淺談如何提高數學分析教學的有效性

鐘澎洪

摘要：數學分析課程在數學系專業課程體系中的有著重要地位。其概念多、內容細、專業知識性強，在學習過程中給學生造成了一定的難度。雖然其教學備受重視，但其現狀不容樂觀。結合學生學習該課程時的特點，分析了如何設計課程內容，實行有效性教學策略。

關鍵詞：數學分析；有效性；教學

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）29-0136-02

數學分析[1]是數學系的一門基礎專業課，且在基礎課程中是一門十分重要的課程。數學分析的掌握程度直接影響到后續的一些專業課的學習效果。比如，常微分方程、實變函數和復變函數等的“分析類”課程都與該課程有著密切的聯系，故打好數學分析的基礎是十分有必要的。由于數學分析具有內容多、概念抽象、思想方法重要、應用廣泛等特點[2]，這給教師的教學還有學生的學習都帶來了一定的困難。在這樣的情形下，高校教師尤其是年輕的教師應該如何提高該基礎課教學的有效性呢？這是一個非常值得探討的問題。對于課堂有效性的研究與實踐，教育界一直都沒停止過，雖然取得了一定的成果，但從總體上看，有效的課堂教學的成功模式還有許多有待完善的地方。

有效性教學研究[3]的切入點是教師的教學行為，即教師的哪些活動和行為與預期教育結果有著密切的聯系。比如說，學生的成就、學生的出勤及滿意程度都可以作為教育結果的一個恒量標準，而教師的活動和行為的哪些方面在何種程度上影響著這些預期的教育結果是我們想要研究和關心的，事實上，有效性以學生的表現作為評判的依據，其落腳點是學生。有效性教學的概念己漸趨成型，教師為實現預期教學目標，應該在師生互動中通過教師的常規教學行為影響學生，以促使學生學會學習，并且獲得滿意的學習結果。結合數學分析課程的特點，我們探索講授數學分析的教學方法，探究使得學生較快適應該課程的學習方式，從而嘗試提高教與學的質量，達到教學的有效性。

為了達到有效性教學，我們應當明確其具體的涵義，簡單而言：首先，從效果層面而言，其涵義是指教學活動的結果要與我們設定的教學目標達到一致。其次，從效率的角度而言，教學效率是有效教學時間和實際教學時間的比值，應當著力提高有效教學時間在實際教學時間中的比重。最后，從效益來衡量，要使得教學活動收益、教學活動價值得到實現，在教學的過程中學生得到了知識和方法的掌握之外，還加深了學生的對數學本質的理解。

根據以上有效性教學的特性，結合自身的教學體會，對于提高本課程的教學的有效性，可以從以下幾個方面入手：

一、教學中注重學科背景知識

數學分析的理論體系有著歷史淵源和應用的背景，與自然科學的某些研究領域有密切的聯系，教師在講解過程中應適當的涉略學科歷史和突出理論知識的背景。例如，在講解曲線積分和曲面積分的時候要說明幾類積分的物理背景，至于在如何建立相應積分的嚴格定義的過程中，由于幾類積分的定義是類似的，我們只需要仔細講解其中的一兩類積分，而其他類型的積分定義可以簡化來講。這樣既可以節省比較緊張的教學時間，又讓學生深化了對幾類積分的理解和記憶。在講授時我們注重問題的理論背景，不要太過糾結于細節的推導。事實上，學生若學習該課程時遇到繁瑣的理論推導會讓學生畏懼，倍感學習數學分析是十分困難的，就失去了對該門課程的興趣。針對此問題，作者認為，在學生進入較為困難的知識的學習時，除了可以對相關的一些知識給予概略性的介紹和復習，在講解時不必拘泥于細節的推導，而是要給學生理清證明和推導的思路。例如，在講授隱函數定理證明的時候不妨只給出理論證明的概要，幫學生理清證明思路即可，當然，繁瑣的細節問題可以讓學生在課后嘗試主動給出求解、推導。

講解的過程應該充分體現知識的來龍去脈，讓學生明白知識是有源之水，讓學生明白知識的來源；當然，在講授的過程中也要正確地、合理地處理好從具體到抽象、從特殊到一般的關系。這門課程與其他后續的數學分支如復變函數論、微分方程甚至泛函分析等也有著廣泛的聯系，具有應用的廣泛性。要在適當的時機給學生開一些“窗口”，展望與數學分析知識點密切相關的一些數學學科。例如，在講解微積分應用時可以適當的給出一些常微分方程模型，讓學生適當的了解常微分方程這一學科。使學生理解數學分析與相關數學學科的關系，開闊他們的視野，這有助于其興趣的提高，從此提高學生在課程學習上的主動性積極性。

