高中數學概念教學的現狀分析及對策研究

陳燕鋒杭州市蕭山三中

高中數學概念教學的現狀分析及對策研究

陳燕鋒
杭州市蕭山三中

一、高中數學概念教學的現狀分析

當前，不重視概念教學是一個比較普遍的現象，“一個定義，三個注意項”式的概念教學比比皆是，讓學生覺得學習數學概念枯燥乏味，影響了對數學概念的理解。先看我校高一備課組舉行的“同課異構”教研活動中兩位教師執教的關于“函數的奇偶性”一課的案例片斷。

【教師甲】

師：前面我們研究了函數的單調性，同學們已經知道函數的單調性是函數的一個重要性質，它在解決函數的問題中有著十分廣泛的應用。今天這節課，我們要學習函數的另一個重要性質——奇偶性。（板書課題：函數的奇偶性）

師：什么是函數的奇偶性呢？請大家打開課本第33和35頁，看教材中是怎么闡述的。（大約2分鐘后）

師：哪位同學說說看。

生1：設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x?A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數y=f（x）是偶函數，如果對于任意的x?A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數y=f（x）是奇函數。（學生口述，教師板書）

師：很好！如果函數y=f（x）是奇函數或偶函數，它的定義域A應該具有怎樣的特點？

生2：關于原點對稱。

師：說說你的理由。

生2：因為如果x?A，則只有-x?A，才能計算f（-x）。

師：真不錯！如果函數y=f（x）是奇函數或偶函數，它的圖象又具有怎樣的特點呢？

生3：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。

師：非常好！看來同學們已經作了很好的預習。如果函數y=f（x）是奇函數或偶函數，我們就說函數y=f（x）具有奇偶性。函數的奇偶性是函數的又一重要性質，它在解決函數問題時有著十分廣泛的應用。請大家看下面的問題。（投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4）

（師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程，深化對函數奇偶性的認識和理解。）

【教師乙】

師：請同學們回顧上節課學習的函數單調性的定義、單調區間及判斷函數單調性的方法。

（學生回答略）

師：很好！下面我們研究函數的第二個性質——奇偶性。

師：請同學們先看一個我們熟悉的函數f（x）=x2，計算f（1）與f（-1），f（2）與f（-2），f（3）與f（-3），能得出怎樣的結論？

生：對于y=x2，當自變量取一對相反數時，y取同一值.f（x）= y=x2記，有，一般地，有f（-x）=-f （x）。

由此啟發學生得出奇（偶）函數的定義.強調：①定義本身蘊含著函數的定義域必須是關于原點的對稱區間；②“定義域內任一個”是指對定義域內的每一個x；③判斷函數奇偶性最基本的方法是先看定義域，再用定義檢查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f （x））。

（以下是例題鞏固、數學應用的環節）

從上面兩個案例不難看出當前概念教學的現狀：

現狀一：一個定義三項注意

教師甲從上課開始到給出定義，總共花了不到10分鐘的時間，接著進行運用函數奇偶性的概念進行解題的訓練。對函數奇偶性這一概念建立的過程沒有很好地展開，為什么要研究函數的奇偶性？函數的奇偶性的定義為什么要這樣給出？…課堂中，教師不舍得在概念、定義的發生發展過程上花時間，認為這樣“太虛”，不如讓學生多做幾個題目實在。因而概念教學常常用“一個定義三項注意”的方式，告訴學生定義的內容，強調幾個注意事項，然后就講例題、做練習。實踐表明，這樣的教學結果只能是機械模仿，不可能有理想的解題質量和效率。

現狀二：無視學生認知需求

教師乙讓學生通過對兩個特殊函數的研究，抽象出函數奇偶性的概念，符合特殊到一般的認知規律。但是，為什么要研究函數的奇偶性？為什么要計算f（1），f（-1），…？為什么要用這樣的方式給出函數奇偶性的定義？顯然，教師在進行教學設計和過程實施時，只是為了教而教，無視學生的認知需求，其結果是忽視了構成概念的基礎條件，留給學生更多的只是些文字和公式，所傳授的概念距離學生的理解和經驗太遠，影響數學概念的掌握。

二、高中數學概念教學的對策研究

在概念的教學中如何引導學生自主建構，提高概念外化與內質抽象的思維質辨力度呢？為此，筆者嘗試在概念形成的不同階段，選擇運用不同的教學策略，供大家參考。

對策1：創設情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，學生對數學概念的感性認識是通過教師的直觀教學方法獲得的。概念的引入是概念教學的關鍵，概念是抽象的、概括的，每一個概念的產生都有豐富的知識背景，形成準確概念的首要條件是要讓學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料，在概念教學中，可以根據概念和學生的認知特點，創設數學概念形成的問題情景，體會到數學概念引進的必要性和必然性，讓學生有自己發現的感覺，幫助學生完成從感性認識到理性認識的過渡。

