如何在《概率統計》課程中滲透數學建模思想

劉桂蘭 季紅蕾 黃素珍

摘要：《概率統計》是高等院校理工、經濟管理、金融類等專業本科階段的一門必修課程，它在現代科學技術中占有重要的地位，也是一門應用性很強的工具課。《概率統計》課程中豐富、獨特、抽象的理論和方法，并與其他數學分支互相滲透與結合，已廣泛地應用于幾乎每一科學領域之中。本文著重從概率論教學中的幾個環節出發，以培養學生應用知識為宗旨，以問題解決為目標，以案例研究為手段，來探究各個教學環節的數學建模思想，以提高學生對實際問題的分析和解決能力。

關鍵詞：概率統計；數學建模思想

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）05-0274-02

《概率統計》是研究隨機現象統計規律的一門學科，其相關理論與方法廣泛應用于各個領域。《概率統計》課程在工科各專業開設時，教學內容多，教學課時少，往往注重數學公式的推導和計算能力的訓練，側重基本方法的講解，但忽略了該課程中所蘊含的數學建模思想。此外，學習《概率統計》時，大二學生對自身所學專業和這門課程有什么關系不是很清楚，不明白這么課程有什么用途，導致學生缺乏學習動機，造成課題教學與實踐應用的脫節。因此在《概率統計》課程教學中，如何發揮數學建模思想，構建理論與實踐的橋梁，成為該課程教學者必須面對的重要挑戰。

數學建模是應用數學知識解決實際問題的一種方法，是一種訓練學生思維和應用能力的手段，在教學與實際生活中都具有重要的地位。《概率統計》課程中蘊含著豐富而獨特的數學建模思想，國外一些知名大學教學中就非常注重數學思想的講解，注重案例與教學軟件的結合，注重學生的實踐性環節。因此，在《概率統計》教學中滲透數學建模思想，具有非常重要的研究意義。

藉此，本文從《概率統計》課程中概率論部分的基本教學環節出發，從概率論中的概念形成階段、例題講解階段和習題應用階段，通過分析現實生活中的問題，探索解決途徑；借助數學方法來尋求解決方案，培養學生的探索興趣，提高學生實際應用的能力。無疑，建模思想間接意義上而言，也是引導學生形成創新意識、動手意識的良好途徑，有利于培養高素質的應用型人才。

一、在概念形成過程中滲透數學建模思想

條件概率是概率論中一個重要的但難以理解的概念。一方面，因為現實生活中的大多數問題都是在一定條件下發生的，因而條件概率很重要。另一方面，條件概率的概念比較抽象，學生理解比較困難，遇到實際問題不知如何表達構成教學難點。因此，下面我們從解決實際問題來探究條件概率的定義及其計算公式。

1.問題提出。假設甲、乙、丙三人得到一張巴西足球世界杯門票，他們商定按甲、乙、丙的順序抽簽確定這張門票的得主。已知甲沒有抽到門票，求丙抽到門票的概率是多少？

從上面的分析看到，已知甲的抽取門票的結果會影響丙抽到門票的概率。

上述問題從兩個角度分析，引出條件概率的定義及其計算公式，突破難點和重點，同時也可以培養學生分析問題、解決問題的能力，從具體到抽象的概括能力。

二、在例題講解過程中滲透數學建模思想

例題是教學過程的一個重要環節。例題的作用不僅鞏固所學知識，而且也培養學生運用知識解決問題的能力。因此，在講授理論知識的同時，要選擇與現實問題有密切關系的例題，引導學生進行分析，用所學知識去解決，這樣，學生就可進一步理解運用所學知識解決實際問題的基本思想；有利于提高學生分析問題和解決問題的能力。

1.問題提出。罐中包含b個黑球與r個紅球。隨機地抽取一球。看了顏色再放回，并且還要加進c個與所抽取球的顏色相同的球和d個相反顏色的球，反復地進行，其中c和d是任意的整數。c和d可以取為負數。特別當c=-1，d=0時，則我們的抽樣是無放回抽樣；當c>0，d=0時，則我們得到一個描述如傳染病現象的模型[3]；當c=0，d>0時，曾由弗雷德曼提出用來描述安全運行的抽樣。現在我們重點討論當c>0，d=0時情形下，求第n次取得黑球的概率。

2.問題分析。本題既是個基本題，也是個典型題。此問題是分步進行的，且后一步的結果受上一步結果的影響，因此，對上一步的結果分類，繼續用表示、分解、轉化的方法處理即可。

此例告訴我們有放回地取球，各次取球的概率是一樣的。這個結論在實際生活中一直在應用：如抓鬮。另外，此例還告訴我們一個如傳染病現象的粗略的模型。

三、在習題課中滲透數學建模思想

傳統習題課，只講教材中習題的解法，很少強調應用方面，這對培養學生的創新能力不利。為此，選一道典型的應用性問題為例，用所學概率知識來解決，這樣，不僅學生掌握了應用所學知識解決問題的思想方法，而且鞏固了所學的知識。

1.問題提出。《概率輪與數理統計》（第四版 沈恒范編 高等教育出版社）中習題：將3個球隨機投入4個盒子中，求任意三個盒子各有1球的概率。

2.問題分析。上述問題簡稱球入盒問題。假設盒中可容納任意多個球。把3個球隨機放入4個盒子中，目的是觀測每一個球在盒子中的分配情況，因此只有把3個球都放入盒子中，才算完成一次試驗。每個盒子可容納多少個是不限的，每一種放法對應一個基本事件。由于每個球均有4中可能放入一間房中，因而根據可重復排列知，基本事件總數

3.問題解決。解法一：任意三個盒子各有1球，等價于每盒子最多只有1個球，這是只有4×3×2種放法。每種放法都對應于一個基本事件，這樣，由古典概型可計算概率設A={每個盒子最多有1球}，則樣本空間所含基本事件總數為43，事件A含有的基本事件數為解法二：球入盒問題中，隨機試驗的目的是觀測每一個球在房子中的分配情況，因此只有把3個球都放入盒中，才算完成一次試驗，這樣，也可以把這一隨機試驗看成是需要3步才能完成的復合試驗，并且這3步試驗是相互獨立地，由于問題中關心的是每個球是否放入某指定房間。因此，某指定的房中恰有個人即指重伯努利試驗中事件恰好發生次，相應概率為

注1：可直接寫出樣本空間進行求解。

注2：常遇到的可轉化為球入盒問題的情形有有著廣泛的應用。例如：（1）m個人的生日問題相當于m個球放入356個盒子中的不同排列；（2）把m個人按其年齡和職業來分類，于是類就相當于盒而人就相當于球；（3）基因的分布；等等。

總之，概率論與數理統計課程融入數學建模思想不僅可以搭建起概率統計與數學建模的橋梁，而且可以使概率與統計知識得以加強，應用領域得以拓廣，對數學建模的運用和發展發揮重要的作用。從而激發學生運用數學知識解決實際問題，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。

參考文獻：

[1]沈恒范.概率論與數理統計（第四版）[M].北京：高等教育山版社，2004.

[2]姜啟源，謝金星，等.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2004.