小學數學教科書中對小數與分數概念教學的思考

嚴今石

摘要：本文對人教版數學教科書中“分數與小數”部分在概念的教學以及教材結構方面存在的問題進行了分析，并在此基礎上，從數學學科知識和教材編寫的角度，對分數與小數的教學提出一些有針對性的建議，進而對教材中數學概念的教學提出一些想法，力求使“分數與小數”內容教學更加科學，并對進一步體現數學教科書的功能提供參考。

關鍵詞：小學；數學教科書；分數；小數

中圖分類號：G622.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）31-0281-02

一、引言

分數歷來是在小學數學中既不易“教”也不易“學”的內容。盡管教科書中對分數的三種含義都提到了，但教育反饋的結果表明，大部分學生系統地學完分數之后，對分數的認識還停留在其“份數”定義，而且并不了解小數、分數、比的含義。這直接導致應用這些概念去解決問題帶來困難。因而，對目前教材中“分數與小數”內容的編寫以及教材中數學概念的教學進行反思，針對不足提出編寫建議，就顯得尤為迫切和必要。本文試從“分數與小數的意義”的教學和“教材編寫”兩個方面對小學數學教科書中概念教學進行探討。

二、問題的提出

1.在引入小數概念中存在的問題。人教版數學教科書中，對“小數”概念是通過十進制分數來建立的，通過舉例的方式，隨即進行歸納，直接提出概念。如通過例子[1]，“把1米平均分成10份，每份是1分米。1分米是■米，還可以寫成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是■米，還可以寫成0.01米”，來說明小數的意義，使學生知道“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”的事實。這里又是借助長度單位，又是利用分數的意義，說的過于復雜。

實際意圖是想闡述“■還可以寫成0.1，■還可以寫成0.01”的規定，但最終還是沒有講清楚“十進分數為什么可以用小數來表示”的道理。這樣做，也許是因為考慮到這個年齡段孩子們的認知能力，但這樣的定義方法就導致學生可能僅僅知道小數概念的外延，而無法理解引入小數概念的必要性，不能深刻地認識概念的本質。教材除了在教學小數意義時，借助計量單位的十進關系（如長度單位）來幫助學生理解外，講小數的性質以及在練習中也安排了很多根據十進制計量單位理解小數的實際意義的練習。其實，小數意義的理解要涉及到十進分數，雖然教科書中在前面安排了“分數的初步認識”[2]，但是由于在初步認識階段，對這些知識的介紹如“蜻蜓點水”、“一帶而過”，學生實際上對“分數”的認識很模糊，對小數教學來說，對“什么叫分數”還沒弄清楚，所以對用它來定義的小數就不易理解了。

2.分數內容教學中存在的問題。分數是小學數學中的難點和重點，而分數內容的教學效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因為沒有幫助學生弄清基本概念，因為數學概念是數學中的核心問題，對它的理解和掌握，關系到學生解決實際問題的能力和邏輯思維能力的培養。事實上，概念本身有自己嚴密的邏輯體系。在一定條件下，一個概念的內涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。另一方面，概念作為人們反映客觀事物本質屬性的術語，也是由于人們認識的不斷深化而不斷發展變化的。例如，分數定義，按人們認識發展的順序，一般有四種情況。分別是份數定義、商定義、比定義和公理化定義[3]。研究發現，對“分數”內容，教科書上沒有處理好分數概念教學的發展性和階段性之間的矛盾。

考慮到小學生的接受能力，結合兒童認識事物的特點，小學教科書中側重從分數的“份數定義”[4]、“商定義”[4]、“比定義”[5]這三個層次，分階段引導學生認識分數，學習分數，運用分數。但是，教科書中存在從“份數定義”向“商定義”和“比定義”過渡過程中處理不夠到位、歸納不完整等一些問題，導致學生無法認識概念的本質。

如教科書中，通過樣例1和樣例2來總結出“分數與除法的互逆關系”，可是例1和例2都是關于等分物體的題，只能代表得出的結論對“等分除法”成立，而對除法的另一種實際應用“包含除法”能否成立還得經過驗證。然而，教材中不僅避開了這種情況的討論，在接下來講的例3（正好是“包含除法”題）里反而用上了此結論，而得出了另一個結論：“求一個量是另一個量的幾分之幾，可以用除法計算。[4]”對這樣的解釋，學生只能認可而無法理解。這直接導致學生對“分數與除法關系”的了解只是停留在表面，沒有從根本上知道其內涵，更不能作為分數意義的進一步擴展來理解。這不但局限了分數的價值，還給學生解決分數問題造成阻礙。

