無用方為大用

牛獻(xiàn)禮 中學(xué)高級教師，小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，現(xiàn)任教于北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

曾于1999年榮獲全國小學(xué)數(shù)學(xué)第四屆評優(yōu)課一等獎(jiǎng)；多節(jié)錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發(fā)行；2012年12月，在中國教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)第十五屆年會(huì)上執(zhí)教觀摩課。在省級以上教育刊物上發(fā)表教學(xué)論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級以上獎(jiǎng)勵(lì)，參與編寫《名師如何觀察課堂》《名師課堂DNA解碼》（小學(xué)數(shù)學(xué)卷）、《可以這樣教數(shù)學(xué)》（數(shù)學(xué)名師的教學(xué)智慧）等多本教育書籍，主持的5項(xiàng)教育科研成果獲省級一、二等獎(jiǎng)。

當(dāng)下，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力主要來自外部，更多的是來自分?jǐn)?shù)的壓力，而不是來自對數(shù)學(xué)內(nèi)在的一種好奇與興趣。做題幾乎成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一方式，由此失去了許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。很多教師都企盼自己的學(xué)生能在考試中取得高分，卻很少能體諒學(xué)生們學(xué)得累不累、煩不煩。其實(shí)，“對學(xué)習(xí)內(nèi)因的最好激發(fā)是對所學(xué)材料的興趣”（布魯納語）。成長永遠(yuǎn)都是一件不能急于求成的事情，需要我們放慢腳步來傾聽花開的聲音，從慢的角度做一點(diǎn)看似“無用”的事，用對考試“無用”的學(xué)習(xí)材料開拓學(xué)生的視野，激發(fā)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，用“無用”的閱讀、思考、交流激發(fā)他們潛藏的能力、志趣、愛好。

基于此，我在日常教學(xué)中嘗試開設(shè)“數(shù)學(xué)閱讀課”。講到“閱讀”，乍一聽好像是語文課和外語課中的專用名詞，其實(shí)不然！“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”（A·A·斯托利亞爾語），而語言的學(xué)習(xí)是離不開閱讀的。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)語言發(fā)展水平低的學(xué)生，數(shù)學(xué)理解力也差，思維轉(zhuǎn)換慢，理解問題時(shí)常發(fā)生困難和錯(cuò)誤，大凡數(shù)學(xué)成績較好的學(xué)生對數(shù)學(xué)語言都有較好的理解力，能正確地理解和獲取各種數(shù)學(xué)信息。但是，由于數(shù)學(xué)語言形式的多樣性（包含文字、符號、圖形等多種形式）以及數(shù)學(xué)知識的抽象性等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)閱讀材料并不像語文閱讀材料那樣通俗易懂而富有故事性和趣味性。數(shù)學(xué)閱讀更需要學(xué)生勤思多想，對每一個(gè)字詞、符號與圖形的含義以及它們之間的關(guān)系都要認(rèn)真思考、仔細(xì)閱讀，才能準(zhǔn)確、全面地理解。另外，數(shù)學(xué)閱讀更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的多感官參與，不能只是用眼睛瀏覽，而應(yīng)是眼、口、手、腦等多種感官充分協(xié)同參與，養(yǎng)成“邊閱讀，邊思考，邊計(jì)算”的習(xí)慣。

選擇什么素材作為閱讀內(nèi)容呢？我確定了三個(gè)原則：一是學(xué)生感興趣的，因?yàn)椤芭d趣是最好的老師”；二是學(xué)生經(jīng)過思考能夠理解的，必須“跳一跳才能摘到果子”（否則缺乏挑戰(zhàn)性，心智得不到鍛煉），最終又能夠“摘到果子”（否則會(huì)挫傷積極性）；三是能夠增長學(xué)生見識，能感受到數(shù)學(xué)的魅力。通過查閱大量資料，反復(fù)比對和篩選，最終選擇了如下一些題材作為數(shù)學(xué)閱讀的內(nèi)容：有趣的222；“數(shù)字黑洞”探秘；神奇的“走馬燈數(shù)”——142857；冰雹猜想；回文數(shù)猜想；奇妙的數(shù)字金字塔——楊輝三角形，等等。

選好了閱讀素材，又該怎樣把這些抽象、枯燥、只適合成人閱讀的數(shù)學(xué)知識加工成通俗、有趣且適合兒童探究的學(xué)習(xí)材料呢？我從精心設(shè)計(jì)問題開始，因?yàn)椤皢栴}是數(shù)學(xué)的心臟”，具有挑戰(zhàn)性的問題能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行有目的的閱讀，也能促使學(xué)生的閱讀逐步深入。為了增強(qiáng)學(xué)生對閱讀數(shù)學(xué)材料的興趣，我把學(xué)習(xí)材料精心設(shè)計(jì)成彼此關(guān)聯(lián)的“問題串兒”，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下有目的地去閱讀、去思考、去計(jì)算，尋求問題的答案。學(xué)生閱讀的過程就是在經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—再猜想—再驗(yàn)證”的“科學(xué)探究”的過程，就是在經(jīng)歷對知識的體驗(yàn)和探索的過程，就是在經(jīng)歷“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”之后無比愉悅的心理體驗(yàn)過程。