【案例1】“n次獨立重復實驗”的概念教學片斷問題情境設計：

用動畫創設情境，丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹，假設每棵樹的成活率都為0.75，請思考以下兩個問題：（1）他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響？8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響？（2）所種的每一棵樹，可能出現哪些不同的結果？

進一步創設情境，對比分析，感知概念。

在下列試驗中，與丙丙和丁丁種樹試驗具有共同特征的有（）

①某射手射擊一次，擊中目標的概率是0.9，他連續射擊4次。

②姚明罰球的命中率是0.9，他連罰3次。

③一枚硬幣連續扔5次。（5枚硬幣一起扔出）

④袋中5個白球，3個紅球，有放回取球，每次取一個，連續3次。

⑤袋中5個白球，3個紅球，無放回取球，每次取一個，連續3次。

點評：通過以上情境設置，學生思考，教師引導感知，形成概念。師生共同歸納得出現象的共同點：在同樣條件下重復的進行的一種試驗；各次試驗之間相互獨立，相互之間沒有影響；每一次試驗只有兩種結果，即某事發生或不發生，并且任意一次試驗中發生的概率都是一樣的，揭示概念。

【感悟】教學時不要生硬地拋出概念，讓學生死記硬背，應從實際出發，創設情景，提出問題，通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識。比如；我們在講圓柱、圓錐、球的概念時，由于圓柱、圓錐、球屬于三維圖形，用平面直觀圖難免會造成視覺上的失真，我們可以借助教具、利用幾何畫板動畫展示幫助學生理解，讓學生在活動中思考、感悟和體驗數學知識的萌芽以及發生、發展的全過程，從而豐富學生的認知結構。

對策2：自主探索，生成概念

概念的生成過程教學就是讓學生參與和經歷概念生成的整個思維過程。因此，在教學中，恰當的進行教學設計，充分展示數學知識的形成過程，讓學生弄清概念的來龍去脈，認識它的必要性和合理性，讓學生在體驗中自主探究，生成概念，概念在其生成的過程中逐漸明朗化，可以更好的幫助學生深化對概念的理解，培養學生運用概念的意識和能力。

【案例2】“拋物線及其標準方程”概念教學片段

第一步：在學生已有認知基礎上設計問題，使學生體驗新概念的一個具體背景。

師：前面我們已經學習了橢圓和雙曲線的有關知識，請同學們試解決下面問題：

（學生思考并動筆，教師巡視，個別指導。）

生1：我利用平方化簡，但還沒有做出來。

師：該同學平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據橢圓定義可知，點軌跡是橢圓。

（學生紛紛表示生2的解法是正確的）

（學生認為是雙曲線）

師：是雙曲線嗎？

生3：應該是雙曲線的上半支。（由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發作用，所以第2題幾乎所有學生都不再化簡了，自然地聯想到利用定義的解法中來，于是教師順勢拋出第3題。）

生4：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線。

師：到底軌跡是什么，生1解問題1的方法會給我們很好的啟示。

（學生再次化簡，片刻后，一直得到的軌跡是拋物線，因為它的方程是初中已經學過。）

第二步：剖析問題3條件的幾何意義，并推出是否具有一般性的結論。

師：若把條件中的“2”改成其他數字（非零），結果如何？

生5：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數字不同而已。

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

第三步：類比推廣，從具體實例中抽象出拋物線的概念。

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數據外殼，得出拋物線的定義。請哪位同學根據上面的等式，說出拋物線的定義。

生7：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。

師：不太準確，應該是在“平面內”，接下來我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡

……

點評：本案例從學生已有知識出發，由易到難設計了3個問題，讓學生在問題解決的過程中自主探究，對比發現，逆向生成拋物線的定義，再結合多媒體動畫演示，同學們經歷了一次“發現”，“創造”的過程，給學生留下較深刻的印象，對此概念的理解也將更準確更深刻。

【感悟】在教學中需要教師通過問題努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，問題可以把學生帶入“憤”與“悱”的境地，幫助學生自主探究，理解數學概念的生成過程。

對策3：步步為營，理解概念

學生對數學概念的理性認識是否初步形成，首先反映在對該概念的定義是否理解。學生認識事物的過程，總是從具體到抽象，從個別到一般，這也是人類認識事物的規律，因此，我們要遵照這一規律，通過問題串的設計，引導學生辨析，解剖概念，從而理解概念的內涵和外延。

