分形理論在高校課改的成功嘗試

常士訚+許露

摘要：楊社平教授以分形理論服務高校課程改革，踐行“立德樹人”。分形理論是幾何學的分支學科之一，近年來發展迅猛，廣泛應用于自然社會科學的各個領域。從分形理論的應用新領域、結構建導新工具、本土研究新探索三個方面，展現分形課改的新意。吸引子是課程綱要的活力所在，自相似是教材內容的突出特點。迭代是課程生成的重要法則，以“習”“研”“演”“練”的教學模式暢通迭代節點，靠“趣”“情”“勵”“合”的教學策略穩定迭代結構，最終才能落實分形課改的主張。通過分形理論仿射效應，教學團隊連理，多科課程輝映。由此可見，課程改革卓有成效，卓爾不群。建言課程改革還可從混沌現象和混沌理論汲取養分，踵事增華。

關鍵詞：分形理論;高校課程改革;民族理論與政策;楊社平

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）45-0086-04

今天，“立德樹人”已成為中國教育的根本任務，學者們投身高校課程改革實踐，努力為國家培養人才。廣西民族大學的楊社平教授是一位推進高校課程改革的先行者，她的《課改分形論：跨學科參與一門國家級精品開放課程建設的邊緣心語》一書，以分形理論為特色，詳細闡述民族高校獨有的公共政治課程——“民族理論與政策”改革的方法，生動體現分形理論推動跨學科課程改革的仿射效應，努力開辟一條“立德樹人”課程改革的嶄新路徑。

分形理論是幾何學的分支學科之一。最早是由美國數學家本華·曼德博提出，他撰寫的論文《英國的海岸線有多長》初涉分形思想;1975年他正式創立分形幾何學;1982年由他出版《大自然的分形幾何學》，“徹底改變人們對分形的認識”?，F在這個自然科學的理論服務高校課程改革，既符合規律：“科技發展的新理論、新思路、新觀點、新方法不斷地沖擊著高等學校的課程改革”，又使得高校課程改革“無論在內容上和形式上都有所創新”。

一、分形課改的創新意義

1.分形理論新應用。分形思想由來已久，可以追溯至17世紀德國數學家萊布尼茨的“回歸自相似”概念。20世紀初受到數學界的廣泛關注，包括the Sierpinski Gasket，the Koch Curve，柯克曲線等。但是，分形思想真正上升到理論高度，離不開曼德博的深入研究。他指出：分形的概念是“組成部分以某種方式與整體相似的形稱為分形”;然而，有人認為，分形具有不規則的精細結構;形狀或者統計意義上的自相似形式;和迭代生成的性質。自相似形式是化繁為簡，拼貼復雜形體的前提認識;迭代則是復雜形體的生成法則;仿射則是復雜形體多維存在的可能。正是因為分形理論化繁為簡，它不局限于復雜幾何形體的描述，也可“將由信息、功能、能量、時間等‘量構成的具有自相似的對象稱為分形行為”，及時跟蹤事物發展進程，顛覆人們傳統平面或立體的思維。分形理論在近三十年來發展迅猛。但在社會科學領域罕有建樹。楊社平教授把分形理論引入課程變革實踐，拓展分形理論的應用領域，通過利用自相似性、迭代性以及仿射性，揭示復雜分維現象的成因，歸納復雜課程改革之后的數學邏輯。

2.結構建導新工具。以分形理論實現課程建導，受到結構主義思潮的影響。結構主義應該不是藝術流派宣揚的Structurism，而是“（一定的）結構支配并決定著一切社會現象的性質和變化”。課改理論使用的工具，往往是瑞士心理學家皮亞杰的認知發展理論和美國心理學家布魯納的學科“普遍性”理論。這兩種理論，前者強調以人為課程變革的中心，初步建構人的認知結構;后者強調以學科自身為課程改革的中心，從學科的結構入手，掌握學科基本的概念、定理和范疇，知識遷移。

然而，分形理論是結構建導新工具。從簡單結構出發，批判地吸收認知心理和具體學科的優勢，打通心理和學科的雙向軌道，你中有我，我中有你，不斷調整，適度迭代，克服了課程沖突的可能。因為，以認知心理為中心，過于把課程看作是一種目的，預計教學活動的可能結果，并以此為評判標準，一切以達到結果為要旨，教學成為實現結果的策略;以學科為中心，過于把課程看作是一種手段，強調實施的過程和過程本身的價值。分形理論成為結構建導新工具還體現在開放性和靈活性。它可以描述各種非線性系統：記錄動力系統的變形，測度布朗運動的手段，把握多重分形的迷惑等。既然不怵動態，隨機和重合的各種可能，分形理論的靈活性可見一斑。開放和靈活使得結構建導不會僵化。