一般地，數(shù)學(xué)閱讀課的教學(xué)流程如下：背景介紹、激發(fā)興趣—自主閱讀、嘗試探究—互動(dòng)對話、交流提升。課堂上留出充足的時(shí)間讓學(xué)生去自主閱讀、嘗試探究，幫助學(xué)生真正進(jìn)入思維狀態(tài)，讓閱讀真正成為充滿思考的學(xué)習(xí)過程。教師密切關(guān)注學(xué)生的閱讀進(jìn)程，視情況適時(shí)介入，在關(guān)鍵處點(diǎn)撥、引領(lǐng)學(xué)生的思維。教學(xué)中，注重利用學(xué)生間的差異資源，讓進(jìn)度較快、率先完成閱讀任務(wù)的同學(xué)充當(dāng)“小老師”，協(xié)助老師指導(dǎo)幫助個(gè)別有困難的學(xué)生。這樣，閱讀教學(xué)的課堂就形成了你追我趕的競爭性氛圍和同學(xué)之間互幫互助的合作學(xué)習(xí)氛圍。

經(jīng)過一段時(shí)間的實(shí)踐，數(shù)學(xué)閱讀課的成效初步顯現(xiàn)。學(xué)生們在閱讀中開闊了數(shù)學(xué)視野，感受到了數(shù)學(xué)知識的博大精深和魅力所在，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣也越來越濃。還記得學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)閱讀之冰雹猜想”時(shí)是一個(gè)周五，閱讀材料中介紹：“英國劍橋大學(xué)教授John Conway找到了一個(gè)自然數(shù)27。如果按照文中所述方法進(jìn)行運(yùn)算，掉入“數(shù)字黑洞”的全部過程一共需要111步。”這樣介紹原本只是想讓學(xué)生了解“冰雹猜想”中還有如此特殊的數(shù)而已，并不要求學(xué)生親自去計(jì)算，因?yàn)椴襟E太繁瑣了！沒想到周一剛到校，就有幾個(gè)同學(xué)找到我說，他們利用雙休日的時(shí)間親自求證了一下，真的用111步計(jì)算讓“27”掉入了“數(shù)字黑洞”，前后耗費(fèi)了兩個(gè)多小時(shí)，還都樂此不疲——“這樣的計(jì)算，我喜歡！”也有家長通過QQ給我留言，說自家孩子原本很貪玩，那天卻在家里一直坐在那里驗(yàn)算、推導(dǎo)，整整兩個(gè)多小時(shí)，直到把結(jié)果算出來才起身去吃飯、休息，這是在他以往的學(xué)習(xí)中從來沒有發(fā)生過的事情。

數(shù)學(xué)閱讀課的效果如此之好有些出乎意料，令人振奮！這也堅(jiān)定了我在應(yīng)試的背景下還要做一些“無用”之事的想法。或許，這些看似“無用”的種種，卻使得數(shù)學(xué)作為“成長載體”的教育價(jià)值得以彰顯，那些可以普遍遷移的，如興趣、好奇心（洞察力）、質(zhì)疑能力、探究能力、反思精神、合作精神的養(yǎng)成有可能成為現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)課程有可能發(fā)展成為一塊孕育發(fā)現(xiàn)的沃土。

附：“神奇的‘走馬燈數(shù)”閱讀材料

神奇的“走馬燈數(shù)”——142857

142857，又名“走馬燈數(shù)”。它被發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，是一組世界上最神奇的數(shù)字。神奇在哪里呢？我們先來做一個(gè)游戲：把這個(gè)142857從1到6按順序分別乘一下，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

142857×1=（ ）

142857×2=（ ）

142857×3=（ ）

142857×4=（ ）

142857×5=（ ）

142857×6=（ ）

我發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是： 。

怎么樣？有點(diǎn)意思吧？現(xiàn)在明白142857為什么叫“走馬燈數(shù)”了吧？

現(xiàn)在，讓我們繼續(xù)……

142857×7=（ ），計(jì)算的結(jié)果是否讓你感覺很驚訝？

再把142857這個(gè)數(shù)字分解成兩個(gè)數(shù)字：142，857。

這兩個(gè)數(shù)字之和142+857=（ ）。

再把142857分解成三個(gè)數(shù)字：14，28，57。

這三個(gè)數(shù)字之和，14+28+57=（ ）。

再把142857分解成六個(gè)數(shù)字：1+4+2+8+5+7=27，2+7=（ ）。

最后，我們用142857×142857=20408122449，再算一算乘積的前五位+后六位的得數(shù)是多少呢？

20408+122449=（ ）。

是不是覺得這些數(shù)字很神奇啊？

那么，如果是除法呢？ 。

142857÷7=20408.142857142857……，商可以簡寫作（ ）

285714÷7=40816.285714285714……，商可以簡寫作（ ）

428571÷7=61224.428571428571……，商可以簡寫作（ ）

571428÷7=81632.571428571428……，商可以簡寫作（ ）

714285÷7=102040.714285714285……，商可以簡寫作（ ）

857142÷7=122448.857142857142……，商可以簡寫作（ ）

我的發(fā)現(xiàn)：

再算一算：142857÷2=（ ），142857÷5=（ ），

1÷7=（ ）。

142857還有更神奇的地方等待你去發(fā)掘！怎么樣？難道你不覺得數(shù)學(xué)真是一個(gè)奇妙的科學(xué)嗎？看似枯燥，但只要做個(gè)有心人總能發(fā)現(xiàn)它的神奇。