高中數學“導數”教學問題探究

羅婭+湯強

摘要：隨著新課程標準的改革，導數作為新的知識出現在高中數學教材中，導數的研究，進一步的為解決了求函數的零點，復合函數單調性，以及不等式的證明等方面的問題提供了簡潔的方法。但在中學教學過程中卻存在三種典型的“偏見”，而如果教學中回避這些“偏見”，會導致我們不能正確定位高考考點，使學生對導數概念模糊不清，教師如何高效的處理好這些“隱患”把導數這一教學板塊教學好，是值得的我們商確和反思的。

關鍵詞：導數;教學;問題

中圖分類號：G635文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）10-0057-02

導數是高中數學的重點之一，也是歷年高考數學試題命制的熱點和重點，題型變化靈活，能考察學生數形結合、分類討論的能力。除了傳統的求單調性、最值外，還增加開放性、探究性問題等;所以學習好導數是非常有必要的，然而教學中卻存在了一下幾點教學偏見。

1.偏見之一：忽略函數極限的內容直接講導數定義

極限這個詞匯來源于數學微積分，極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。高中教材中所體現的極限思想即有數列極限和函數極限兩種，雖然說極限這個數學概念實在大學中進一步深入研究探討的，但是在研究導函數概念的由來就必須要初步的掌握極限的相關知識，例如在導函數公式中

f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx

就存在無限趨近的概念，變量無限趨近于0，這種數值逼近也是極限思想的一種體現。而在學習導數定義時，是將我們的平均速度近似看做瞬時速度，也是一種極限思想，因此在導數新課的講解中，不能忽視不講極限，跳過極限而給學生講導數，而是應該讓學生了解到極限的存在，以及講解簡化極限的知識內容，讓學生自身感悟極限的思想和過程，為大學深入學習微積分打下基礎。高考中也存在極限的考法：

比如下例：

例1（2011年四川卷理科5題）

limx→x0f（x）存在是函數f（x）在點x=x0連續的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

分析：理論基礎：（高等數學）

函數在某點連續，滿足條件：

（1）函數在此點有定義;

（2）函數在此點的左右極限相等;

（3）函數在此點的極限值和函數值相等。

所以說極限存在的前提是要滿足以下三點，上述問題表述的易得到答案（B）。

2.偏見之二：過分重視教材實例，忽視指導觀察函數本質

在新課改之前的數學教學過程中，教師教導導函數一般就是直接給學生陳訴概念，讓學生記憶概念內容，并沒有闡述導函數概念的由來，新課改后，教學強調理論聯系實際，體現數學其實從生活中提取出來的數學模型，為了更加貼切生活，教材中確實呈現了多種與導函數由來的生活實例與背景，在導函數開篇，就以一道關于氣球膨脹求瞬時速率的問題，接著所有的例子基本都是與生活掛鉤的，比如說求濃度，溫度，變量的速率，直觀的體現了新課改的特點，可是這樣真的能讓學生很好的掌握了導函數的本質么？

其實例子是可以舉，但是不能強把所有的只要有求變量速率的東西都往導函數靠攏，要抓導函數的本質，其實實例中所呈現出來本質上也是一種函數，可能這些函數是我們的基本初等函數，有些則是抽象函數，但解決的方法往往是抓住變量與變量之間的改變而得到的結果，譬如教師舉了太多實例的東西，如果這時候，我們舉出一道求“函數y=x2從到的平均變化率”，難道學生還要把它轉化為實際問題來做這道題？解決這道題關鍵是抓住自變量的改變和自變量改變引起的函數值的改變，從而得到結果，所以教師在講解過程中，不能太重實例，要透過現象看本質，不管是實例還是非實例，都是要通過指導學生觀察發現函數模型，函數模型抓到了，解決起來就容易的多。

例2：一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會逐漸下降，溫度T（單位：℃）與時間t（單位：min）間的關系，由函數T=f（x）表示。

（1）f（t）的含義是什么？f（t）的符號是什么？為什么？

（2）F（3）=-4的實際意義是什么？如果f（3）=60（℃），你能畫出函數在點t=3時圖象的大致形狀嗎？

解析：

（1）f（t）的含義表示“瞬時溫度”，紅茶溫度在下降，f（t）的符號是負號，f（t）<0.

（2）F（3）=-4表明在3℃附近時，紅茶的溫度約以4℃）/min的速度下降。

T=f（t）在點（3，60）處的切線斜率K=-4.

