三角函數(shù)、雙曲函數(shù)及它們的反函數(shù)的教學(xué)探討

張平平 徐陽棟

摘要：三角函數(shù)與反三角函數(shù)均屬于基本初等函數(shù)，而雙曲函數(shù)及它們的反函數(shù)在工程當(dāng)中應(yīng)用非常廣泛，因此它們都是一些非常重要的函數(shù)。由于三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的起源及性質(zhì)很相似，因此本文欲用類比的方式來闡述三角函數(shù)、雙曲函數(shù)及它們的反函數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);雙曲函數(shù);反函數(shù)

中圖分類號(hào)：O13 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)地志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）24-0185-02

本文從三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的起源、三角函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)及它們之間的關(guān)系、雙曲函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)及它們的關(guān)系三部分進(jìn)行考慮。

1 三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的起源

對(duì)于單位圓周x ?+y ?=1上的任意一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y分別可以表示成極角θ的余弦與正弦函數(shù)，即x=cosθ，y=sinθ。可知θ等于圖1陰影部分面積的2倍，同時(shí)也等于極角θ所對(duì)應(yīng)的弧長，并把它們的比值tanθ= ?及其倒數(shù)cotθ= ?分別稱為正切函數(shù)和余切函數(shù)，因此三角函數(shù)也稱為圓函數(shù)。

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)雙曲函數(shù)的右支x ?-y ?=1，x>0上的任意一點(diǎn)Q（x，y）的坐標(biāo)為x，y。令u等于圖2陰影部分面積的2倍，經(jīng)計(jì)算得出x= ?，y= ?，具體的計(jì)算過程可參照文獻(xiàn)[1]。因此就把函數(shù)shu= ?，chx= ?分別稱為雙曲正弦和雙曲余弦，并把它們的比值thu= ?及其倒數(shù)cthu= ?分別稱為雙曲正切與雙曲余切。

2 三角函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)及它們之間的關(guān)系

對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)閇-1，1]的奇函數(shù)，并以2π為最小正周期的周期函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間[2kπ- ?，2kπ+ ?]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2kπ+ ?，2kπ+ ?]上單調(diào)遞減。

由于周期函數(shù)并不是單射，因此并沒有反函數(shù)，但是對(duì)其某個(gè)單調(diào)區(qū)間而言，反函數(shù)是存在的。把正弦函數(shù)y=sinx在單調(diào)區(qū)間[- ?， ?]上的反函數(shù)稱為反正弦主值函數(shù)，簡稱為反正弦函數(shù)，記為y=arcsinx。由原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系可知：反正弦函數(shù)y=arcsinx的定義域?yàn)閇-1，1]，值域?yàn)閇- ?， ?]，單調(diào)遞增的有界函數(shù)。

對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)閇-1，1]的偶函數(shù)，并以2π為最小正周期的周期函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間[（2k-1）π，2kπ]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2kπ，（2k+1）π]上單調(diào)遞減。

類似地，把余弦函數(shù)y=cosx在單調(diào)區(qū)間[0，π]上的反函數(shù)稱為反余弦主值函數(shù)，簡稱反余弦函數(shù)，記為y=arccosx。由原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系可知：反余弦函數(shù)y=arccosx的定義域?yàn)閇-1，1]，值域?yàn)閇0，π]，單調(diào)遞減的有界函數(shù)。

類似地可以討論正切與其反函數(shù)，余切與其反函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

三角函數(shù)之間主要有以下一些關(guān)系：

tanx= ?;cotx= ?;

sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny;

sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny;

cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny;

cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny;

sin ?x+cos ?x=1.

3 雙曲函數(shù)與其反函數(shù)的性質(zhì)及它們的關(guān)系

對(duì)于雙曲正弦函數(shù)shx= ?，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?∞，+∞）的奇函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)增加。當(dāng)x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線y= ?e ?，在第三象限內(nèi)接近于曲線y=- ?e ?。

由于雙曲正弦函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，因此存在反函數(shù)。經(jīng)計(jì)算很容易得到其反函數(shù)的表達(dá)式，并記為arshx=ln（x+ ?），稱為反雙曲正弦函數(shù)。由反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知：反雙曲正弦函數(shù)y=arshx的定義域和值域均為（-∞，+∞）的奇函數(shù)，且在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增。

對(duì)于雙曲余弦函數(shù)y=chx= ?，其定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)閇1，+∞）的偶函數(shù)。在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線y= ?e ?，在第二象限內(nèi)接近于曲線y= ?e ?。

由于雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，而偶函數(shù)不是單射，因此并不存在反函數(shù)。但是對(duì)其某個(gè)單調(diào)區(qū)間而言，反函數(shù)是存在的。把雙曲余弦函數(shù)chx= ?在單調(diào)區(qū)間[0，+∞）上的反函數(shù)y=ln（x+ ?）稱為反雙曲余弦的主值，簡稱反雙曲余弦，記作y=archx。由原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系可知：反雙曲余弦函數(shù)y=archx的定義域?yàn)閇1，+∞），值域?yàn)閇0，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)。

類似地可以討論雙曲正切與其反函數(shù)及雙曲余切與其反函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

與三角函數(shù)類似，雙曲函數(shù)之間也有以下一些關(guān)系：

thx= ?;cthx= ?;

sh（x+y）=shxchy+chxshy;

sh（x-y）=shxchy-chxshy;

ch（x+y）=chxchy+shxshy;

ch（x-y）=chxchy-shxshy;

ch ?x-sh ?x=1.

4 總結(jié)

從三角函數(shù)的由來知道，其自變量是極角，也可以看成是弧長，因此三角函數(shù)的反函數(shù)就是在其相應(yīng)的三角函數(shù)前加“arc”來表示。而雙曲函數(shù)的自變量就是圖2陰影部分面積的2倍，是面積的函數(shù)，“area”表示面積，因此雙曲函數(shù)的反函數(shù)就是在其對(duì)應(yīng)的雙曲函數(shù)前面加“ar”來表示，詳細(xì)的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[2]。

由于三角函數(shù)與雙曲函數(shù)有類似的由來，因此它們的一些性質(zhì)和關(guān)系也會(huì)有點(diǎn)相似，而三角函數(shù)大家可能相對(duì)來說比較熟悉，因此可以用一些類比的方式來方便記憶，但一定要注意區(qū)別，并用PPT放映各函數(shù)的圖像以幫助學(xué)生更好地理解與記憶這些函數(shù)的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]史志云，高月秋.雙曲函數(shù)的由來和幾何意義[J].高等數(shù)學(xué)研究，1996，（3）：3-5.

[2]徐裕生.反雙曲函數(shù)符號(hào)的含義[J].高等數(shù)學(xué)研究，1996，（3）：5.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2006.