基于改進的廣義諧波小波包分解和混沌振子的小電流接地系統故障選線

張淑清 馬 躍 李 盼 師榮艷 姜萬錄 董 璇

（燕山大學電氣工程學院 河北省測試計量技術及儀器重點實驗室 秦皇島 066004）

1 引言

我國在中低壓配電網中大多數采用中性點不接地方式和中性點經消弧線圈接地方式，二者均為小電流接地方式，當發生系統單相接地故障時依然可以正常工作 1～2h。但長時間帶故障運行，可能會使故障發展為相間短路、三相短路及故障設備燒毀等嚴重后果，破壞系統安全運行。因此，及時且準確地選出故障線路對防止故障進一步擴大，保證系統正常供電非常重要[1-3]。

目前故障選線方法大致分為基于故障穩態特征的方法[4]和基于故障暫態特征的方法[5-9]。基于故障穩態特征的方法主要是利用基波零序電流的大小和方向構成選線判據。然而中性點經消弧線圈接地系統發生單相接地故障后，由于消弧線圈的補償作用，故障線路與非故障線路基波零序電流的方向有可能相同，且非故障線路基波零序電流幅值有可能大于故障線路，因此，利用基波零序電流進行選線不容易實現。而零序電流的暫態分量，無論在何種接地方式下，健全線路暫態零序電流的大小與本線路對地電容的大小成正比，而故障線路零序電流暫態分量等于所有健全線路暫態零序電流之和，且方向相反，不存在穩態零序電流中由于得到消弧線圈感性電流的補償作用故障線路的穩態零序電流可能出現倒相的問題，因此可用其實現選線[10,11]。

基于故障暫態特征的方法關鍵問題是如何實現信號的特征提取。常用的信號特征提取方法有小波分解、小波包分解和諧波小波包分解等[12-15]。小波分析在信號分析中占據相當重要的地位，是針對信號的全程頻率進行分解，得到感興趣的頻段，但分析效果受小波基函數影響較大，也不能完全還原混合信號的特征；諧波小波函數具有互相垂直的偶函數與奇函數，構成零相移濾波器，不提供任何附加相位。然而，廣義諧波小波分解與小波分析一樣具有二進分解的特點，分析結果不能任意選取感興趣的頻段，沒有更好的適應性。

Duffing振子微弱信號檢測方法是一種有效的弱信號檢測方法[16-18]，它不受噪聲影響且對于與內驅動力同頻的外界信號具有高度敏感性，當微弱的周期信號出現時，系統會立即發生相變，根據系統的相變便可以將微弱的周期信號檢測出來。Duffing振子在小頻率參數條件下有良好的檢測效果，而在頻率過大時難以實現預期效果。然而，在電力系統實際應用中檢測信號很多為大頻率信號，也就無法使用 Duffing振子系統進行檢測。因此，需要對Duffing振子系統進行尺度變換，或稱為時標變換，以適應不同頻率信號的檢測要求。

本文在原有的廣義諧波小波包分解方法[19,20]基礎上，對其頻率適應性進行改進，消除了頻段及分解層次的限制，實現任意起始頻率、分解層數及分析范圍的分解。利用改進的廣義諧波小波包算法對各線路零序電流進行分解可以提取各線路暫態信息最集中的特征頻段。

將時標變換法應用到 Duffing振子系統中，克服了 Duffing振子系統的小頻率參數限制。將故障電流信號分解后，選出的特征頻帶作為外驅動力輸入到經時標變換的振子系統中，利用混沌振子相圖變化正確選出故障線路。對不同故障點和接地相進行了仿真驗證，理論分析及實驗結果證明了該方法的優勢和有效性。

2 廣義諧波小波包分解的改進算法

設由實部和虛部組合而成的復函數F(ω)為f(t)的傅里葉變換

式中，Fe(ω)和F0(ω)分別為與2π有關的偶函數和奇函數，表達式分別為

對F(ω)進行傅里葉逆變換得函數f(t)