T=f（t）在t=3時的圖象的大致形狀如圖所示。

3.偏見之三：“止”于教材學導數

由于近幾年高考題中參照了教科書中的習題例題來出題，所以我們更要重視教材這一觀念本身沒錯，但是“止”于教材學導數，就大大違背了這一觀念，這并不是要求我們只把教材上的內容處理好就可以了，高考題考察的是導函數概念的本質，如果我們把本質東西弄懂了，那么即使不是一樣的數據的題型，我們依然會可以輕松的解決問題。

例3.（2013年高考廣東文科卷第21題）

設f（x）=x3-kx2+x（k∈R）

（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間;（2）當k<0時，求函數f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M。

教材原型（人教A版高中數學教材選修2-2第26頁練習1（4））

判斷函數f（x）=x3-x2-x的單調性，并求出單調區間。

演變過程高考題是上述教材原型題的改編題，將二次項系數-1改為參變量-k，一次項系數-1改為+1.高考真題2的第（Ⅰ）問，實質上就是教材習題中的求函數的單調區間，第（Ⅱ）問是在第（Ⅰ）問的基礎上增加對參數的討論，求三次函數在給定區間上的最值問題，需要我們熟練掌握含參數討論求最值問題.endprint

從以上的分析中我們可以看出，教材在高考復習中占據著不可替代的地位.教材的例題和習題蘊含著豐富的知識點、數學思想方法和解題技巧.我們若能對一些典型的例題、習題進行認真的深究，在高三復習中合理地再利用，挖掘其內在的潛能，探求到更一般的結論，做到知識點、思想方法源于教材卻又高于教材，如此不僅能提高解決似曾相識的問題的速度和能力，也有利于提高高考復習的質量。

4.教學建議

針對以上出現的三個教材中常見的偏見，我將制定以下教學方案：

課時名稱極限導數在生活

中的模型導數的概念導數的幾何意義拓展延伸課

課時內容極限產生，極限的定義和左右極限平均速率，瞬時速率導數的概念

導函數的概念切線割線的概念，變化率的幾何意義導函數的數學發展歷史

過程呈現介紹割圓術的產生從而引發的極限思想，讓學生直觀通過幾何圖形感受到極限思想的產生和應用，進一步引出極限概念重點講解教材中的一個實例另外在講一個函數模型，讓學生自身提煉函數模型，解題關鍵技巧借助上節課內容讓學生自身琢磨導數的概念，引出導數導函數概念通過教材中的例題展現切線割線的概念，以及如何利用導函數求解函數的切線方程，以及介紹闡述變化率的幾何意義多媒體課件

鞏固練習對應結合例題進行改編變式題教材中的經典習題以及課后習題，高考題中經典考題延伸概念，例題習題鞏固參照課本，課后習題，高考真題進行指導學生

事實上，講好第2和第3課時是講好導函數這節內容的觀念，要求教師重點把握這兩節的處理對教師本身對教材的理解有一定的難度和挑戰性，這對今后教學，備考的啟示與建議：

（1）在研究函數單調性的方法上，我們學過兩種解決函數單調性方法，一是定義法，另一種是求函數導函數求解，但是運用求導數法一般比用單調性定義等常規方法簡單易行，我們需要在面對不一樣的題型面前選擇適合的方式進行求解，常見的基本初等函數直接用定義法即可解決，針對復合函數，最好利用導函數解決更加簡單易行，要注意的是不管用那種方法求解，都要注意函數定義域的取值范圍這個是許多學生出錯的地方。

（2）建議新教材畢竟把平面向量提前，不等式一章也可適當前置，為系統學習函數理論做好必要的鋪墊。高三總復習時，可適當調整順序，如把導函數歸為函數一類進行復習。有效的掌握函數的性質，最值單調性等

（3）對于極限這種新知識點，大致講講即可，切勿深入研究。

（作者單位：西華師范大學）

參考文獻：

[1]課程教材研究所.面向21世紀中小學教材建設現代化研究與實踐[M].北京：人民教育出版社，2003：7

[2]人民教育出版社課程教材研究所等編著.普通高中數學課程標準實驗教科書（選修2-2，2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]波利亞著：《怎樣解題》，科學出版社

[4]波利亞著：《數學的發現對解題的理解，研究和講授》，科學出版社endprint