定積分的背景：面積和路程問(wèn)題

王瑰麗

（陜西省寶雞市鳳翔縣彪角中學(xué)）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

課題：定積分的背景—面積和路程問(wèn)題

課型：新授課

教材：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)·數(shù)學(xué)選修2-2》（北師大版）

教材分析：本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實(shí)際背景，形成定積分的概念。教材設(shè)計(jì)了3個(gè)實(shí)例：求曲邊梯形的面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功。通過(guò)這些問(wèn)題的解決，總結(jié)這些問(wèn)題的解決思路：即通過(guò)分割求和、加細(xì)、減小誤差，然后再提高精確度的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是定積分思想的核心，為定積分概念的引入奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，會(huì)從物理角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決。這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。

教學(xué)對(duì)象是學(xué)生，雖然經(jīng)過(guò)一年多的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。

三、設(shè)計(jì)思想

《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流合作的能力”。對(duì)這一目標(biāo)本人認(rèn)為更加注重培養(yǎng)學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體的能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：（1）了解定積分的實(shí)際背景。

（2）借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念。

2.過(guò)程與方法：通過(guò)洞察不同背景問(wèn)題中蘊(yùn)涵的相同數(shù)學(xué)內(nèi)涵的過(guò)程，領(lǐng)會(huì)如何先考慮得到近似解，然后再研究提高精確程度的定積分的解決問(wèn)題的基本方法，提高從數(shù)學(xué)角度分析和看待問(wèn)題的能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)對(duì)不同背景下的問(wèn)題用統(tǒng)一數(shù)學(xué)方法的揭示，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)實(shí)際問(wèn)題解決的分析（即如何通過(guò)分割、求和、取極限求出曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程），這個(gè)過(guò)程是積分思想的靈魂。

2.教學(xué)難點(diǎn)：例題的分析及解題思路的總結(jié)提煉。

六、教學(xué)工具

借助多媒體

七、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

我們學(xué)過(guò)如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形面積呢？

1.曲邊梯形定義

我們把如圖由直線x=a，x=b（a≠b），y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形叫曲邊梯形。

曲邊梯形概念的理解：

（1）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面圖形。

（2）曲邊梯形與“直邊圖形”主要區(qū)別在于前者有一邊是曲線段而“直邊圖形”的所有邊都是直線段。

2.問(wèn)題提出

問(wèn)題1圖中陰影部分由拋物線y=x2，直線x=1及x軸圍成的平面圖形，試估計(jì)這個(gè)曲邊梯形的面積S。

圖1

圖2

（二）操作探究

活動(dòng)1：方案提出

引導(dǎo)學(xué)生回顧曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法（即“以直代曲”的思想）求出了圓的面積，讓學(xué)生初步形成“以直代曲”的思想，在具體“以直代曲”的過(guò)程中能通過(guò)小組討論的方式提出多種方案。

活動(dòng)2：方案落實(shí)

方案落實(shí)1：將區(qū)間［0，1］平均分成5份，如圖所示。

圖3

圖4

在圖3中所有小矩形的面積之和S1顯然大于所求曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的過(guò)剩估計(jì)值，在圖4中所有小矩形的面積之和S1顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的不足估計(jì)值，有 S1=（0+0.22+0.42+0.62+0.82）×0.2=0.24

我們可以用s1或S1近似表示S，但是都存在誤差，二者之差為S1-s1=0.2，但是無(wú)論是用s1還是S1來(lái)表示曲邊梯形的面積，誤差都不會(huì)超過(guò)0.2，如圖5所示。

圖5

圖6

方案落實(shí) 2：為減小誤差，我們將區(qū)間［0，1］10等分，則所求面積的過(guò)剩估計(jì)值為 S2=（0.12+0.22+…+12）×0.1=0.385的解決過(guò)程是相似的，都是通過(guò)分割自變量的區(qū)間得到過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值，分割的越細(xì)，估計(jì)值就越接近精確值；當(dāng)分割成的小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0時(shí)，過(guò)剩估計(jì)值和不足估計(jì)值都趨于要求的值。）

（三）初步應(yīng)用

1.計(jì)算直線x=0，x=1，y=0和曲線y=x3圍成的陰影圖形的面積。

2.火箭發(fā)射 t s 后的速度為 v（t）（單位：m/s），假定 0，對(duì)函數(shù)v（t）按上式所做的和具有怎樣的實(shí)際意義？

（四）小結(jié)

本節(jié)課主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實(shí)際背景，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的求解總結(jié)出這類問(wèn)題的解決思路，即通過(guò)分割—以直代曲—作和—逼近。

（五）課后作業(yè)習(xí)題4-1 A組1，2，3

不足估計(jì)值為 S2=（02+0.12+0.22+…+0.92）×0.1=0.285

二者的差值為S2-S2=0.1，此時(shí)，無(wú)論用S2還是S2來(lái)表示S，誤差都不超過(guò)0.1。

活動(dòng)3：探究總結(jié)

將區(qū)間［0，1］平均分成許多小區(qū)間，把曲邊梯形拆分成一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形的面積，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值。

可以想象，區(qū)間拆分的越細(xì)，近似程度就越好，亦即：用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近思想來(lái)求曲邊梯的面積。可通過(guò)以下幾個(gè)步驟具體實(shí)施：（1）分割；（2）近似代替（過(guò)剩和不足估計(jì)值）；（3）逼近。

活動(dòng)4：動(dòng)手實(shí)踐

（1）司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行5 s后停下，此過(guò)程中汽車的速度 v 是時(shí)間 t的函數(shù)：v（t）=t2-10t+25（0≤t≤5）

請(qǐng)估計(jì)汽車在剎車過(guò)程中滑行的距離s。

（2）做功問(wèn)題：一根彈性系數(shù)0.4N/cm的彈簧，其拉力F=F（x）=0.4x。彈簧的一端固定在墻上，另一端固定在物體上，在不考慮摩擦的情況下物體在力F作用下勻速移動(dòng)，從原來(lái)位置移動(dòng)10 cm。估計(jì)這一過(guò)程中拉力所做的功。

（此過(guò)程讓學(xué)生自己完成，讓學(xué)生體會(huì)：在上面的討論中，面積問(wèn)題、路程問(wèn)題以及做功問(wèn)題是三個(gè)實(shí)際意義完全不同的問(wèn)題，但他們

八、板書(shū)設(shè)計(jì)

1.1定積分的背景—面積和路程問(wèn)題（一）創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題1.曲邊梯形的定義2.問(wèn)題提出（二）操作探究1.方案落實(shí)2.探究總結(jié)3.動(dòng)手實(shí)踐（三）初步應(yīng)用