三、對“小數”與“分數”數學本質的分析

1.“小數”的本質。目前，教材一般都從小數與分數的關系著手，利用分數來定義小數。從小數與分數的關系來看，小數確實是分數的一種，十進分數可以寫成小數形式，但它并不是小數的本質。從“數系的擴展”角度來看，小數和分數的引入都是計數單位的擴展，即測量和計算以及分物時不能得到整數的結果，就得用更小的計數單位來表示和測量。其中，從整數擴展成小數的具體依據是“十進位值制記數原則”。在整數學習中，計數單位的擴展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進制計數”，為在建立小數概念、小數大小比較以及小數的運算等方面進行知識遷移提供了基礎。因此，小數的本質在于“十進位值制記數法”。

2.“分數”的本質。事實上，分數是從兩種實際意義中產生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測量而產生（對應的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產生（對應的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數學發展的需要而產生的（即除法運算得不到整數的結果時需要用新的數來表示）。分數的本質在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個結果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數，a≠0）時，其商是整數；不能整除時，其商就是新的數，我們稱它為分數。因此，分數的明確定義，就是兩個自然數相除（除數不為0）的商。因而，分數教學就需要盡快從“份數定義”過渡到“商定義”。所謂“份數”定義只是初步認識時的過渡說法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價值在于可用它來定量研究兩個以上事物在量方面的結構關系。

四、對“小數”定義的對策和對“分數”定義及其教學的建議

1.對“小數”定義的對策。基于前面所提到的問題和以上的探討，筆者認為可以將整數中十進制計數、位值概念的建立等基本構造思想和擴展長度單位時所用過的定義方法遷移過來定義小數。即當要表示不是整數的數值時，也可以用“把原來計數單位1平均分成10份后得到的每份”來計數。這個新的計數單位用“0.1”來表示，并讀作“零點一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數單位。

這樣，避開分數來定義小數對“分數”教學也有好處。因為教科書中將“分數”的初步認識安排在三年級上冊，其目的就是為了建立小數概念，然后分數的系統教學是安排在五年級下冊里。這樣由于兩個階段相距時間較長（正好兩年半），給學生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分數的“產生和含義”都放在了第二階段上，所以系統學習時出現了不必要的重復。對概念下定義的過程，是對概念本質特征的一種歸納鞏固過程。對于抽象的概念，過早的下定義，等于是索然無味的簡單灌輸，但定義下得太遲，又使學生的已有知識呈現零亂狀態，不能及時地整理和總結，更不利于概念的定型化。

2.對“分數”定義及其教學的建議。筆者認為，關于“分數的認識”教學，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發展的連續性，要有計劃地發展概念的含義，按階段發展學生的抽象概括能力。因此，建議強調“分數與除法的等價性”，講解更透徹一點，使學生真正認識到“分數與除法可以互逆，可以看作同一種運算”。對上面提出的問題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個小題來，說明“分數與除法的等價性”對包含除法也成立，至于“求一個數是另一個數的幾分之幾，可以用除法計算”的道理，可以利用它們之間的對稱關系來解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個10，這里因為7比10小，不能把整個10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎上對除法的兩種情況進行全面地歸納，得出結論才符合邏輯，學生也可以接受。而對數學概念不注重引入，只是簡單舉個例子，找出規律，將概念直接提出來的做法是不科學的，不利于培養學生良好的思維品質。

五、結束語

在小學階段，分數與小數概念是非常重要的數概念，由于分數與自然數有著較大的差異，學生掌握分數概念比較困難，如果教科書中只是給出了抽象的定義，學生即便是了解了分數和小數的外延，也不一定懂它們的本質，對分數概念的產生、發展、延伸、變化，更沒有清楚的認識。因而，在編寫教材時，不妨去對潛藏在分數與小數概念中的思想作充分的分析，使得學生掌握概念最核心、最本質的特征。這樣，能通過概念教學，讓學生把握分數與小數的本質，體會其中的數學思想，從而使得分數與小數的教學取得更好的效果。

參考文獻：

[1]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書 數學 三年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書 數學 三年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]張奠宙.“談小學數學本質”[J].人民教育，2009，（2）.

[4]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書 數學 五年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[5]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準實驗教科書 數學 六年級（上冊）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[6]美]博林，[美]德溫，[美]韋斯-韋伯.教育心理學[M].連榕，等譯.北京：機械工業出版社，2012.