式（4）即為諧波小波函數。

為使頻帶選取更靈活，引入a、b(a＜b)∈R+，則頻帶變為ω∈[2πa,2πb]，則

相應的偶函數和奇函數為

對F(ω)進行傅里葉逆變換，可得到小波函數

式（9）即為頻帶寬為2π(b-a)，分析頻帶中心為k(b-a)的廣義諧波小波的一般形式。

對上式進行離散化，設離散信號為u(t)，t=0,1,2,…,N-1，則u(t)的廣義諧波小波變換的離散形式[21]為

可以看出，對信號f(t)作諧波小波分解，可以將信號既無交疊又無遺漏地分解到相互獨立的頻段，任何能量較弱的細節信號都可以被準確地顯現出來。然而二進的諧波小波分析的結果不能任意選取感興趣的分析頻段，在實際應用中，有時需要對信號的低頻、高頻部分都同等對待，為此，采用二進小波包的分解思想來實現自適應任意細化的諧波小波包分解。令分析頻帶各子帶帶寬和每級尺度分析頻帶的上、下限頻率a、b分別為

式中，fs為采樣頻率；j為分解層數。

得到廣義諧波小波包變換的離散形式為

因此，隨著分解層數j的逐漸增大,就可以應用諧波小波包對信號的整個頻帶進行無限細分。

諧波小波包保持了諧波小波的零相移濾波特性，且實現了對信號的無限細分，然而它是對整個頻帶進行分析，在工程應用中，很多時候只需要對某一特定頻段進行分析，若利用廣義諧波小波包進行分析，無疑增大了計算量。因此，重新設置起始頻率和頻帶帶寬。

設待分析頻段為f1～f2，其中f1為起始頻率，f2為終止頻率(f1＜fs2，f2＜fs2)。則待分析頻帶寬度 Δf( Δf+f1≤fs2)為

將起始頻率f1加入到每級尺度分析頻帶的上、下限頻率a、b中，則式（12）變為

為使算法更加靈活，將信號分解到任意頻率寬度，引入分解層數k（k為大于1的整數）。各子帶帶寬B變化為

將式（14）～式（16）代入到式（13）中即可得到改進的諧波小波包變換的離散形式。

可以看到，通過對諧波小波包算法進行改進，在應用中可以根據實際情況選擇需要的頻段進行分析，可以自由設置起始頻率和終止頻率，并且消除了對分解層數的限制，可以將信號分解到任意頻率寬度。

3 混沌振子檢測原理及算法

Duffing振子微弱信號檢測方法是一種有效的微弱信號檢測方法。本文采用 Holmes型 Duffing振子檢測系統，該系統對噪聲具有一定的免疫力，而且當微弱的周期信號出現時，系統會立即發生相變，根據系統的相變便可以將微弱的周期信號檢測出來[17,18,22]。

Holmes型Duffing方程的基本形式為

其動力學方程表示為

式中，c為阻尼比；x（或x(t)）為狀態變量，隨時間t變化；-x+x3為非線性恢復力；gcos(ωt)為周期策動力，并且一般對Holmes型Duffing方程進行研究時取ω=1。

在沒有外部被測信號干擾的情況下，將阻尼比c固定，令周期策動力g從0開始逐漸增大，其系統的狀態將逐漸發生變化。當g較小時，相軌跡表現為Poincare映射下的吸引子，相點在(±1,0)兩焦點附近作周期振動。當g超過一定閾值時，將出現同宿軌道，隨著g的增大，出現倍周期分岔，緊接著進入混沌狀態，這一過程隨著g的變化非常迅速。在此過程中，g在很大一段范圍內都會使系統處于混沌狀態，此時存在一個閾值gd，當g增大到gd時，系統處于由混沌轉為周期運動的臨界狀態；當g大于gd時，系統進入大尺度周期運動狀態。

固定c值，調節g值至gd使系統處于由混沌轉為周期運動的臨界狀態。加入同頻率的待檢測信號z(t)=λcos(t+φ)得如下形式

式中，λ為待測信號幅值；φ為待測信號與內驅動信號的相位差。

化為動力學方程為

對式（20）進行整理，得系統總策動力為

當λ<

時，G≤gd，系統仍處于混沌狀態，不會產生到大周期狀態的相變；當φ不符合上述關系時，G＞gd，此時系統會出現從混沌狀態到大周期狀態的相變。據此可以判別待檢測信號的相位關系。

