淺談概率論中“數學期望”概念的講解

摘要：在概率論與數理統計的學習中，“數學期望”是一個比較抽象的概念，本文闡述了“數學期望”概念講解中比較重要的三個內容，即：如何“定義”，如何“引申”到連續型隨機變量的定義，以及如何“過渡”到方差。

關鍵詞：數學期望；概率論與數理統計；教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0199-03

在我們進行概率論與數理統計的教學中，教材的編排往往是在進行了隨機變量及其分布函數的學習之后，立刻進入隨機變量數字特征的學習，而最先面對的數字特征就是數學期望。“數學期望”這個概念的起源源于下面這個經典典故。

早些時候，法國有兩個大數學家，一個叫做布萊士·帕斯卡，一個叫做費馬。帕斯卡認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題。他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早說的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對。正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3/4，贏了3局的拿這個錢的1/4。這是為什么呢？假定他們倆再賭一局，A有1/2的可能贏得他的第5局，B有1/2的可能贏得他的第4局。若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；若B贏得他的第4局，則下一局中A、B贏得他們各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必須贏滿5局的話，A贏得所有錢的可能為1/2+1/2×1/2=3/4，當然，B就應該得1/4了。數學期望由此而來。

通過這幾年的教學體會和教學經驗，筆者發現“數學期望”這一概念盡管來源于生活，而且跟現實生活結合得非常緊密，但因為它非常抽象，一般同學學到這個地方就會感覺到難于理解和接受。本文對數學期望概念的講解進行了介紹，以期起到“拋磚引玉”的作用。

一、關于如何定義“數學期望”

首先是如何引入的問題。對于如何引入“數學期望”，我們為了喚起學生的學習興趣，激發他們的學習動力，可以舉一些密切聯系生活的例子，比如上面的經典典故，或者將上面的經典典故作稍許變動，得到另外一個例子，如文獻[3]中就是將“賭金問題”換成了“乒乓球比賽問題”。我們也可以作這樣類似的變動，以吸引學生的課堂注意力，加深他們對《概率論與數理統計》這門課程在解決生活實際問題的作用是非常大的印象，喚起他們對這門課程的興趣，也激發他們對用數學方法處理現實問題的熱情。

這種引入方法的特點是直接、簡單，節省上課時間，如果教師認為教學任務比較繁重、教學時間比較緊張，無法保證后續內容時間的把控，那么可以采用這種簡潔的方式進行引入工作。

接著可通過一個例題來求解數學期望，從而加深學生對定義的理解和記憶。例如下面這則簡單例子：擲一枚六面骰子，已知其各面朝上的可能性是相同的，則擲得的點數的數學期望是多少呢？

此時可以引導學生思考：骰子的任何一面都不可能為3.5，然而最后算得的擲得的點數的數學期望卻是3.5，這說明了什么問題呢？這說明了期望值并不一定等同于常識中的“期望”，“期望值”也許與每一個結果都不相等。換句話說，期望值是該隨機變量取值的平均數，期望值并不一定包含于隨機變量的取值集合里，這就加深了學生對數學期望定義的理解和把握。

二、關于如何“引申”到連續型隨機變量期望的定義

對于連續型隨機變量其值充滿整個區間，且取每一特定值的概率均為0，因此不能直接利用上述離散型隨機變量期望定義求其數學期望。但可將連續型隨機變量離散化，再由離散型隨機變量的數學期望的定義引申出連續型隨機變量的數學期望的定義。

三、關于如何“過渡”到方差

因為方差本身就是一種數學期望，但是如何引出“方差”這一數學期望卻是要費一點心思的。比如說現在我們面前擺放著兩只手表，它們每日的走時誤差（以分為單位）分別以隨機變量和表示，其分布律如下。

四、結語

通過實際的教學實踐，我們發現“數學期望”概念對于許多同學來說是非常抽象的，因此，對它概念的講解就應該是我們必須注意的地方。本文是筆者對“數學期望”概念的講解的一點經驗總結，希望能對概率論與數理統計的教學起到一點“拋磚引玉”的作用。

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李正耀，周德強.大學數學——概率論與數理統計[M].北京：科學出社，2009.

[3]熊歐，仇海全，武潔.數學期望的教學方法新探[J].科技信息，2010，（3）.

基金項目：長江大學教研項目（JY2011023）

作者簡介：曹小玲（1981-），女，數學與應用數學系，講師，現主要從事數字圖像處理和高等工程數學的教學與研究工作。endprint