負遷移的若干類型及其克服

黃富龍

“正遷移”如燈塔指引我們走向勝利的彼岸，而“負遷移”卻如迷霧把我們引向歧途。只有撥開“負遷移”引起的迷霧，我們才能看得更清、走得更遠。下面我們通過教學中遇到的問題說明負遷移的若干類型及其克服方法，期望對教師的教學有所啟發和幫助。

1 負遷移的若干類型

1.1概念不清引起的負遷移

例1：已知xi≥0（i=1，2，…，n），且x1+x2+…+xn=1. 求證：1≤+ +…+≤ .（提示：由2≤x1+x2=1類比證明）

本題出自湘教版《數學選修2-2》（第117頁第2題），筆者在課堂上給出的解法是：

∵0≤xi≤1（i=1，2，…，n），∴0≤xi≤≤1（i=1，2，…，n），∴+ +…+≥x1+x2+…+xn=1。

又∵（+ +…+）2= （x1+x2+…+xn）2（ + ?+…+ ?+ ?+…+ ）≤（x1+x2+…+xn）+（x1+x2）+（x1+x3）+…+（x1+ xn）+（x2+ x3）+…+（xn-1+xn）=n（x1+x1+…+xn）=n

∴+ +…+≤。

∴1≤+ +…+≤。

一個成績很不錯的學生疑惑地看著筆者：“老師，您是不是解錯了？”學生將自己的解題過程板書如下：

∵+ +…+≥n=n……①，

又∵n≤n ?= n（）1/2=……②，

∴+ +…+≥……③.

筆者問：“為什么由①②兩式可以推出③成立？”

學生：“①式恒成立，自然有①式左邊的式子大于等于右邊式子的最大值。”

學生的思路似乎很有道理，但明顯是錯了。筆者舉了一個反例：取x1=x2=x3=x4=0.25，x5=0，顯然有x1+x2+…+x5=1，但+ +…+=2，并不大于等于。

學生意識到錯了，但究竟錯在哪里？學生們瞪大眼睛。筆者解釋：首先從不等式結構來看，①和②不是同向不等式，由①②推不出③，即不滿足不等式的傳遞性。其次，①式不是恒成立問題，而是一個恰成立問題。這位同學是把我們以前學過的恒成立問題與恰成立問題、能成立問題混淆了。

筆者繼續解釋：若不等式f（x）>A在區間D上恒成立，則等價于函數f（x）在區間D上的最小值大于A，若不等式f（x）2x，x∈[-2，4]，求x 的范圍。并沒有要求x2+1>8x>，不等式的解是x∈[-2，1）∪（1，4]。也就是說，x2+1>2x成立并不需要x2+1大于2x的最大值，因為左右兩邊都是變量，并不像 f（x）≥A恒成立的形式。

學生點頭表示理解之后，筆者再舉例，引導學生進一步分辨清“恒成立問題”“能成立問題”“恰成立問題”。其實，學生的錯誤也是一種很好的教學資源，也是鞏固知識、生成正確認識的契機。

1.2類比不當引起的負遷移

例2：等差數列{an}的依次k項的和組成的數列a1+a2+…+ak ，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+amk（mk≤n）仍為等差數列.請問將該命題中的 “等差數列”改作“等比數列”，那么以上結論還成立嗎？

這個題目很多學生容易回答成立。其實，在這道題中，等比數列依次k項的存在有為0的情況 （如等比數列1，-1，1，-1，…，的依次2項的和構成的數列為0， 0， … .）， 而根據定律，0是不能作為等比數列的項的，所以等差數列中的這個結論在變為等比數列之后，就不再成立.

正確的類比結論是：等比數列{an}的依次k項的和（若不為零）組成的數列a1+a2+…+ak，ak+1+ak+2+…+a2k，…，a（m-1）k+1+a（m-1）k+2+…+amk（mk≤n）仍為等比數列，這樣的結果就判定為正確。

例3：已知，，都是非零向量，λ∈R，有下列5個等式或命題：①·=·;②（+）=+;③（）=（）;④λ（+）=λ+λ;⑤若（）=，則=.

則所有正確等式或正確命題的序號是_____ .

錯解：填①②③④⑤.