以上研究均是在ω=1的情況下進行的，而實際應用中待檢測頻率是多種多樣的，當內驅動信號角頻率不為1時，即將t用ω0t代替，經整理得到式（20）的變化形式為

對比式（23）和式（20）可以看出，x˙和v˙都變成了原來的ω0倍，在相平面上表現為相點在每一時刻的速度為以前的ω0倍，而系統的其他性質，例如系統的分岔值，絲毫沒有發生變化。

經大量仿真實驗研究發現，驅動力頻率過大會嚴重影響系統動態響應性能，即難以出現混沌狀態到大周期狀態的變化，也就是說 Duffing振子在小頻率參數條件下有良好的檢測效果，而在過大頻率時難以實現預期效果[23]。然而，在實際應用中檢測信號很多為大頻率信號，也就無法使用 Duffing振子系統進行檢測。因此，需要對 Duffing振子系統進行尺度變換，或稱為時標變換，以適應不同頻率信號的檢測要求。

時標變換即對被測信號進行時間尺度上的擴展，使角頻率為ω0=2πf0的待檢測信號與ω=1rad/s建立等價關系。

對于待檢測信號z(t)=λcos(ω0t+φ)，令t' =ω0t，則z（t'）=λcos(t' +φ)，即將t在時間軸上放大ω0倍，

相當于將角頻率ω0在頻率軸上壓縮到了ω=1rad/s。

時標的擴展是通過調節算法步長實現的。設信號的采樣頻率為fs，那么在角頻率為ω0的外界信號一周內的采樣點數為n=fsf0，在n和f0之間必須滿足關系

因此，在ω=1rad/s對應的一個周期內，Runge-Kutta法運算n步對應的步長為

因此，可以通過調節算法步長對待測信號進行時標擴展，使ω0≠1rad/s的待測信號與ω=1rad/s相匹配，進而應用前文所述的相位檢測方法對系統進行檢測。當待測信號相位滿足式（22）時，系統處于混沌狀態；否則，系統將會出現從混沌狀態到大周期狀態的相變。

調節周期策動力g值至gd。將提取出的特征頻段乘以相應的檢測因子輸入到 Duffing振子中作為系統的外驅動力，采用龍格庫塔法（Runge-Kutta）對方程求解獲得系統的相圖，利用計算機自動識別系統是混沌狀態還是周期狀態。

當小電流接地系統發生單相接地故障，無論在何種接地方式下，故障線路零序電流暫態分量等于所有非故障線路暫態零序電流之和，且極性相反；母線故障時，所有線路的暫態零序電流的極性都相同。因此如果某條線路使系統發生相變（保持混沌狀態），而其余線路仍使系統保持混沌狀態（使系統發生相變），則可判定使系統發生相變（保持混沌狀態）線路為故障線路。

4 選線方法驗證

用ATP仿真軟件進行仿真分析，建立中性點經消弧線圈接地系統仿真模型，仿真模型如圖1所示。

圖1 輸電線路仿真模型Fig.1 The simulation model of transmission line

仿真模型中每個元件的參數以及系統設置如下：

采用110kV交流電源。變壓器采用三角形-星形-星形聯結。消弧線圈采用過補償方式，補償度取8%，串聯電阻取消弧線圈感抗的 10%。線路 1～5的長度依次為：20、25、30、35、40km。

線路正序參數：R1=0.6Ω/km；L1=1.25mH/km；C1=9.48×10-3μF/km。

線路零序參數：R0=0.2Ω/km；L0=5.51mH/km；C0=5.9×10-2μF/km。

設置采樣頻率為 3 200Hz，仿真時間 0.2s，設置故障發生在線路 1的 60%處，故障發生時間為0.015s。各線路的零序電流如圖2所示。

圖2 發生故障后各線路零序電流Fig.2 Zero-sequence current in each line after fault

暫態電容電流的自由振蕩頻率一般在 300～1 500Hz，且為了避免工頻及單次諧波的影響，本文對500～1 500Hz頻段進行分析，利用改進的廣義諧波小波包算法進行分解，提取暫態高頻分量。

