非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性

(瓊州學院 電子通信工程學院，海南 三亞572022)

0 引言

正弦類高斯光束的傳輸一直是激光領域的熱點研究之一.文獻［1］研究了湍流對部分相干雙曲余弦高斯光束的瑞利區間的影響.文獻［2］對雙曲正弦平方－高斯光束在單軸晶體中垂直于光軸的傳輸作了深入研究.文獻［3］研究了截斷部分雙曲余弦高斯光束在非Kolmogorov 湍流中的傳輸，分析并討論了截斷參數和非Kolmogorov 湍流參數對傳輸性能的影響.文獻［4］研究了非傍軸雙曲余弦－高斯光束通過硬邊光闌的傳輸，用詳細的數值計算例說明偏心參數，截斷參數以及桶的尺寸大小對遠場光束質量的影響.文獻［5］對非傍軸截斷余弦－高斯光束的光束傳輸因子進行了研究.在光束的傳輸過程中，一般可選取適當的參數來描述光束的傳輸特性，例如，束寬、遠場發散角以及光束傳輸因子(即M2因子)等［6－7］.在描述光束傳輸特性的眾多參數中，M2因子是描述光束傳輸特性的一個重要參數，它不僅反映了光束的近場特性，還反映了光束的遠場特性.本文利用功率密度［8］的二階矩方法，對非傍軸標量雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性作了較為深入的研究.通過數值模擬，研究了參數1/f 和偏心參數對遠場發散角和M2因子的影響，得到一些有意義的結果.

1 理論分析

在直角坐標系中，設源平面z=0 處二維雙曲余弦平方－高斯光束的場分布為［9］

式中:w0為初始高斯場振幅部分的束腰寬度，Ω0是與余弦部分有關的參數.當Ω0=0 時，(1)式退化為高斯光束.

根據角譜理論，雙曲余弦平方－高斯光束在z 平面處的光場分布，可表示為［10］

式中:k=2π/λ，λ 為波長，p 為場的方向余弦，

A0(p)為E0(x0，0)的傅立葉變換，且

把(1)式代入(4)式，經計算得到

式中f=1/kw0，α=w0Ω0(偏心參數).把(5)式代入(2)式，又得到

利用(6)式作數值計算，可給出非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束在z 平面處的光場分布.

根據功率密度的二階矩法，非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束在遠場的發散角為

式中P(z)為通過任意z 平面的總功率，即

根據文獻［8］，非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子可表示為

式中，W(0)為z=0 面處的束腰寬度，

其中:

D 為橫平面上的功率密度［8］，

式中，Re 表示取實部，* 表示復共軛.由(7)－(10)式可知，f 參數和偏心參數α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.利用(7)式、(9)式作數值計算可以研究非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠場發散角和Μ2因子.

2 數值計算結果和分析

為說明本文所得結果的物理意義，做了大量數值計算，典型的數值計算例總結于圖1和圖2.圖1為非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠場發散角θ0隨參數1/f 變化的曲線.從圖1可以看出，隨著1/f 的減小，遠場發散角θ0漸近趨于相同的上限θ0max=63.435°.數值計算表明，遠場發散角的上限與偏心參數α無關.對于較小的偏心參數α，例如α=0.3，遠場發散角隨著1/f 的增加而單調減小.當偏心參數取較大值時，例如α=2.5 由圖1可知，遠場發散角θ0隨1/f 的變化是非單調的.

圖2為非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子隨參數1/f 變化的曲線.由圖中曲線可知，f 參數和偏心參數α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.對于較小值的偏心參數，例如α=0.3，M2因子的值隨著參數1/f 的增大而增大，達到最大值后，隨著1/f 的增大又單調減小，并漸近趨于一穩定值.從圖中還可以看出，當偏心參數取較大值時，M2因子隨1/f 的變化是非單調的，其值會出現多個極值.例如，α=2.5，M2因子變化曲線出現兩個極大值.此外，從圖中還可以看出，隨著參數1/f 的減小，當1/f 足夠小時，M2因子的值可小于1.

圖1 非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的遠場發散角θ 隨1/f 的變化

3 結論

本文利用功率密度定義的二階矩方法，通過數值計算研究了非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的傳輸特性，重點分析了f 參數和偏心參數對遠場發散角和M2因子的影響.數值計算結果表明，f 參數和偏心參數α 影響非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2因子.當參數1/f 很小時，M2因子的值可以小于1.當偏心參數取較大值時，M2因子隨1/f 的變化是非單調的，其值會出現多個極大值.隨著1/f 的減小，遠場發散角漸近趨于相同的上限63.435°，且遠場發散角的上限與偏心參數α 無關.本文所得結果對研究非傍軸高階正弦類高斯光束的傳輸特性有一定參考價值.

圖2 非傍軸雙曲余弦平方－高斯光束的M2 因子隨1/f 的變化

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