吉林省中考試題中數(shù)學(xué)思想方法的研究

鄭 晨，李淑文

(1.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春130024;2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平136000)

0 引言

從2000年開始，我國進(jìn)入了課程改革階段.新的教育教學(xué)理念不斷沖擊各門學(xué)科的調(diào)整，數(shù)學(xué)教育在這場改革浪潮中發(fā)生了翻天覆地的變化.伴隨著課程改革，我國的考試?yán)砟睢⒖荚嚸}以及組織形式也在不斷完善.特別是數(shù)學(xué)思想方法逐年不斷地滲透到數(shù)學(xué)教材、教學(xué)和考核評價中.數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識體系的一般性認(rèn)識，一種指導(dǎo)性原則，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力形成數(shù)學(xué)思想，體會“數(shù)學(xué)化”意識的一種基本能力.

1 問題的提出

本文通過對2005－2014年吉林省中考試卷題目類型進(jìn)行分析，將其變化發(fā)展分為三個階段:第一階段為基礎(chǔ)性階段(2005－2006年)，此階段是課程改革的過渡期，中考試題立足于基礎(chǔ)題目，重點考查核心概念、重要定理和基本解題方法及常見數(shù)學(xué)思想方法;第二階段為發(fā)展探索階段(2007－2011年)，此階段試題進(jìn)入了逐步調(diào)整時期，突出考查學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)猜想能力，沒有較大形式的變化;第三階段為轉(zhuǎn)型階段(2012－2014)，以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)》為指導(dǎo)［1］，重點考查學(xué)生數(shù)學(xué)思考、問題的提出和解決能力，突出人文性和科學(xué)性，在考核形式上不僅改革了試題數(shù)量，也開始采用網(wǎng)上閱卷.基于以上分析，本文主要研究吉林省2005年－2014年中考試題中數(shù)學(xué)思想方法的類型研究，并嘗試給出對未來中考命題及中學(xué)教學(xué)的建議.

2 吉林省2005年-2014年中考試中數(shù)學(xué)思想方法的類型研究

在初中階段，學(xué)生主要接觸并使用的數(shù)學(xué)思想方法包括分類討論思想方法、函數(shù)與方程思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、建模思想方法、數(shù)學(xué)猜想思想方法等［2］.這幾種思想方法在中考試題中均有廣泛地應(yīng)用.其中在選擇題和填空題中體現(xiàn)更多的是轉(zhuǎn)化思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、函數(shù)與方程思想方法;而在簡答題中更多滲透了數(shù)形結(jié)合思想方法、分類討論思想方法、函數(shù)與方程思想方法、建模思想方法、數(shù)學(xué)猜想思想方法.

2.1 吉林省2005－2014年中考試題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的分?jǐn)?shù)與題型情況

表1 吉林省2005－2014年中考試題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法題目情況

通過表1的分析，可以看出吉林省至2005年開始，對初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中數(shù)學(xué)思想方法的考察逐年增加，個別年份考查的題數(shù)和分值數(shù)稍有變動，但從總體來看，中考試題的整體編寫緊緊圍繞數(shù)學(xué)思想方法，內(nèi)容是逐漸加深的.2012－2014年試題數(shù)目減少，但數(shù)學(xué)思想方法的滲透并沒有減弱.在中考試題的考查中，明則考查學(xué)生對基本知識和基本能力的掌握，實則更加關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的生成與運用情況.

2.2 吉林省2005－2014年中考試題中數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)的類型

表2 吉林省2005－2014年中考試題中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的題數(shù)與知識點類型

續(xù)表2

從表2中，我們可以發(fā)現(xiàn)，吉林省在2005－2014年的中考試題中，對初中階段典型數(shù)學(xué)思想方法的考核是較為全面的.特別是函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想這三種思想方法在出題數(shù)量上較為穩(wěn)定，并且數(shù)量較大，多以實際問題和函數(shù)角度出題;而分類討論思想方法在課改的基礎(chǔ)階段和探索階段稍有變動，在轉(zhuǎn)型階段出題數(shù)量較多，類型較廣，該思想方法多以壓軸題出現(xiàn)，較有難度，主要考查學(xué)生分析問題和提出問題的能力，切合課程改革目標(biāo);建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要地位，但在日常初中教學(xué)中常常被教師忽視，中考試題涉及類型多樣，多結(jié)合函數(shù)與方程思想出題，值得教育者注意，這種思想方法對學(xué)生的問題提出與解決問題能力的培養(yǎng)十分關(guān)鍵;數(shù)學(xué)猜想思想方法在課改初期涉及較多，近幾年關(guān)注有所減弱，往往以壓軸題、動點問題、網(wǎng)格作圖題出現(xiàn)，考查學(xué)生的探究能力，而題型的改革將個別需要解題過程的問答題目變成了填空題，這樣難以從試卷中看到學(xué)生作答時數(shù)學(xué)思考的過程，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的養(yǎng)成.

