從一道例題談解析幾何中的定值問題

呂翠華

摘要：“問題是數學的心臟”，這要求教師能夠找到好的問題，激發學生的探究意識，引起學生認知上的沖突，不斷地從一個問題引申到另一個問題。以“少教多學”的理念為指導，以一個例題為切入點，解析幾何中定值問題的處理方法和思路，得到了處理該類問題的一般性方法。

關鍵詞：解析幾何;定值問題;少教多學

中圖分類號：G632 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）43-0260-02

一、引言

定值問題是中學數學問題中最普遍、最重要的題型之一，其表現形式與解決方法千變萬化。定值問題覆蓋面廣、綜合性較強，滲透了化歸，數形結合等數學思想，因此成為近幾年高考的熱點問題之一。以“少教多學”的理念為指導，本文從一個例題談起，引出了解析幾何中的定值問題，探究在定值問題上的處理思路和方法，為學生分析、解決該類問題提供一定的借鑒和指導。基于本人南京市基礎教育教師示范課——解析幾何中的定值問題整理而成的。下面摘錄其中的一些教學過程片段。

二、教學片斷

問題（一）：已知過拋物線C：y= ?x ?的焦點F的直線交拋物線于A（x ?，y ?），B（x ?，y ?）兩點，求證：x ?x ?為定值。

注：三分鐘后同學們開始交流思路。

S1：通過分析已知條件，過焦點F（0，1）的直線l的方程可以設為y=kx+1。由于直線l交拋物線于兩點A，B，故A，B兩點的坐標滿足y=kx+1y= ?x ?。由題目中所求的結果“x ?x ?”，聯想到韋達定理。

T：非常好！你抓住了最終的求解目標！可是如果題目不是求x ?x ?， 而是求2x ?+x ?怎么辦呢？

S2：只要把上述方程組解出來就可以了！

T：下面請這兩位同學分別用剛才的分析思路給出該題目的完整過程。

S1：（解法一）設直線方程為y=kx+1，因為直線l交拋物線兩點，所以y=kx+1y= ?x

故，x ?-4kx-4=0，由韋達定理得：x ?x ?=-4。

S2：（解法二）由x ?-4kx-4=0解得x1=2k+2 ?，x2=2k-2 ?，故x ?x ?=-4。

T：其他的同學讓我們繼續思考！分析剛才這兩位同學的做法：通過認真審題，從題目中所給的兩個條件中捕捉到了他們想要的信息順利解決了這個問題。已知條件是我們解決問題的前提，下面我們一起把題目重新解讀一遍，看能否嘗試著從另外一個角度解決這個問題。比如：上述同學看到題目已知條件中的“過”就能想到寫出直線的方程，看到“交”就能想到聯立方程組，他們直接把“幾何問題代數化”，即從“數”的角度解決了這個問題——體現了數形結合的思想。

T：從“過拋物線C：y= ?x ?焦點F的直線”，能得到哪些信息？

S：點在直線上。

T：從“直線交拋物線于A，B兩點”，能得到信息？

S：A，B兩點既在直線上，又在拋物線上。

T：綜合上述兩條我們是否可以得到A，F，B三點共線？有哪些方法可以刻畫“三點共線”？

S3：斜率相等，即：k ?=k ?。

S4：向量共線，即： ?與 ?共線。

S5：線段相等，即：AB=AF+BF。

S6：還可以設出AB的直線方程，然后代入F的坐標。

T：好的，我們暫時交流到這里，接下來請選擇一種你最喜歡的方法把這個問題解出來。（同時找學生板演）

S3：（解法三）由A，F，B三點共線可得

k ?=k ?，即： ?=

又因為y ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，所以 ?=

整理化簡得（x ?-x ?）（x ?x ?+4）=0，

有x ?≠x ?知，x ?x ?=-4。

S4：（解法四）因為A、F、B三點共線，所以 ?// ?。

又 ?=（x ?，y ?-1）， ?=（x ?，y ?-1），

∴x ?（y ?-1）=x ?（y ?-1）。

下面的步驟與解法三相同，限于篇幅，在此省略。

S5：（解法五）由A，F，B三點共線，可得AB=AF+BF，即

=

+

根據拋物線的第二定義得，

=（y ?+1）+（y ?+1）

整理化簡上式得：

x ? ?-2x ?x ?+x ? ?=4y ?y ?+4y ?+4y ?+4，將y ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，代入上式得（x ?x ?） ?+8x ?x ?+16=0，所以x ?x ?=-4。

S6：（解法六） 直線AB的方程為y-y ?= ?（x-

x ?），點F（0，1）在直線AB上，即1-y ?= ?（0-x ?）.

