壓伸變換不改變線段比、不改變面積比的性質(zhì)即可得到下面結(jié)論.

橢圓的性質(zhì)：對(duì)橢圓及其橢圓內(nèi)異于中心的定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的弦AB與橢圓圍成的弓形面積最小時(shí)，必然有PA=PB.

由于拋物線是極限狀態(tài)的橢圓，我們可得出下面結(jié)論.

拋物線的性質(zhì)3：對(duì)拋物線及其拋物線內(nèi)的定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的弦AB與拋物線圍成的弓形面積最小時(shí)，必然有PA=PB.

我們也可以說(shuō)，拋物線y2=2px(p>0)是雙曲線(x

a-2a)2-ayp2=1(a>0,p>0)的實(shí)半軸a趨近于正無(wú)窮大時(shí)的極限狀態(tài).本文對(duì)此不作贅述.

[1]季福根.圓錐曲線中伴隨曲線與相關(guān)點(diǎn)線問(wèn)題再探討[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013,(11).

責(zé)任編輯：張隆輝

G 633.6

A

1672-2094（2015）04-0167-02橢圓C+=1(a>p>0)的中心為(a,0)，左焦點(diǎn)為(a-，0)，右焦點(diǎn)(a+，0)，左準(zhǔn)線方程為x=a-，離心率為.