2.3 數(shù)學(xué)思想方法及典型試題舉例

2.3.1 分類討論思想方法

以2013年中考試題為例，在此次命題中針對分類討論思想的題目共有8 個，題型涉及選擇、填空、解答題，是十年中考查力度最大的一年.

(2013 吉林)第25 題 如圖1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D，E，F(xiàn) 分別是邊AB，BC，AC 的中點，連接DE，DF.動點P，Q 分別從點A，B 同時出發(fā)，運動速度均為1cm/s，點P 沿A→F→D 的方向運動到點D 停止;點Q 沿B→C的方向運動，當(dāng)點P 停止運動時，點Q 也停止運動.在運動過程中，過點Q 作BC 的垂線交AB 于點M，以點P，M，Q 為頂點作平行四邊形PMQN.設(shè)平行四邊形PMQN 與矩形FDEC 重疊部分圖形的面積為y(cm2)(這里規(guī)定:線段是面積為0 的幾何圖形)，點P 運動的時間為x(s).

圖1

(1)當(dāng)點F 運動到F 點時，CQ=________cm;

(2)在點P 從點F 運動到點D 的過程中，某一時刻，點P 落在MQ 上.求此線段BQ 的長度;

(3)當(dāng)點P 在線段FD 上運動時，求y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式.

該題中前兩個問題較為簡單，在問題(3)的作答中，需要討論當(dāng)點P 運動時重疊圖形的形狀，即3＜x＜4當(dāng)時，重疊部分圖形為平行四邊形;當(dāng)4≤x＜11/2 時，重疊部分圖形為矩形;當(dāng)11/2≤x＜7 時，重疊部分圖形為矩形，在此基礎(chǔ)上尋找x 與y 之間的函數(shù)關(guān)系式.中考試題的很多題目需要根據(jù)問題中的條件與要求進(jìn)行分情況討論，這種按照不同情況與條件討論的數(shù)學(xué)思想方法，對于培養(yǎng)學(xué)生分析問題并解決問題的能力極為重要.這種思想不僅是一種單純的解題策略，也是一種數(shù)學(xué)能力.蘊含這種思想方法的題型多為解答題中的高分值題目，需要學(xué)生對題目認(rèn)真分析思考，考慮多種情況，不能疏漏各條件與考點，盡可能將問題分析詳盡，做到不重不漏.

2.3.2 函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程的思想是以動態(tài)變化與靜態(tài)思考相結(jié)合的觀點，分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建函數(shù)或列出方程，并運用函數(shù)與方程的性質(zhì)、圖像分析解決問題.掌握這種思想方法是要從本質(zhì)上認(rèn)識數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，同時要形成一種函數(shù)意識.初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的函數(shù)關(guān)系較為簡單，以一次函數(shù)(包括正比例函數(shù))、反比例函數(shù)、簡單的二次函數(shù)，以及應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的實際應(yīng)用題為核心內(nèi)容，往往結(jié)合幾何內(nèi)容中的直線、三角形、矩形、圓和動點問題命題，在2007年的中考試題中，有11 道題目設(shè)計該思想方法，對其重視程度可見一斑.

(2007 吉林)第27 題 今年4月18日，我國鐵路第六次大提速，在甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車.已知每隔有1h 一列速度相同的動車組列車從甲城開往乙城.如圖2所示，OA 是第一列動車組列車離開甲城的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的函數(shù)圖象，BC 是一列從乙城開往甲城的普通快車距甲城的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的函數(shù)圖象.請根據(jù)圖中信息，解答下列問題:

圖2

(1)點B 的橫坐標(biāo)0.5 的意義是普通快車發(fā)車時間比第一列動車組列車發(fā)車時間________h，點的縱坐標(biāo)的意義是________.

(2)請你在原圖中直接畫出第二列動車組列車離開甲城的路程s(單位:km)與時間t(單位:h)的函數(shù)圖象.

(3)若普通快車的速度為100km/h，

①求的解析式，并寫出自變量t 的取值范圍.

此題結(jié)合實際問題背景，并以經(jīng)典的相遇問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.在問題(1)和(2、)中，直接根據(jù)圖像即可作答;問題(3)要結(jié)合題中所給條件，以及圖中信息，利用一次函數(shù)解析式與方程解法解答，即設(shè)直線BC 的解析式為s=kt+b.因為B(0.5，300)，C(3.5，0)，所以有

于是有s=－100t+350(自變量t 的取值范圍是0.5≤t≤3.5).

