定積分的背景：面積和路程問題

王瑰麗

（陜西省寶雞市鳳翔縣彪角中學）

一、教學內容分析

課題：定積分的背景—面積和路程問題

課型：新授課

教材：《普通高中課程標準數學教科書·數學選修2-2》（北師大版）

教材分析：本節的主要內容是展現定積分的實際背景，形成定積分的概念。教材設計了3個實例：求曲邊梯形的面積、根據物體運動的速度求路程、求物體拉力做的功。通過這些問題的解決，總結這些問題的解決思路：即通過分割求和、加細、減小誤差，然后再提高精確度的過程，這個過程是定積分思想的核心，為定積分概念的引入奠定了背景和方法的基礎。

二、學情分析

從學生的思維特點看，會從物理角度對問題進行解決。這是積極因素，應因勢利導。

教學對象是學生，雖然經過一年多的高中數學學習，具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。

三、設計思想

《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對這一目標本人認為更加注重培養學生作為學習主體的能動性、獨立性、創造性、發展性。

四、教學目標

1.知識與技能：（1）了解定積分的實際背景。

（2）借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

2.過程與方法：通過洞察不同背景問題中蘊涵的相同數學內涵的過程，領會如何先考慮得到近似解，然后再研究提高精確程度的定積分的解決問題的基本方法，提高從數學角度分析和看待問題的能力。

3.情感、態度與價值觀：通過對不同背景下的問題用統一數學方法的揭示，認識數學與實際生活的聯系，以及數學的廣泛應用。

五、教學重點與難點

1.教學重點：對實際問題解決的分析（即如何通過分割、求和、取極限求出曲邊梯形面積和變速直線運動物體的路程），這個過程是積分思想的靈魂。

2.教學難點：例題的分析及解題思路的總結提煉。

六、教學工具

借助多媒體

七、教學過程

（一）創設情境，提出問題

我們學過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形面積呢？

1.曲邊梯形定義

我們把如圖由直線x=a，x=b（a≠b），y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形叫曲邊梯形。

曲邊梯形概念的理解：

（1）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面圖形。

（2）曲邊梯形與“直邊圖形”主要區別在于前者有一邊是曲線段而“直邊圖形”的所有邊都是直線段。

2.問題提出

問題1圖中陰影部分由拋物線y=x2，直線x=1及x軸圍成的平面圖形，試估計這個曲邊梯形的面積S。

圖1

圖2

（二）操作探究

活動1：方案提出

引導學生回顧曾經用正多邊形逼近圓的方法（即“以直代曲”的思想）求出了圓的面積，讓學生初步形成“以直代曲”的思想，在具體“以直代曲”的過程中能通過小組討論的方式提出多種方案。

活動2：方案落實

方案落實1：將區間［0，1］平均分成5份，如圖所示。

圖3

圖4

在圖3中所有小矩形的面積之和S1顯然大于所求曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的過剩估計值，在圖4中所有小矩形的面積之和S1顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的不足估計值，有 S1=（0+0.22+0.42+0.62+0.82）×0.2=0.24

我們可以用s1或S1近似表示S，但是都存在誤差，二者之差為S1-s1=0.2，但是無論是用s1還是S1來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會超過0.2，如圖5所示。

圖5

圖6

方案落實 2：為減小誤差，我們將區間［0，1］10等分，則所求面積的過剩估計值為 S2=（0.12+0.22+…+12）×0.1=0.385的解決過程是相似的，都是通過分割自變量的區間得到過剩估計值和不足估計值，分割的越細，估計值就越接近精確值；當分割成的小區間的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值都趨于要求的值。）

（三）初步應用

1.計算直線x=0，x=1，y=0和曲線y=x3圍成的陰影圖形的面積。

2.火箭發射 t s 后的速度為 v（t）（單位：m/s），假定 0，對函數v（t）按上式所做的和具有怎樣的實際意義？

（四）小結

本節課主要內容是展現定積分的實際背景，通過對實際問題的求解總結出這類問題的解決思路，即通過分割—以直代曲—作和—逼近。

（五）課后作業習題4-1 A組1，2，3

不足估計值為 S2=（02+0.12+0.22+…+0.92）×0.1=0.285

二者的差值為S2-S2=0.1，此時，無論用S2還是S2來表示S，誤差都不超過0.1。

活動3：探究總結

將區間［0，1］平均分成許多小區間，把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形的面積，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值。

可以想象，區間拆分的越細，近似程度就越好，亦即：用化歸為計算矩形面積和逼近思想來求曲邊梯的面積。可通過以下幾個步驟具體實施：（1）分割；（2）近似代替（過剩和不足估計值）；（3）逼近。

活動4：動手實踐

（1）司機猛踩剎車，汽車滑行5 s后停下，此過程中汽車的速度 v 是時間 t的函數：v（t）=t2-10t+25（0≤t≤5）

請估計汽車在剎車過程中滑行的距離s。

（2）做功問題：一根彈性系數0.4N/cm的彈簧，其拉力F=F（x）=0.4x。彈簧的一端固定在墻上，另一端固定在物體上，在不考慮摩擦的情況下物體在力F作用下勻速移動，從原來位置移動10 cm。估計這一過程中拉力所做的功。

（此過程讓學生自己完成，讓學生體會：在上面的討論中，面積問題、路程問題以及做功問題是三個實際意義完全不同的問題，但他們

八、板書設計

1.1定積分的背景—面積和路程問題（一）創設情景，提出問題1.曲邊梯形的定義2.問題提出（二）操作探究1.方案落實2.探究總結3.動手實踐（三）初步應用