3.本土研究新探索。課程改革扎根本土。本土化現實在“民族理論與政策”課程改革真正下移到縣情和市情。沒有宏觀層面的高談闊論，沒有微觀層面的錙銖必較，從中觀出發，從縣市各民族實際出發，為政策鋪墊事實依據。如以專題調研報告成書的《隆林各族十二和》，基于分形理論，圖文并茂地呈現各族團結，佐證“十二條”的切實性。如以百色市民族實際編寫的《五彩七韻十二和》，基于分形理論，“解讀中國特色社會主義民族理論政策體系”，豐富教學資源。突出本土特征，豐富立德樹人的內涵。有人說，社會主義核心價值觀是具體的德目;有人說：“確立起馬克思主義的立場，形成社會主義核心價值觀，具有社會公德、職業道德、家庭美德和個人優良品德”;還有人說：“培養具有民族情懷、祖國情結、社會意識、人文素養與發展潛能的學生”。而在楊社平老師看來，立德樹人就是和諧素質的培養。和諧素質包括自然與人、人的自身、人際之間、人與社會和人與國家五個范疇。這五個范疇以人為本，通過人與自然、人、社會和國家等各要素的關系替代要素本身意義，彌補各種不足。

二、課程組織的自相似性

1.課程綱要的吸引子。吸引子是非線性耗散系統的重要概念，也是系統存在分形的充分條件。“一個吸引子就是一個集合并且使得附近的所有軌道都收斂到這個集合上”。非線性耗散系統是一個開放的系統，在交換過程完成后達到穩定，交換過程中的無規運動會趨向吸引子，進而產生分形。“民族理論與政策”的課程改革也可以看為一個非線性的耗散系統，課程改革的過程中，難免會出現非線性、隨機性和耗散性的局部特征。既然如此，這門課程綱要的吸引子又是什么呢？即中國特色社會主義民族理論政策體系“十二條”，這是第四次中央民族工作會議中確認的。它們高度概括民族范疇，深刻點明民族問題，充分展現解決民族問題的戰略思想?！笆l”就是十二個不同的吸引子，或者說是十二個不同的集合，吸引集合內的所有軌道，巧如大唐雅樂“孝孫十二和”——豫和、順和、永和、肅和、雍和、壽和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依據十二個不同的集合，注入廣西壯族自治區的民族實情，條分縷析，逐一解讀“十二條”的具體內容。

2.教材內容的自相似。既然曼德博的定義點明“自相似”，“自相似則應是分形所必要的條件和一種普遍的特征”。再從吸引子的概念梳理，“自相似”體現在各個與整體相似的吸引子的關系中。“民族理論與政策”課改的自相似，反映在教材內容上面?！睹褡宕罅x十二和建導綱要》是廣西民族大學“民族理論與政策”必修課，教材各個板塊和板塊內部的章節都彰顯自相似。全書分為四大板塊：“焦點指月談”“諸和三棱鏡”“鄉土萬花筒”和“建導情趣園”，板塊中深入拓展“十二條”內容?！敖裹c指月談”闡述理論，“逐一解讀‘十二條的基本內容”，指月，典于《楞嚴經》，喻意莫因“指”而失“月”，莫由“教”而亡“法”，“月”和“法”均代指民族政策的精粹?！爸T和三棱鏡”聚焦前沿，反省過去政策的歷程，思索未來理論的走向。“鄉土萬花筒”聯系實際，以廣西12個市居民族概況，本土的實際情況，更好地認識中國特色社會主義民族理論?！敖▽槿@”反饋教學，內化理論，契合“十二條”要義，由學生自主打造得意作品，記錄成長過程。板塊內部再次分形，以“焦點指月談”為例，又分為“民族原理”“國是定理”“關系調控”和“發展對策”四章，豐富理論內容。

三、課程生成的迭代法則

迭代是重復過程以達到結果或預定目標的行為，分形理論離不開迭代的存在，有人甚至數學證明了柯克曲線的迭代。通過證明過程，可以看出迭代離不開精確的節點和穩定的結構。只有暢通迭代節點，穩定迭代結構，才能落實分形課改的主張。