對各線路的零序電流進行改進的廣義諧波小波包分解，選定起始頻率f0=500Hz，頻寬Δf=1 000Hz，k=10，則各個分量的頻率范圍分別為500～600Hz，600～700Hz，700～800Hz，800～900Hz，900～1 000Hz，1 000～1 100Hz，1 100～1 200Hz，1 200～1 300Hz，1 300～1 400Hz，1 400～1 500Hz。5 條線路零序電流經改進的廣義諧波小波包分解后分量及各層系數的能量條形圖如圖3所示。

圖3 5條線路零序電流分解后分量及各層系數能量條形圖Fig.3 The components and the factor bar charts of each layer decomposed from 5 line zero-sequence currents

圖3中，左方各圖分別為線路1～線路5零序電流經改進的廣義諧波小波包分解后的各個分量，右方各圖分別為線路1～線路5分解后各層系數的能量條形圖。

從圖3中可以看出，各線路暫態高頻分量所在頻帶均不一樣，線路1～5的暫態高頻分量所集中的頻帶依次為：p3、p8、p3、p7、p7。求取系數p3、p7、p8的頻譜范圍分別為：700～800Hz、1 100～1 200Hz、1 200～1 300Hz。

在未加入待測信號前，設置 Duffing振子系統的阻尼比c=0.5，內驅動力gd=0.826。

將各線路提取出的特征頻帶分別輸入混沌振子中，檢測因子經試驗調試設定為0.000 5?；煦缯褡域寗恿穷l率分別為ω1=1 500π、ω2=2 500π、ω3=1 500π、ω4=2 300π、ω5=2 300π。進行時標變換為角頻率ω1=1rad/s時，步長分別為h1=1.473s、h2=2.454s、h3=1.473s、h4=2.258s、h5=2.258s；時標變換前后的變換倍數k1=1/(1 500π)、k2=1/(2 500π)、k3=1/(1 500π)、k4=1/(2 300π)、k5=1/(2 300π)。實驗結果如圖4所示。

圖4 各線路特征頻帶輸入混沌陣子系統后系統相圖Fig.4 Duffing oscillator system’s phase diagram when adding each line’s signal

圖4中，圖4a為混沌系統中未加入待檢測信號的相圖，整個系統完全由內驅動力驅動，系統狀態為明顯的混沌狀態。圖4b～圖4f分別為線路1～5提取的特征頻帶輸入到混沌振子后系統的相圖變化，可以看出，線路1出現了明顯的相變，從混沌狀態轉入到大周期運動狀態，而線路 2、3、4、5仍然都處于混沌狀態，因此判定線路1為故障線路，與仿真設置是一致的。

對不同故障點和接地相進行仿真驗證，結果見下表所示。從表中可以看出，本文提出的選線方法對不同情況下的故障均能準確做出判斷，未出現錯選或漏選，進一步驗證了該方法的有效性。

實際的工程裝置中，高壓電流互感器感應的電流信號可以由DSP或FPGA系統采集及預處理。為了能讓編程人員在 PC上方便地觀察實驗運行過程中數據處理結果，以及在實驗中通過PC對DSP或FPGA 中內部數據進行修改，應用串行通信完成數據的傳輸，可以在PC上方便地觀察實驗運行過程，提高編程的效率。通信軟件有計算機超級終端、Visual Basic、Visual C以及組態軟件等。

5 結論

改進的廣義諧波小波包分解不僅繼承了諧波小波零相移濾波特性和諧波小波包的能夠對信號的無限細分的特性，而且消除了對起始頻率、帶寬和分解層數的限制，實現了更加簡便和精細的信號分解。將時標變換方法應用到混沌振子中，克服了Duffing振子對大頻率信號的限制，實現了對任意頻率成分信號的檢測。當配電網發生單相接地故障時產生不對稱的零序電流，利用改進的廣義諧波小波包算法對各線路零序電流進行分解提取各線路暫態信息最集中的特征頻段，確定起始頻率、頻寬及分層數。利用混沌振子相圖變化正確選出故障線路。對不同故障點和接地相進行了仿真驗證，理論分析及實驗結果證明了該方法的有效性。

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