單擺測重力加速度實驗的誤差分析

黃樹來 姜永超 王 娟 徐進棟 張志廣

（青島農業(yè)大學理信學院，山東 青島 266109）

作為普通物理實驗中通常開設的實驗，單擺測重力加速度是力學部分的重要實驗，該實驗可以測量當地的重力加速度，更重要的是，通過該實驗可以練習基本測量工具的使用，學會正確讀取和處理數據，以及對實驗結果進行分析，計算實驗結果的誤差及分析誤差的來源。

圖1 是單擺的原理示意圖。由振動理論可以證明，單擺的周期：

若θ 非常小時，取零級近似，則：

圖1 單擺的原理圖

由公式（1）可見周期T 不但與擺長有關，而且與偏角θ 有關。在偏角一定時，擺長L 與T2成線性關系；在擺長一定時，周期T 與成線性關系。

通過對該實驗所用公式及測量過程進行分析，該實驗中誤差的來源主要有以下幾個方面：

1 方法誤差

1）擺角。實驗中所用計算重力加速度的公式（2），是在θ 趨近零時的近似，因此測量一般是在擺角小于5 度下進行的，因此擺角會帶來誤差，這屬于系統(tǒng)誤差的范圍。要減小該部分誤差，應取公式（1）的一級近似[1]：

2）空氣阻力。公式（2）中沒有考慮空氣阻力，單擺近似是簡諧振動。實際空氣阻力的存在會導致單擺做阻尼振動，所以用公式（2）計算出的重力加速度顯然是存在誤差的。針對這部分誤差，需加上空氣阻尼修正項來計算重力加速度。

阻尼存在時的重力加速度公式為[2]：

實際實驗中由于擺線較長，運動速度較小，阻尼項產生的誤差可以忽略。

3）擺線質量和擺球半徑。實驗中擺線質量和擺球半徑不能忽略時，都會影響周期的計算公式，通過微小測量比較，這部分誤差非常微小，通常可以不予考慮[3]。

4）擺線彈性。實驗中要求擺線不能伸縮，完全沒有彈性，通過選擇合適的擺線材料，可以減小擺線彈性帶來的誤差，但無法完全消除。

2 測量誤差

1）周期測量。使用電子秒表進行單擺周期測量，如果是重復單周期測量，由于計時開始和結束的時機選擇導致的誤差對測量周期的影響非常大，因此，實際測量時應用等值累計測量，即一次測50 或者100 個周期的時間，然后求平均值，得到單擺的周期T。通過對比計算，多周期測量得比多次單周期測量得到的

周期誤差小得多。這部分誤差不可避免，但可以盡量減到最小。

2）擺長測量。如果用鋼卷尺直接測量擺線的長度，由于擺球的中心位置不容易確定，會導致測量誤差偏大。如圖2所示，實驗中，可以先用鋼卷尺測量L1和L2，再用游標卡尺測出擺球直徑d，則擺長表示為：

實驗中擺線長度通常50cm 以上，用最小刻度為1mm 的鋼卷尺進行測量，小球直徑2cm 左右，用卷尺不容易測量，使用游標卡尺測量，最小分度0.02mm。對比計算發(fā)現，公式（4）計算出的擺長誤差小于直接測量擺長的誤差。

圖2 測量擺長示意圖

3 數據處理誤差

實驗中通過改變擺長，測量不同擺長對應的周期，通過做L—T2曲線求斜率，或者用線性回歸法，也可以得到重力加速度。但通過上面的理論分析，我們知道，L—T2并不是嚴格的線性關系，因此我們按直線作圖求斜率或者最小二乘法求出的重力加速度g 必然帶來誤差。

4 結論

通過對單擺測重力加速度實驗的誤差分析，明確了誤差的來源，其中擺角產生的誤差較大，實驗中擺角應小于5°。通過多次測量求平均值來減小測量過程的隨機誤差。實驗中通過修正實驗理論，選擇合適的測量工具，可以最大限度減小實驗誤差。

［1］姜永超.大學物理實驗[Z].2015，1：50.

［2］戚明.大學物理[Z].198712：11.

［3］游艷琳.單擺測重力加速度實驗近似處理的誤差分析[Z].2015(5)：92.