【案例3】函數周期的理解

函數的周期性和最小正周期是學生難以理解的概念，在學生了解其概念后，為了幫助學生準確把握函數的函數周期性和最小正周期的外延，我設計了以下問題鏈，讓學生討論：

（1）函數y=a（a為常數）是周期函數嗎？y=a（a≠±2）呢？y=呢？

（2）函數y=sinx，x?[-2π，+∞）是周期函數嗎？最小正周期是多少？

函數y=sinx，（x?R且x≠kπ）呢？

（4）作出函數y=sinx，x?[-2π，3π）與y=sinx（x?R）的圖像。

點評：通過上述問題的研究，可以幫助學生弄清以下問題：（1）周期函數定義域的結構特征；（2）最小正周期的存在狀況；（3）周期函數函數值的分布規律；（4）周期函數的圖像特征.在此基礎上，學生才能真正弄清周期函數、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何讓學生深入理解概念，在教學中，可以結合具體的事例詮釋概念的內涵與外延。這里既可以設計“形似而神非”的個案來校正；也可以巧設“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，循序漸進，步步緊逼，使學生的認識結構從“了解”上升到“理清并掌握”的層面，讓學生經歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使學生體驗一個‘自我否定’的過程，從而喚醒學生的悟性和靈感，以達到對數學概念真正的理解。

對策4：螺旋上升，內化概念

教師在平時教學中，要在挖掘新概念的內涵與外延的基礎上，讓學生理解并鞏固概念。有些概念由于其內涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。

【案例4】“曲線與方程”教學片斷

在得出“曲線與方程”的關系后，如何進一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質，進一步體驗“數”與“形”的轉化與結合的思想方法。為此，教學中使用下面的例子，設計問題啟發學生思考，從正、反兩方面認識一般

例1下列哪條曲線是方程x= ■1-y2的曲線？請說明理由。

例2下列哪個方程是下圖中曲線C（兩條相交直線：第一、三象限的直角平分線，第二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。

A.x-y=0

B.x+y=0

C. x3-x2-xy2+y2=0

D.x2-y2=0

【感悟】一個概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要經過具體到抽象，局部到整體，感性到理性的過程。教學中設計一些反例，讓學生通過正、反例的對比辨析、鑒別真偽，從不同角度來認識定義文字所隱含的內容，從而達到“有比較才能鑒別，有鑒別才能深化認識”的學習效果。

對策5：返璞歸真，升華概念

任何一門藝術的最高境界就是“返樸歸真”，張奠宙先生曾經說過：“數學教學的有效性關鍵在于對數學本質的把握、揭示和體驗”。這種“對數學本質的把握、揭示和體驗”只有在應用中才能得到驗證，在應用的同時使得概念學習得到“升華”，從而讓學生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。

【案例5】“古典概型”習題課教學片斷

問題：某信鴿訓練場向甲、乙兩林區放飛4只鴿子，則甲林區剛好有一只鴿子的概率是多少？

生1：甲乙兩林區的鴿子數如右圖，甲林區剛好有一只鴿子是五種情形中的一種，故所求概率為1/5。

（顯然，該生錯在對“等可能事件”的理解上，而且存在這種錯誤理解的可能不止少部分學生，鑒于此，我并沒有立即評價，而是讓學生繼續考慮還有什么思路？略停一分鐘）

生2：每只鴿子有兩種放飛途徑，共有24=16種放飛方式，而甲林區有一只鴿子的方式只有4種。

故，所求概率為1/4！。（這時候學生發現兩個結論不一致！）

針對以上兩個結論，組織學生展開討論：

師：上述兩種思路，你能確定哪一種是錯誤的？

生齊答：第一種！

師：為什么錯？

生：（無語）

師：那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發生的概率：

師生共同討論產生下表：

甲林區鴿子數乙林區鴿子數0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

情形 甲林區鴿子數 乙林區鴿子數 發生的概率1 0 4 1/16 2 1 4/16 3 2 2 6/16 4合計1 4/16 5 4 0 1/16 3 1 3

這時學生恍然大悟：情形1 ～5不是等可能事件，當然概率不是1/5！

【感悟】以上過程讓學生更深層地領會到等可能事件發生的意義，在應用中學生對“等可能事件”的認識升華。數學概念的教學如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠，還必須上升到抽象層面去理解應用，在應用中將抽象的定義轉換為具體的形態，讓學生領會數學概念才是數學解題的“靈魂”，引導學生感受和領悟隱含于概念形成中的思想方法，在概念的運用和推廣中滲透數學思想方法，這才是概念生成的核心。

三、結束語

數學概念教學，不僅要讓學生明白一些原理，更要讓學生學會一種思維，一種對數學精神的領悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數學思想，這才是數學教學的真諦，這才是數學育人功能的最好注釋。