一類漁業捕撈的生物模型

(欽州學院 學報編輯部，廣西 欽州535000)

0 引言

近年來，隨著全球人口日益增長，陸地有限的可再生資源已難以滿足人類社會發展的需要，人類開始把目光投向海洋，有學者說21世紀是人類開發的海洋世紀，從中可以看出從海洋中獲取資源是多么重要.尤其是漁業的捕撈顯得尤為重要.盡管漁業生產是可再生的，但是如果過度捕撈，魚類最終也會走向滅亡，嚴重影響人類社會的發展.所以漁業生產必須要適度，決不能“竭澤而漁”.因此，如何對漁業進行開發和捕撈，在持續穩產的前提下，如何對可再生生物資源進行管理，實現人與自然環境的協調發展就成為擺在我們面前的課題.

建立數學模型研究漁業生產已經引起了一些學者的興趣［1－5］，漁業生產數學模型是一個復雜的系統，尤其是魚類的捕獲系統，C W Clark 對魚類捕獲模型研究進行了系統的總結［6］.文［7］作者對一類自治單種群模型及其最優捕獲策略模型進行研究，得到了一定條件下單種群的最優捕獲模型，從中可以看出作者對漁業生產數學模型的研究并沒有考慮時滯的影響，而這方面研究的學者不多.直到最近幾年，學者李晶晶從漁業資源信息的動力學探討了含有時滯捕撈模型的穩定性［8］.目前，對漁業生產的時滯模型的研究內容不多，所以本文將研究具有時滯的捕獲模型.

受文［9］啟發，考慮了如下無窮時滯單種群Logistic 模型

其中:x(t)是t 時刻的該魚類生物種群的密度，a，b，c，d，E 是正常數;a 為內凜增長率;E 表示捕撈或收獲量;積分核k 連續且滿足，并且.根據生物的實際意義，考慮系統(0－1)的解都在［0，+∞］上存在且是非負的.由于直接分析系統(0－1)具有的性態比較困難，因此，考慮對此模型進行鏈變換，令，則系統(0－1)可化為下面的等價方程組:

通過變換，模型(0－2)和模型(0－1)具有等價性，b，c 表示密度制約系數，由于滯后滿足正態分布，因此d表正態分布的參數，y(t)表示t 時刻該魚類種群密度的滯后效應，本文將研究模型(0－2)具有性質，從而知道模型(0－1)具有的性質.考慮到實際的生物意義，本文將在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}內研究.

1 平衡點(奇點)存在性及它的穩定性

1.1 平衡點存在性

對于系統(0－2)，令

由(1－1)得方程(bd2+cd)y2－ady+E=0，又令Δ=a2d2－4E(bd2+dc)，易知

當E=0 時，實際中沒有捕撈，所以對該情形不予考慮.

1.2 平衡點的性質以及它的穩定性

(I)對于平衡點A1，令有下面定理.

定理1.2.1 (1)當k≠d 時，系統正平衡點A1是一個鞍點;(2)當k=d 時，系統正平衡點A1是一個中心.

(2)當k=d 時，特征方程有一對純實根，平衡點A1是中心，其外圍被一團軌線所圍繞，不同的軌線對應系統(0－2)的不同周期解.說明該魚類種群的規模受其它種群或環境的影響，周而復始的循環，不會發生絕滅，也不會無限的增長，處于動態的平衡.

定理1.2.2 (1)若k2＞d＞0 時，正平衡點A2是一個不穩定的結點;(2)若0＜k2＜d 時，正平衡點A2是一個穩定的結點.

當k2＞0 時，討論:

定理1.2.3 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點A2是一個穩定的焦點;(2)若k2＞d＞0，則正平衡點A2是一個不穩定的焦點.

證明 由定理1.2.2 過程知，λ1，2=下面討論.

(1)當0＜k2＜d，則特征根λ1，2是實部為負的共軛復根，說明是一個穩定的焦點，如果適度控制捕撈，那么它趨于平衡點，周期性發生變化.