剖析：向量不同于實數，向量是有大小有方向的量，故③是錯誤的，因為∈R，（）與共線，而（）與共線，但與未必共線，故③不正確。

⑤也是錯誤的，可舉一個反例，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，假設=，=，=，∵⊥，⊥;∴=0=，但≠，所以⑤是不正確的。

因此，正確的選項為①②④。可見，概念模糊也會引起負遷移。

1.3想當然引起的負遷移

例4：具有公共y軸的兩個直角坐標平面α和β所成的二面角α-y軸-β等于60°. 已知β內的曲線C′的方程是y2=2px′（p>0），求曲線C′在α內的射影的曲線方程。

許多同學是這樣解的： 依題意，可知曲線C′是拋物線，

在β內的焦點坐標是F′（，0），p>0。

因為二面角α-y軸-β等于60°，

且x′軸⊥y軸，x軸⊥y軸，所以∠xox′=60°

設焦點F′在α內的射影是F（x，y），那么，F位于x軸上，

從而y=0，∠F′OF=60°，∠F′FO=90°所以OF=OF′· cos60°=·=. 所以點F（，0）是所求射影的焦點。依題

意，射影為拋物線，開口向右，頂點位于原點。

所以曲線C′在α內的射影的曲線方程是y2=px。

上述解答的錯誤為：憑直覺誤認為焦點F′在α內的射影F是焦點，其次未通過證明直接得出拋物線C′在α內的射影也是拋物線。正確解法是：在β內，設點M（x′，y′）是曲線上任意一點。

過點M作MN⊥α，垂足為N，

過N作NH⊥y軸，垂足為H連接MH，

則MH⊥y軸，所以∠MHN是二面角α-y軸-β的平面角，依題意，∠MHN=60°。

在RtΔMNH中，=HM·cos60°= x′。

又知HM/x′軸（或M與O重合），HM/x軸（或H與O重合），設N（x，y），

則

因為點M（x′，y′）在曲線y2=2px′（p>0）上，所以y2=2px（2x）。

即所求射影的方程為y2=4px（p>0）。

說明：“想當然”可能是正確解題的一條途徑，甚至可能是科學發現的一個通道，但也可能出現嚴重的錯誤，避免錯誤就要進行推理論證。

2 負遷移的克服

根據以上對數學教學中的負遷移現象的分類及一般特點的歸納和分析，教師在教學過程中同時運用教育學的普遍原則，根據學生的認知規律，總體上可以采用以下三種基本教學策略。

2.1加強對比教學

對比分析法是教學中一種非常重要的方法，可使學生較快地掌握概念，同時它還是一種非常重要的思維方法。學生在對相似、相近或相關的知識進行比較分析時，正確使用對比教學法，不僅能夠更加了解知識本質，同時還能對它們之間的區別和聯系加以更好地掌握，從而有利于學生學習，有效防止或消除知識的負遷移。對比分析的方法很多，教師在教學過程中應當一一予以分析講解。例如：為了避免互斥事件帶來負遷移效應，在教學中，教師可采用“相似對比法”，對比分析互斥事件與相互獨立事件的區別與聯系。互斥與相互獨立的事件是兩個截然不同的概念，雖然它們同屬于對兩個事件的關系進行描述，但不同點在于：兩者針對問題的角度是不一樣的，前者是能不能同時發生，后者則著眼于有沒有影響。另外，從試驗的次數來加以區別，前者是指在同一次試驗中，出現的幾種不同事件，后者則是分兩次或兩次以上的不同試驗影響下出現的不同事件。同時要有意編選一些能鑒別“互斥”與“相互獨立”的實例，引導學生通過對比，更好地掌握和區分這兩個概念，從而防止因混淆關系而致誤。

2.2加強探究教學

數學探究學習是指學生圍繞某個數學問題進行自主探究、學習的這一過程。過程包括：觀察、分析數學事實，提出數學問題、猜測數學結論或規律，給出解釋、證明。探究性學習的精髓在于學生自主學習，即使他們由被動地接受知識轉變為知識的探索者，通過自主學習，積極思考和合作討論來獲取有用的知識。譬如：定義與概念是數學的精髓，是靈魂，是對數學現象的高度抽象和概括，只有準確理解概念，才能防止定義和概念的負遷移現象，以致能夠對定義與概念進行準確的運用。因此在學習一個新的數學概念時，必須對數學要領的具體形成過程和本質有更加深入地探究，對每一個定義概念進行更加深入的理解、反思和類比，這樣有助于真正掌握概念，從而克服因“相關概念的干擾”以及“概念理解不全的干擾”而出現的負遷移現象。

2.3加強習題教學

當學生對數學概念和規律的理解得不深不透時，教師可在布置平常的數學練習中，有意識地選編一些容易學生平常可能出現錯誤的題目，讓學生多做、多思考，從而能夠在錯誤中學習經驗，“吃一塹，長一智”，以達到事半功倍的效果，以求日后再考試中取得更好的成績。另外，教學中還要圍繞課本中的重點、難點和疑點等內容，必須從不同角度構造問題，通過演練促使學生對問題的實質產生全面準確地理解，這樣就可以更好地培養學生的遷移能力。譬如，對于導數在單調性與極值應用中的問題，由于導數等概念的抽象性，學生對基礎知識掌握不全面性或對題意理解不準確等而導致經常出現一些錯誤現象。針對這種情況，教學時不妨選編像以上這樣的有關問題，讓學生去練習、去分析和思考，從而防止學生知識負遷移。