數學原理教學探究——以高中三角函數誘導公式為例

崔婭蘭

（貴州師范大學 貴州貴陽 550000）

數學原理教學探究——以高中三角函數誘導公式為例

崔婭蘭

（貴州師范大學 貴州貴陽 550000）

原理的教學是中學數學教學的重要內容之一，其教學的好壞直接影響著學生知識技能的掌握與能力的培養。高中階段三角函數誘導公式的教學中，教師如何轉化教學方法，利用誘導公式的推導過程，總結方法，為學生化繁為簡，化難為易是原理教學的重點。

原理教學 三角函數 誘導公式

數學教學一般分為概念形成、概念同化和原理教學。數學原理教學指對數學中的性質、公式、公理和定理等的教學。

一、探索原理本質，還原思維過程

三角函數誘導公式教學屬于原理的教學。原理的學習不僅要學會描述原理的符號信息，即記住相關公式，還要揭示證明思路的探究過程。

在誘導公式的教學中，教師應將講課的重點放在揭示定理結論的過程及其證明思路的探索過程上。首先，公式一揭示了α與之間的三角函數關系。通過觀察終邊，可以發現這類三角函數的終邊相同，那么三角函數值相同。公式二是探究α與α+π之間的三角函數關系，由單位圓中三角函數定義可得出公式二。同理，可以得出公式三、公式四的推導過程。此外，也可以將α轉化為-α由公式二、公式三直接推導出公式四。利用單位圓中的三角函數還可以得出之間的關系式，即公式五，再將α轉化為-α由公式五得出公式六。利用前面公式也可以得出α與之間的三角函數關系式。通過不同的推導方式，可以展示不同的數學思維方法。

二、總結原理特點，重視公式理解

將對象與結果簡單化與符號化是數學思維的重要特征，也是數學家所追求的目標之一，于是就形成了公式，公式教學包含了公式的推導、理解、記憶和運用。

高中三角函數誘導公式的教學，主要是通過幾何上的關系推導出函數代數上的關系，通過發現α與在直角坐標系中的終邊的對稱關系，也可以利用三角函數定義和單位圓，進而推導出三角函數之間的關系。這樣的教學設計可以培養學生數形結合的思想，也可以給學生講清楚公式的來源，使其理解并能夠證明誘導公式。但是，當六大類公式一起進行化簡證明相關三角函數題時，就需要強化公式的記憶。同樣，如果讓學生課后再將六大類公式包含十八個公式進行強化記憶，那么，在公式的運用時同樣很容易出錯。例如：在化簡時，第一步將化為；第二步化為最后再化成。學生在理解第一步時是沒有什么障礙的，但是第二步去掉π，學生就需要回憶公式，容易出錯，最后一步化簡時，又要運用到公式六，同時，化簡時還會遇到化簡的情況。這無疑又增加了學生的學習負擔。如何將公式化難為易？

教學中，我們需要讓學生將機械記憶轉化為理解記憶，而對于三角函數誘導公式可以在推導過程中幫助學生理解記憶，但是，由于公式繁多，推導過程較為復雜，這時就需要變通記憶，即將所學的公式轉化為生活語或是口訣。口訣來源于公式本身，所以，此時教師應該引導學生善于觀察，總結公式特征，讓學生自己發現公式：如果涉及的公式中，k為奇數時，函數名稱需改變（即sinα），k為偶數時，函數名稱不改變（即cosα）。函數值的符號就要看所在的象限符號。此時即可變通記憶為：“奇變偶不變，符號看象限”。

三、注重知識聯系，解決應用困難

原理學習同概念學習相似，都是新舊知識相互作用形成新的知識認知結構的過程。所以，要想更好地學習原理，就應當讓學生的認知結構中具備與新的原理相關的數學知識。教學過程中，教師可以引導學生回憶已有相關知識，建立新舊知識的聯系，幫助學生找到解決問題的方法。

三角函數誘導公式中，即便有了“奇變偶不變，符號看象限”的口訣，但是在確定符號時，學生往往會困惑，因為任意角的化簡會涉及到，此時的化簡很容易出錯，那么，有沒有方法可以更好的解決問題呢？

數學原理的教學不僅要學生理解和掌握數學的性質、法則、公式等，而且要使學生理解這些原理所蘊涵的數學方法，并在學習和應用這些原理的過程中發展自己的數學認識結構，形成自己的數學思想方法。利用數形結合的思想，可以將誘導公式的應用簡化，可以快速并準確地進行求值計算和化簡證明。如圖3.1所示：

由圖3.1可知，首先將α看作第一象限內的角（因為第一象限內的角的任意三角函數值都為正，無負號）。sin（2π-α）中2π為的偶數倍，函數同名，2π的終邊在x軸的正半軸，如果減α，那么應該順時針旋轉α度，則終邊在第四象限，第四象限的正弦值為負，則化簡為-sinα；的奇數倍，函數名稱改變，終邊在y軸正半軸，如果再加α，則逆時針旋轉α度，終邊在第二象限，第二象限內余弦函數值為負，則化簡為-sinα。同理，運用此方法快速準確地化簡其它三角函數值，最終結果為-sinα。運用此方法學生無需記任何公式，則徹底解決了三角函數誘導公式的難理解，難記憶，難運用問題。

綜上所述，原理的教學要注重原理的探索體驗過程，重視學生思維過程和數學思想方法。原理的記憶需要以理解記憶為主，如果原理的推導過程過于繁雜，那么就需要變通記憶，在理解與變通的基礎上聯系已知，從更高的角度深刻理解數學本質。