功率方程在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

趙 巍

（唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000）

0 引言

在理論力學(xué)中，求解由多個(gè)剛體組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是一項(xiàng)重要的內(nèi)容，特別是求解質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中某個(gè)剛體的加速度（或角加速度）問(wèn)題。

目前，在學(xué)時(shí)縮減的情況下，理論力學(xué)的動(dòng)力學(xué)篇通常只能講授動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理，而動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程基本不再講述。因此，求解由多個(gè)剛體組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中某個(gè)剛體的加速度（或角加速度）時(shí)通常采用動(dòng)能定理。

即采用動(dòng)能定理的積分形式求解，解題步驟如下[1]：選取某質(zhì)點(diǎn)系作為研究對(duì)象；選定應(yīng)用動(dòng)能定理的一段過(guò)程；分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)、計(jì)算選定過(guò)程起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能；分析作用于質(zhì)點(diǎn)系的力、計(jì)算各力在選定過(guò)程中所作的功；應(yīng)用動(dòng)能定理建立方程。最后，還需要將方程兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，才能解出加速度（或角加速度）。

以上方法是要求學(xué)生應(yīng)掌握的基本方法，但顯得不夠簡(jiǎn)便。因?yàn)樵趹?yīng)用動(dòng)能定理的積分形式時(shí)，是對(duì)一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析的，所以需要計(jì)算系統(tǒng)中各個(gè)物體在該段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，即需要計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能。此外，還需要計(jì)算力的功，而功也是力在一段路程上對(duì)物體累積作用效應(yīng)的度量。因此必須取一段有限路程來(lái)計(jì)算，有時(shí)甚至是對(duì)某一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在假設(shè)的一段路程上進(jìn)行分析，這要求系統(tǒng)中其他各物體在滿足約束條件下相應(yīng)各自地移動(dòng)一段位移，從而才能計(jì)算各力的功之和。這樣做，無(wú)形中增加了計(jì)算的工作量和解題的難度。當(dāng)遇到只需要求解某瞬時(shí)系統(tǒng)中某個(gè)剛體的加速度問(wèn)題時(shí)，采用動(dòng)能定理的積分形式就很不方便。怎樣才能更簡(jiǎn)捷些呢？采用功率方程即可達(dá)到簡(jiǎn)潔、快速地解題。

1 功率方程的應(yīng)用及解題示例

功率方程建立了質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能變化率與功率之間的關(guān)系。動(dòng)能與速度有關(guān)，其變化率含有加速度項(xiàng)，因而功率方程就直接給出了系統(tǒng)的加速度與作用力之間的關(guān)系。以質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)動(dòng)能的計(jì)算代替一段有限運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的變化計(jì)算，以力的瞬時(shí)功率的計(jì)算代替力在一段路程上功的計(jì)算，這些瞬時(shí)效應(yīng)的計(jì)算要比累積效應(yīng)的計(jì)算簡(jiǎn)單。

同時(shí)，功率方程的應(yīng)用也加深了對(duì)機(jī)械功率的理解，明確機(jī)械的啟動(dòng)功率的計(jì)算和穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)功率的計(jì)算都是和質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能變化有關(guān)系。

采用功率方程的解題步驟如下：選取某質(zhì)點(diǎn)系作為研究對(duì)象；計(jì)算系統(tǒng)某瞬時(shí)的動(dòng)能；計(jì)算該瞬時(shí)作用上在系統(tǒng)上的所有力的功率的代數(shù)和；代入功率方程即可求解出加速度（或角加速度）。下面舉一例題說(shuō)明。

均質(zhì)細(xì)桿AB 長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，由直立位置開(kāi)始滑動(dòng)，上端A 沿墻壁向下滑，下端B 沿地板向右滑，不計(jì)摩擦。求細(xì)桿在任一位置φ時(shí)的角加速度α。

解：研究桿AB，受力情況如圖1示。

圖1

桿作平面運(yùn)動(dòng)P 為速度瞬心，設(shè)角速度為ω，角加速度為α，質(zhì)心速度為

系統(tǒng)動(dòng)能：

A、B 為理想約束，只有重力的瞬時(shí)功率。

代入功率方程：

2 結(jié)語(yǔ)

可以看出由于省略了取一段有限運(yùn)動(dòng)路程的步驟，不需要知道初位置系統(tǒng)的初始狀態(tài)，不必分析質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)來(lái)計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能，也不必計(jì)算各力的功之和。只需要計(jì)算剛體系統(tǒng)的瞬時(shí)動(dòng)能和力的瞬時(shí)功率，應(yīng)用功率方程求解剛體的加速度很是簡(jiǎn)捷。特別是針對(duì)由多個(gè)剛體組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，由于只計(jì)算力的瞬時(shí)功率，避免了還需考慮系統(tǒng)中各物體在滿足約束條件下相應(yīng)各自地移動(dòng)一段位移才能計(jì)算各力的功之和的繁瑣過(guò)程。因此，從物理意義上講功率方程比采用積分形式兩端再求導(dǎo)運(yùn)算更為直接。

此外，采用功率方程在求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)初速度為零時(shí)剛體的加速度就更具有優(yōu)勢(shì)。因?yàn)殡m然初速度為零，但速度變化率不為零，求瞬時(shí)速度變化率仍可應(yīng)用功率方程來(lái)解。總之，在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中采用功率方程可以更簡(jiǎn)捷地求解剛體的加速度。

［1］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(Ⅰ)第六版[M].北京：高等教育出版社，2002：297-298.