2.3.3 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想又稱為化歸思想.通常理解為，將要解決的問題通過某種方式的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變成符合自身知識體系又較為容易解決的問題，進(jìn)而將問題解答清楚的一種方法.簡單的說，就是把未知轉(zhuǎn)化為已知、復(fù)雜變成簡單、抽象化成具體、非數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)問題的一種手段.

近十年的中考試題中，轉(zhuǎn)化思想方法的運用分布于各種題型之中，應(yīng)用廣泛.

(2008 吉林)第8 題 如圖，若將飛鏢投中一個 被平均分成6 份的圓形靶子，則落在陰影部分的概率是________.

圖3

此題要求飛鏢落入陰影部分的概率，只需將問題轉(zhuǎn)化為陰影部分面積在整個圓中的面積比即可，在作答時要求學(xué)生認(rèn)真讀題，明確題中將圓形靶子平均分成了6 份(見圖3)，通過觀察圖形，可知陰影部分面積占總面積的1/2.

2.3.4 數(shù)形結(jié)合思想方法

代數(shù)和幾何圖形是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的兩大核心內(nèi)容，而數(shù)形結(jié)合思想是“以數(shù)定形，以形釋數(shù)”的完美結(jié)合.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.具體表現(xiàn)為用數(shù)量關(guān)系描繪圖形特性，展示圖形性質(zhì)，即為“以數(shù)定形”;另一種“以形釋數(shù)”則可采用能夠加以計算的幾何圖形來解釋復(fù)雜的代數(shù)問題，將問題清晰化［3］.在吉林省2005－2014年中考試題分析中，數(shù)形結(jié)合思想的題目數(shù)量是最為穩(wěn)定的，足以看出它在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心地位.以2006年中考試題為列:

(2006 吉林)第22 題如圖4，圓心為點M 的三個半圓的直徑都在x 軸上，所有標(biāo)注A 的圖形面積都是SA，所有標(biāo)注B 的圖形面積都是SB.

圖4

(1)求標(biāo)注C 的圖形面積SC;(2)求SA∶SB.

該題目將半圓建立在直角坐標(biāo)系中，通過觀察坐標(biāo)軸數(shù)值，可以得到各半圓的直徑，以直角坐標(biāo)系將圖形與數(shù)量關(guān)系結(jié)合在一起，題目難度適中，且環(huán)環(huán)相扣，要想求得整體SA的面積，必先求得部分SC的面積;要想求得整體SB的面積，必先知道SA和SC的面積，以數(shù)定形，以型釋數(shù)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維能力.

2.3.5 建模思想方法

建模思想方法是一種數(shù)學(xué)的思考方式，面對實際問題時，能夠以數(shù)學(xué)的視角，運用數(shù)學(xué)的語言和方法，將實際問題用抽象的方式將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并解決的一種手段［4－5］.數(shù)學(xué)建模思想廣泛應(yīng)用于目前的各大科學(xué)領(lǐng)域，在初中階段培訓(xùn)學(xué)生建模思想有助于分析問題、解決問題能力的形成.中考試題中多體現(xiàn)方程模型、統(tǒng)計模型、模型和函數(shù)模型［6］.其中，方程類型在中考試題中是最為常見的類型之一.

(2009 吉林)第14 題A 種飲料B 種飲料單價少1 元，小峰買了2 瓶A 種飲料和3 瓶B 種飲料，一共花了13 元，如果設(shè)B 種飲料單價為x 元/瓶，那么下面所列方程正確的是( )

A.2(x－1)+3x=13 B.2(x+1)+3x=13

C.2x+3(x+1)=13 D.2x+3(x－1)=13.

這種題型是中考試題中必考的題目，難度較低，考查學(xué)生分析問題、理解問題的能力.在解答題中也會有相類似題目，考查學(xué)生能夠根據(jù)題意找到合理解題模型.

(2009 吉林)第27 題 某數(shù)學(xué)研究所門前有一個邊長為4 米的正方形花壇，花壇內(nèi)部要用紅、黃、紫三種顏色的花草種植成如圖5所示的圖案，圖案中AE=MN.準(zhǔn)備在形如Rt△AEH 的四個全等三角形內(nèi)種植紅色花草，在形如Rt△AEH 的四個全等三角形內(nèi)種植黃色花草，在正方形MNPQ內(nèi)種植紫色花草，每種花草的價格如下:紅色花草:60 元/米2;黃色花草:80 元/米2;紫色花草:120 元/米2.