1.暢通迭代節點。暢通的迭代節點是下一次迭代的有利條件。例如，函數f（x）=x2+2，求f {f[f（1）]}的值。f（1）=3;f（3）=11;f（11）=123，三次迭代f {f[f（1）]}的值是123。若第一步迭代數值計算錯誤，f（x）=2，最終結果變成38，相差甚遠。可見，每個迭代的節點需要暢通，否則經過幾輪迭代，云泥之別顯而易見。在“民族理論與政策”課程改革中，“習”“研”“演”“練”的教學模式幫助學習者暢通各個迭代節點。①習得?！傲暤谩笔钦n程改革的起點，它更強調的是學習者內化知識的整個過程而非最終結果。課程改革應是一個非線性耗散系統，這個系統決定了“習得”不可能一蹴而就、伸手得到，而必須歷經批判再批判、否定再否定的螺旋式發展。正是如此，我們應該培養動態的眼光，擺脫靜態預設的束縛，在動態中審視“習得”的過程，在動態中對所獲“習得”做出恰當的判斷。一切僵化的教學反饋，都很容易貽誤迭代的最佳時機。②研討?！把杏憽笔窃凇傲暤谩被A上的縱向深化。“研討”應找準靶子，對準目標，有的放矢。以不同教材中的概念、定義或結論為靶子，通過剖析對比和聯系實際的方法，發現異同之處?！把杏憽边€要有平臺，平臺可實可虛，既有實實在在的課堂“研討”環節，也有虛擬的網絡“研討”空間。海德格爾曾認為，真理女神總是把人們帶到兩條路的交口，“一條是揭示之路，一條是晦蔽之路”，真理（揭示狀態）總是要從晦蔽的狀態中“研討”出來。自然，研究求深刻，討論立共識，深層次的共識才能更好推動迭代，任何敷衍的討論或者巨大的分歧都會左右迭代的效度。③演繹。“演繹”是“習得”基礎上的橫向擴展?！把堇[”可以迅速膨脹的“習得”，以點帶面，以靜蘊動，以實沖虛。師生在自由活躍的課堂氣氛中，演示彼此作品，展現各自“習得”;過程中，師生作品可以比較，學生之間可以比較，比較是為了理解，也是為了交流，更是為了提升興趣。演繹的手段多種多樣，有登臺演講、詩歌表演、舞蹈渲染、小品點綴、繪畫涂鴉和手工藝品等。這樣，迭代的節點不再干癟，在一定層面上具有很強的延展性。④練悉。“練悉”是“習得”的進一步升華?！熬毾ぁ奔仁且环N間斷連續狀態的描述：“練悉”是一個間斷的狀態，各個迭代節點的“習得”、“研討”和“演繹”總是需要時間，串聯課堂與實踐，隨著時間的流逝，各種摩擦和矛盾難免死灰復燃;“練悉”又是一個連續的狀態，“習得”、“研討”和“演繹”使得各個迭代節點，不斷滾動，不斷運轉，螺旋上升。這樣，生硬斷裂的弊端可以克服，暢通迭代節點有所保障。