將y ?= ?x ? ?，y ?= ?x ? ?，代入得1- ?x ? ?= ?（x ?+x ?），即x ?x ?=-4。

T：上面的4位同學已經完成，下面看能否想個辦法來快速的檢驗結果的正確性？

S：代特殊值。

T：嗯，很好！最后讓我們回顧一下，剛才我們解決了一個什么樣的問題？

S：定值問題。

T：同學們通過感受剛才解決這個問題的過程，你都有哪些收獲？

同學們竊竊私語，認真討論……

T：最后將學生合作交流的收獲總結如下：

1.解題思路：解題時首先要看清題目中的已知條件，明確每一個已知條件的含義，并會適當的進行轉化;即：明確“有什么”，要提高目標意識，了解要“干什么”，最后結合著“有什么”和“干什么”來制定出解決問題的方案，確定“怎么干”，這是我們處理一般性問題的法寶！

2.知識層面：（1）要想得到圓錐曲線的某些基本量，一定先將方程整理成標準形式才可以。（2）“交點”的代數意義——方程組的解，進一步轉化為“x ?，x ?是消去y后的關于x的一元二次方程的解”。（3）處理A，F，B三點共線的方法。（4）x ?x ?是定值，說明在某個運動變化中是不變的，此時要關注是什么在變？比如是斜率在變，只要說明x ?x ?與斜率無關。

T：剩下的時間，我來考考同學們是否真正掌握了本節課的內容，請大家自己編個題試試。

同學們都躍躍欲試，編寫了題目，并給出了解法，限于篇幅，此處省略。

老師根據剛才的題目，也編了一個例題。

問題（二）：變式練習：

已知拋物線C：y= ?x ?上有A（x ?，y ?），B（x ?，y ?）兩點，滿足x ?x ?=-4。求證：經過A，B的直線與y軸交于定點。分析：

T：“看到這個問題你是怎么想的？”——我們研究的對象是誰？

S：與y軸的交點，即縱截距。

T：所以若要說明它是一個定值，首先應該把這個量先表示出來，然后再證明即可。

S7：（解法一） 設定點為P（0，b），則 ?=（x ?，y ?-b）與 ?=（x ?，y ?-b）共線

即：x ?（y ?-b）=x ?（y ?-b），然后將

y ?= ?，y ?= ?代入，化簡即得b=1.

S8：（解法二） 設直線AB的方程為：y- ?= ?（x-x ?），令x=0，得：y=- ?=1.

S9：（解法三） 設直線方程為y=kx+b由方程組x ?=4yy=kx+b，得：x ?-4kx-4b=0.

由韋達定理可得：x ?x ?=-4b，故b=1。

T：通過比較這兩個問題，發現只有當直線經過焦點（0，1）時，x ?x ?=-4，難道直線經過其他點的時候x ?x ?的值就不是-4了嗎？如果把直線經過焦點（0，1）改為過（0，2），的值還會是定值嗎？如果不是定值那應該是多少呢？請同學們課下認真思考，看看你會得到什么樣的結果。

課堂總結，布置作業（略）。

三、教學后記

本次公開課，從一個典型例題出發，研究了解析幾何中的定值問題，通過教師步步設問，充分挖掘題目的條件，激發了學生發散性思維，拓寬了解題思路。得到了處理一般性問題的法寶，即：明確“有什么”，要提高目標意識，了解要“干什么”，最后結合著“有什么”和“干什么”來制定出解題方案，即確定“怎么干”。

參考文獻：

[1]章建躍，陶偉林.注重學生思維參與和感悟的函數概念教學[J].數學通報，2009，48（6）.

[2]劉行功.圓錐曲線中的定值問題[J].數學通報，1994，（8）.

[3]李昭平.處理解析幾何中定值問題的幾種策略[J].中學數學教學，2003，（6）.