設(shè)AE 的長為x 米，正方形EFGH 的面積為S 平方米，買花草所需的費用為W 元，解答下列問題:

圖5

(1)S 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為S=________;

(2)求W 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最低費用是多少元;

該題目的問題(1)求S 與x 之間的函數(shù)關(guān)系即考查學(xué)生建立函數(shù)模型的能力，題中條件較多，如何能從較多已知條件尋找出有利于解題的條件考查了學(xué)生分析問題的能力;問題(2)同樣是求函數(shù)關(guān)系，也要建立函數(shù)模型，同時也考查了利用函數(shù)性質(zhì)求得最值問題，同樣也利用到了建模思想，可見，建模思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位.

2.3.6 數(shù)學(xué)猜想

數(shù)學(xué)猜想是一切數(shù)學(xué)思想方法的源泉，是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中可以看出，數(shù)學(xué)家的一切發(fā)明和驗證，都源于對數(shù)學(xué)的大膽猜想，在這種過程中產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思想方法.新的課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡，讓學(xué)生大膽進(jìn)行實驗、猜測、驗證，積極開展數(shù)學(xué)活動，這些都是鼓勵學(xué)生發(fā)揮數(shù)學(xué)猜想的能力，在“猜”的過程中形成推理能力，在“想”的過程中體會數(shù)學(xué)邏輯的奧妙，在“做”的過程中養(yǎng)成動手實踐的習(xí)慣.數(shù)學(xué)猜想思想方法多體現(xiàn)在解答題中，近幾年在填空題和選擇題中也經(jīng)常出現(xiàn)，以2011年中考試題為例:

(2011 吉林)第10 題 用形狀相同的兩種菱形拼成如圖6所示的圖案，用an表示第n 個圖案中菱形的個數(shù)，則an=________ (用含n 的式子表示).

圖6

通過觀察圖形變化規(guī)律，猜想問題的答案，并能夠進(jìn)行驗證，考查了學(xué)生觀察能力和推理能力.再如2012年中考試題第26 題:

(2012 吉林)問題情境 如圖7，在x 軸上有兩點A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0).分別過點A，點B 作x 軸的垂線，交拋物線y=x2于點C，點D.直線OC 交直線BD 于點E，直線OD 交直線AC 于點F，點E，點F 的縱坐標(biāo)分別記為yE，yF.

特例探究

填空:

當(dāng)時m=1，n=2 時，yE=________，yF=________;

當(dāng)時m=2，n=5 時，yE=________，yF=________.

歸納證明

對任意m，n(n＞m＞0)猜想yE與yF的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

拓展應(yīng)用

圖7

(1)若將“拋物線”y=x2改為“拋物線y=ax2(a＞0)”，其它條件不變，請直接寫出yE與yF的大小關(guān)系;

(2)連接EF，AE 當(dāng)S四邊形OFEB=3S△OFE時，直接寫出m 與n 的關(guān)系及四邊形OFEA 的形狀.

該題目直接明確給出探究思路，讓學(xué)生填空補充，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，同時讓學(xué)生歸納證明，并能夠拓展應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生演繹推理、歸納總結(jié)的能力.

3 研究啟示

3.1 吉林省中考數(shù)學(xué)命題展望

隨著課程改革的發(fā)展，對學(xué)生素質(zhì)的考查越來越凸顯其重要性.從吉林省十年的中考試題分析中可以看出，數(shù)學(xué)的命題繼承了原有傳統(tǒng)中對學(xué)生基本知識、基本技能的重視［5－6］，如對有理數(shù)的認(rèn)識、計算、比較，對數(shù)學(xué)符號的表達(dá)，對圖形的認(rèn)識，對數(shù)據(jù)的收集、整理、和描述，同時也發(fā)展了學(xué)生的基本思想、基本活動經(jīng)驗，如突出“數(shù)感”、“符號感”的理解，對幾何直觀和空間觀念的理解、對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析觀念等.整體的數(shù)學(xué)試卷命題思路以基本知識為主線，以能力、方法為核心，以學(xué)生的素質(zhì)發(fā)展為目標(biāo)建立試卷結(jié)構(gòu).

3.2 對初中數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

中考試題注重對學(xué)生基本知識和基本技能的考察，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)起了導(dǎo)向作用，而學(xué)生是否真正了解知識內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想方法，僅僅通過試卷的作答是體現(xiàn)不出來的.最為重要的是，每一種思想方法并不是獨立存在的，往往伴隨著彼此之間的相互影響而交織使用.“授人以魚不如授人以漁”，只有讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的核心思想，學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)解決問題的方法和規(guī)律，在不斷思考、實踐中靈活運用，形成數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)世界打下基礎(chǔ).

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］錢珮玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2002.

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［6］王奮平.美國Glencoe/McGraw－Hill 高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容設(shè)置及其啟示［J］.瓊州學(xué)院學(xué)報，2014，21(5):117－122.