二、啟發式教學與教學手段多樣化

數學專業課特別要加強學生的自我學習和探究能力的培養，即從“以教師教”轉向“以學生學”，徹底摒棄單純的填鴨式教學法，注重啟發與討論。針對數學專業基礎課的特點，在教學中強化貫徹認識論的基本原則，由淺入深、由具體到抽象等，進行啟發式教學。具體操作上，可采用創設情境法引出問題，引起學生的興趣和探究欲，開展課堂討論研究問題，進而解決問題。在講課過程中不妨提出一些問題給學生思考，甚至可以鼓勵學生主動回答一些問題和講解一些練習題。充分調動學生的積極性，讓學生主動參與到問題的思考與討論上比單純的教師講解更具有效性，在教學中這也體現的十分明顯：課堂氣氛活躍，在課堂上學生積極回答，而且答案多樣化，促進了學生更好的掌握了知識。

傳統的教學手段是以板書為單一教學手段的教學，隨著計算機技術的日新月異和電腦的逐步普及，不妨可以使用一些先進的教學手段來提高教學的有效性。例如，可以利用多媒體教學手段來代替一部分板書的教學。多媒體的一些優點，比如信息量大，更加生動直觀，有利于資源優化和共享等在傳統板書的教學過程中是缺少的。當然，也要注意到多媒體教學中的一些弊端，譬如，多媒體教學節奏快，會使學生注意力不能充分集中，對演算和證明過程不能具體體現等缺點。故在驗算和證明等內容較多的課程內容上，還是應該更注重板書，還原數學分析理論體系的推演過程。在講解定義、定理等知識羅列的現象較多，或者習題內容較多的課程時，所要講授的內容很少甚至基本上不反映數學的思想、精神和方法，故在教學中以不妨以較為直接的方式呈現給學生。總而言之，具體使用哪種教學手段要根據課程內容而定，在講解復雜的演算與推導過程以及梳理知識點時主要通過傳統的粉筆板書進行，而豐富的實例和演示類的素材則主要通過多媒體展示。

除了多媒體教學，網絡教學平臺也可以作為一種輔助的手段來組織教學。例如，搭建的網絡教學平臺可以讓學生下載有關的教學資源、開展課后討論以及與老師進行網上交流，這可以彌補課堂教學時間較短，授課內容簡化所帶來的一些缺陷。事實上，近年來幕課的興起也充分的展示了網絡教學平臺的優勢。確實，采用網絡教學平臺這種方式可以在很大程度上激發學習的積極性，調動學生參與到其中，不失為一種很有利的教輔手段。

三、注重過程與加強體驗

教學中要強調過程，若學生對課程厭倦麻木只注重考試結果，這是教學上的失敗。數學分析的各個知識點固然重要，需要牢固掌握，但是不能只讓學生通過機械的記憶來掌握，要注重學習過程。老師如果過于強調學生通過死記硬背地去掌握各章節內容，想寄于此讓學生的學業水平提高考試成績，反而會讓學生對學習內容失去興趣甚至產生反感，并認為學習的知識只是應付考試，失去了學習的動力。因此，數學分析課的教學應該更加注重學生思維的發展過程，要循循善誘，引導學生認識數學重要，提升學生的認識的過程，注重學生綜合素質的提升過程。強調學習的過程不是削弱了學習的效果，反而可以讓學習得到質的提升。

學習不是一味的輸灌，加強學習程的體驗，讓學生在嘗試動手中學習數學分析可加強學習的有效性。例如，在講授數列極限或函數極限定義時所使用的或語言，盡管做了很詳細的講解，許多學生在聽課時理解了該概念，但在自己做練習時，邏輯思考和符號使用卻非常混亂，這就是缺乏思考和動手導致。要學會總結各類極限的不同，通過自己動手書寫糾正才能夠獲得較深的認識和記憶。只有經過自己動手，才能加深理解和記憶，從而真正掌握各知識點，將其轉化為自己的東西，得以靈活運用。

事實上，數學分析除了理論體系的嚴密和龐大之外，也是一門計算量頗高的學科，應該加重計算在分析課程的教學比例。數學分析是十分嚴謹的學科，理論的推導和證明的建立一直占有著非常重要的地位。在數學分析課中，不能有著重證明輕計算的思想，證明和計算都是應該加以訓練的，假如對計算過于輕視，帶來的結果往往是證明掌握不好，而計算也不熟練。為了改變這一現狀，筆者建議在教學過程中，假如有時間，不妨加強學生的計算能力，讓學生多計算。在動手的過程中，學生也體驗到了數學的樂趣，體驗到了更多的自信；成功的計算無疑強化了個體的體驗，教學的有效性自然也得到了提升。

四、結束語

數學分析課程是數學專業人才的共同基礎，通過學習這門課程，可以為學生在今后學習其他后續專業課程打下必要的數學基礎。在教學中教師需要在教學中注重學科背景，注重啟發式教學以及加強學生的自主的學習體驗，在教學手段上要多樣高效，積極探索有效性教學策略與方法，對學生進行有效的指導，訓練他們的自我學習能力和創新能力，從而提高學生的數學素養。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李大潛.數學科學與數學教育芻議[J].中國大學教學，2004，20（4）.

[3]陳夢稀.現代教育學——2l世紀高等院校基礎性核心課教材[M].長沙：湖南教育出版社，2003.