2.穩定迭代結構。穩定的迭代結構是達到預想目標的條件。例如，函數f（x）=x2+1，求f {f[f（1）]}的結果。三次迭代是26。若開始誤為f（x）=2x+1，三次迭代是513，迭代結構不同致使結果匪夷所思。迭代是一個復雜的過程，欲維持迭代結構，必須依靠“趣”“情”“勵”“合”，才“幫助學生完成他們的學習過程?！雹偃づd?！叭づd”是“智力活動的推動力量”，它是一種趨向，建立在強烈需求的基礎之上。迭代結構需要把握好“趣興”的積極意義，恰當使用，出其不意。語言形式上，詩歌、對聯、謎語和典故等左右逢源;表達手段上，影視、音樂、動畫、和廣告等信手拈來，以此為切入點使學生積極參與，持久互動。同時，也要盡力克服完全以“趣興”為中心，要能放能收，張弛有度，再多的歡樂只是正規課程的鋪墊，真正的教學功夫不在于能夠抖多少包袱，而是抖出的包袱都能收回來，謹防學生注意力的彌散。②情感。“情感”是在“趣興”基礎上的主體內部穩定，是學生適應課程、獲得發展的重要工具。美國心理學家埃里克森斷言：盡管不同文化的差異客觀存在，“情感的發展變化及其與社會環境的相互關系卻遵循著相似的方式”。課堂上激發、尊重和引導學生的情感訴求，可以催化整個學習過程，優化學習的效果。③勵節?！皠罟潯笔窃凇叭づd”基礎上的主體外部刺激，它是教師以正面的方式，用正面的案例或言語，從外部調控學生的“趣興”嬗變。中國古人早就意識到這一點：“名可務立，功可強成。所以君子積志委正，以趣明師;勵節亢高，以絕世俗”。“勵節”存在教學活動的過程中：教學初，以崇高的目標振奮人心，跨越抵觸的丘壑;教學中，教師身先士卒，不畏艱辛，師生互勵，同舟共濟;教學末，鼓勵學生反芻，以教學所知所感打造得意之作，內化教學成果。所以，通過恰當的控制和評價——弱則鼓勵，強則節制，真正鞏固教學效果。④合尖。合尖是維持迭代和實現成功的最后一步策略，涉及“趣興”、“情感”和“勵節”三方面的融合，充實里子，光鮮面子，里外融合，最終使得“來自不同時期、不同層面、不同形式的優秀元素形成合力”，達到課程改革的預想。

四、課程改革的仿射效應

仿射變換是線性變換的一種重要形式。“一般會改變圖形中向量的夾角、點與點之間的距離、圖形的面積等”，通過仿射變換，圖形或是伸長，或是縮放，或是旋轉，或是裁剪，例如巴恩斯利蕨。分形具有相似變換的特點，只是仿射變換的特例而已。“民族理論與政策”課改若視為分形原理的相似變換，那么，“民族理論與政策”教學團隊的構建和跨學科課改則可視為分形原理的仿射變換。

1.團隊仿射連理。教學團隊是依據DLA的模型仿射生成。DLA為“擴散受限聚集”，體現非平衡生成和凝聚的特點。常見模型分二維和三維兩類，是一定距離不斷釋放離子的過程。

團隊的核心吸引子是龔永輝老師，在其努力下，教學團隊初步成型;這個團隊中，有的負責教學的內容設計，有的專攻教學的建導，還有的完善教學的網絡設計，眾人拾柴火焰高。三年努力，這個團隊從青澀逐漸走向成熟，早期團隊成員轉而成為新的吸引子，凝聚各學科的學者，釋放團隊更大的影響力。如今，這個團隊已經發展為29人，青年居多，生機勃勃。就是這個團隊，為課程改革和創新立下汗馬功勞，也為形成課程群奠定基礎。

2.課群仿射輝映。既然教學團隊凝聚了各學科的成員，分形的原理也被自覺地帶入了相關學科的建導。文史課程自覺分形建導。廣西民族大學的“公共關系學”課程，仿射“民族理論與政策”的課程綱要，從“十二和指月談”“十二和放大鏡”“十二和訓練場”和“十二和情趣園”這四個板塊，層層生成自相似課程。除此之外，理工課程也自覺分形建導，尤其以楊社平教授親自主持的“數學作文”最為典型。

五、分形課改的芻蕘之見

分形理論是高校課程改革的亮點，但并不是唯一方法，也要依靠教育學的原則和方法。另一方面，分形理論的自身依然具有一定局限性。還要辯證考慮混沌現象和混沌理論的存在?；煦缋碚撌菙祵W分支之一，用來描述非線性過程中出現的混亂復雜的現象。最早發現混沌運動的研究是龐加萊的三體問題;真正讓混沌運動上升為混沌理論的人是氣象學家勞倫茨，正如“蝴蝶效應”，動態系統的運動軌跡和初始條件緊密關聯，初始條件的輕微變化——量的增減、質的優劣和結構組合，都可能出現分叉，最終，差之毫厘，謬以千里。人們的宏觀預測往往作用甚微?；煦缋碚摵头中卫碚撽P系密切，但是含義迥異。

混沌現象也存在于課程改革的過程中，無論是迭代節點的連續，還是迭代結構的維持，事實上都可能發生極小偏差，這些看似微不足道的東西，也許就會產生一系列的連鎖反應，使得課程改革的目標和結果大相徑庭?！墩n改分形論》也應考慮到這種“意外情況”的存在，以具體的章節或者典型的案例來說明：分形理論的課程變革是如何克服混沌現象的干擾。

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