定理1.2.4 (1)若0＜k2＜d，則正平衡點A2是一個穩定臨界結點;(2)若k2＞d＞0，則正平衡點A2是一個不穩定的臨界結點.

類似上面的證明過程，可得出如下一些定理.

定理1.2.5 當k2＜0 時，(1)若時，則正平衡點A2是一個穩結點;(2)若k1＞時，則正平衡點A2是一個穩定焦點;(3)若時，則正平衡點aA2是一個穩定臨界結點.

定理1.2.6 當k2=0 時，(1)若時，則正平衡點A2是一個穩結點;(2)若時，則正平衡點A2是一個穩定焦點;(3)若k1=時，則正平衡點是一個臨界的穩定結點.

定理1.2.7 當k2=d 時，則正平衡點A2是一個中心.

在建筑結構之中包含了很多與水相關的結構，如衛生間、廚房等等。在這些結構設計上，防水工作的開展屬于重中之重，應做好施工技術選擇工作。在整個建筑工程施工之中，應采用恰當的施工技術，來維護建筑結構的防水性。因此，工作人員需要提前做好實際情況調查工作，將相關技術和防水建材工作結合到一起，避免在后續建筑使用時出現漏水問題。在防水建材選用上也要提高重視程度，可以通過取樣分析來驗證建材質量，最終避免整個建筑工程質量受到影響。

證明 對系統(0－2)在該平衡點 A3處的線性近似方程的特征根方程為 f (λ)==0，整理得由此可知平衡點A3為該系統的高階奇點.

1.3 系統不存在極限環

由Dulac 判別法知道系統(0－2)在R+2={(x(t)，y(t))|x(t)＞0，y(t)＞0}上不存在極限環.1.4 平衡點的全局分析

我們沿著系統(0－2)求導，得出

2 對該數學模型收獲量的分析

在實際捕撈中，我們通常以最大捕撈量為可持續均衡收獲為管理目標，設均衡收獲函數為F(E)，F(E)=xiE，實際上就是求函數F(E)的極值.時，對于正平衡點A2，滿足定理1.2.1(2)，1.2.2(2)，1.2.3(1)，1.2.4(1)，1.2.5(1)，1.2.5(2)，1.2.5(3)，1.2.6(1)，1.2.6(2)，1.2.6(3)，1.2.7 的其中之一條件時，A2要么是穩定的結點，要么是穩定的焦點，要么是中心.此時

3 結語

考慮了無窮時滯單種群Logistic 模型，得出了一定條件下存在正平衡點，分析了在存在正平衡點的情況下，平衡點的穩定性，解釋了在平衡點附近，該種群如果受環境變化或是人類捕撈活動的干擾，該魚類種群會發生何種變化，這對人們了解種群的性態，持續進行捕撈有著實際的指導意義.

［1］Smith V L .On models of commercial fishing［J］.Journal of Political Econimy，1969，77:181－198.

［2］Fan M，Wang K .Optimal harvesting policy for single population with periodic coefficieuts［J］.Mathematical Biosciences，1998，152(2):165－172.

［3］Tsoularis A，Wallace J .Analysis of logistic groeth models［J］.Mathematical Biosciences，2002，179:21－25.

［4］陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數學生態學模型與研究方法［M］.成都:四川科學技術出版，2003.

［5］王克.隨機生物數學模型［M］.北京:科學技術版社，2010.

［6］Clark C W.Mathematic bioeconomics :the optimal management of renewable resources［M］.New York:Wiley，1990.

［7］魯紅英，王克.一類單種群模型及其最優捕獲策略［J］.系統科學與數學，2010，30(1):33－42.

［8］李晶晶.漁業資源信息的動力學分析［D］.浙江:浙江海洋學院，2013.

［9］吳懷弟，張娜，陳鳳德.無窮時滯單種群Logistic 捕獲模型的漸近行為［J］.福州大學學報:自然科學版，2011，39(3):325－328.